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LES COURBES USUELLES

i° L’équation (2) peut s’écrire

[am — jx) ( b' rri — 1) = h,

/i étant une constante; en remplaçant alors l et u par les valeurs cidessus, on trouve

(3) lm..Vné = k,

formule très-usuelle ; car, dans les applications, on détermine en général très-aisément les points I et J', auxquels on donne le nom de points limites.

20 Soient <7, &, <?, trois points choisis à volonté dans la première division; a\ //, c\ leurs homologues dans la seconde, et m, m\ un quatrième couple quelconque de points correspondants. La relation (3) donne

la = le = ~p d’où ca = la — = — 0-77777 • c'a'.

J Cl J C J Cl • J c

En formant les valeurs analogues de cb , ma , mb , et les portant dans l’expression du rapport anharmonique

. . ca ma

f abc.m ) ou — 7 : — T 7 cb mb

on trouve

(4) (abcm) = [a b' c ni).

Donc, pour que deux divisions soient } tomographiques , il faut et d suffit que tout système de quatre points de la première ait le même rapport anharmonique que les quatre points homologues de la seconde. C’est cetle propriété que M. Chasles prend pour définition dans sa Géométrie supérieure.

1102. Examinons maintenant le cas où A est nul. La relation homographique (1) se réduit alors à

B .(an C .b' m -t- D = o,

ou, comme B et C ne sauraient être nuis à la fois, à

am — h ( U ni — h ) ,

h et h étant deux constantes. Lorsque m est en a, le premier membre s’annule, et, comme m' coïncide alors avec l’homologue a' de a , en voit que h = b' a' et, par suite, que l’équation précédente peut s’écrire

am = h(b'ni' — b' a') ou am = h.a'm'.

Donc les deux droites L et L' sont divisées en parties proportionnelles. K. et de C. — Tr . de Géom. (IIe Partie). 24

3 ;0 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

On dit, dans ce cas, que les deux divisions homographiques sont semblables.

Dans deux divisions semblables , les points à l’infini sont, homologues ; car, d’après l’équation précédente, am et a' m' deviennent infinis en même temps. Réciproquement, deux divisions homographiques dont les points à l’infini se correspondent sont semblables ; car, si dans l’équation (^préalablement divisée par am. b' m' , on fait à la fois am et b' m' infinis, on voit que A = o.

Lorsque le coefficient k qui figure dans la relation précédente est égal à -h i, les deux divisions sont dites égales; elles sont égales et de meme sens pour /- = i , égales et de sens contrâmes pour k — — i .

Pour deux divisions semblables, la relation (3) n’a plus de sens; mais il est évident que la relation (4) subsiste encore.

1103. Deux divisions abemn . . . , a{b{ <?,/>?,/?,. . . , sont dites homologiques, lorsqu'elles sont la perspective l’une de l’autre, c’est-à-dire lorsque les droites bb0 ec[ , . . . , />?/??„. . . , qui joignent les points homologues concourent en un meme point S [fig. 5yi).

Fig. 572,

Deux divisions homologiques sont homographiques, puisque le rapport anharmonique est une expression projective; le point d’intersection (<7, a{) des deux bases L et L, est alors un point homologue commun. Réciproquement, deux divisions homographiques qui ont un point homologue commun sont homologiques ; c’est le théorème fondamental du n° 324 avec un autre énoncé.

On déduit de là un moyen très simple pour construire deux divisions homographiques dont on donne trois couples de points homologues . Soient (<?, «'), [b, b'), (0, c'), les trois couples donnés, et m' un point quelconque de la deuxième division; il s’agit de trouver le point m de 1# première division qui est l’homologue de m'. A cet effet, on portera