LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. ' Jr

<les centres des sections circulaires parallèles à ce plan cyclique. D’ailleurs, à un plan cyclique et à sa polaire répondent, dans le cône supplémentaire, une ligne focale et son plan polaire. De même que dans les coniques on donne le nom de directrice à la polaire du foyer, on donne dans les cônes le nom de plan directeur au plan polaire d’une focale. Ainsi, un cône du second ordre a deux focales et, par suite, deux plans directeurs. Cela posé, voici les propriétés fondamentales des plans cycliques et des focales ; les théorèmes sont disposés sur deux colonnes; de cette manière, on trouve à côté l’une de l’autre les propositions corrélatives, c’est-à-dire les propositions qui résultent l’une de l’autre par la considération du cône supplémentaire, et il suffit chaque fois de démontrer l’une de ces deux propositions.

Dans tout cône du second ordre, j Dans tout cône du second ordre, les sinus des angles que charpie plan les sinus îles angles <pæ charpie arête tangent fait avec un plan cyclique ' forme avec une ligne focale et avec et avec la polaire de ce plan cyclique le plan directeur correspondant ont ont un rapport constant. un rapport constant.

En effet, coupons le cône par un plan parallèle à un plan cyclique et, du centre de cette section circulaire, qui est un point de la polaire du plan cyclique, abaissons une perpendiculaire sur un plan tangent au cône. Le sinus de l’angle du plan tangent et du plan du cercle est égal à cette perpendiculaire divisée par le rayon du cercle; le sinus de l’angle du plan tangent et de l’axe polaire du plan cyclique est égal à la même perpendiculaire divisée par la distance du sommet du cône au centre de la section circulaire. Le rapport des sinus ne dépend donc que du rayon du cercle et de la distance de son centre au sommet, et nullement du plan tangent considéré.

Tout plan tangent à un cône du 1 Les plans menés par les deux second ordre coupe les deux plans j focales d’un cône du second ordre cycliques suivant deux droites éga- 1 et par une arcte quelconque sont lement inclinées sur T arête de con- également inclinés sur le plan tantact. ! gent suivant cette arête.

En effet, coupons le cône par deux plans parallèles à ses deux plans cycliques; les sections seront deux cercles situés sur une même sphère. Une arête quelconque du cône coupe ces cercles, et les tangentes à ces cercles aux points de rencontre obtenus sont situées dans le plan tangent au cône suivant l’arête considérée; ces deux droites étant tangentes à une même sphère et comprises dans un même plan sont également inclinées sur la corde qui unit les points de contact, c’est-à-dire sur l’arête du cône, et, comme ces droites sont parallèles à celles suivant lesquelles le plan tangent coupe les plans cycliques, le théorème est démontré.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

La somme (ou la différence ) des angles dièdres (jue chaque plan tangent a un cône du second ordre forme avec les deux plans cycliques est constante.

La somme (ou la différence) des

du second ordre forme avec les deux focales est constante.

Dans les deux cas précédents, nous avons démontré le théorème de gauche; ici, nous démontrerons le théorème de droite. Il suffit à cet effet de considérer ce qui se passe sur une sphère ayant pour centre le sommet du cône. Une nappe du cône coupe la sphère suivant une courbe qu’on nomme ellipse sphérique, et les deux points déterminés sur cette portion de sphère par les focales du cône sont dits les foyers de cette conique. Cela posé, si M est un point de cette conique sphérique et si F et F' sont ses foyers, il suffit de prouver que la somme des arcs de grand cercle FM h- F'M est constante, sachant, d’après le théorème précédent, que l’arc de grand cercle tangent à la conique au point M est également incliné sur les deux arcs vecteurs MF et MF'. Le raisonnement est analogue à celui du n° 1007.

Delà résulte un nouveau point de vue sous lequel on peut considérer les propositions qui précèdent et, en général, les propriétés des cônes du second ordre (Chasles, Mémoires de l' Académie cle Bruxelles, année 1 829).

1209. Une conique sphérique est l’ensemble des deux courbes fermées dites ellipses sphériques, suivant lesquelles un cône du second ordre coupe une sphère ayant le sommet pour centre. Ces deux courbes sont symétriques par rapport à chacun des trois grands cercles suivant lesquels les plans diamétraux principaux du cône coupent la sphère.

Considérons le plan principal du cône, et ne prenons que l’hémisphère et la nappe du cône situés au-dessus de ce plan. Cette nappe déterminera sur la sphère une ellipse sphérique dont le centre et les sommets seront les points où la sphère est percée par l’axe principal et par les génératrices situées dans les plans de la grande et de la petite section; les foyers répondront aux lignes focales ; les plans cycliques du cône couperont l’hémisphère considéré suivant deux demi-grands cercles ayant le grand axe du cône pour diamètre commun : ce grand axe est compris dans le plan du plus grand arc diamètre de l’ellipse sphérique, et ces deux demi-grands cercles, dits arcs cycliques de l’ellipse sphérique, sont perpendiculaires au plus petit arc diamètre de l’ellipse et ne rencontrent jamais cette courbe.

Considérons en second lieu le plan de la petite section du cône, et la partie de la conique sphérique située d’un seul côté de ce plan ; elle est composée de deux branches, moitiés des deux ellipses sphériques et symétriques par rapport au plan diamétral perpendiculaire à l’axe principal du cône; on lui donne le nom d 'hyperbole sphérique. Son centre