LIVRE VIII

deux droites , sans quoi la section serait d’un degré supérieur au second.

Chaque point d’une section plane résulte de l’intersection du plan sécant et d’une génératrice de la surface ; toute section plane d’une surface réglée du second ordre est donc réelle. Par suite, en appliquant cette remarque au plan polaire sr d'un point quelconque p de l’espace, on voit que tout point de V espace est le sommet d'un cône réel circonscrit à la surface.

Le plan de l’infini détermine une section réelle qui est : ou une conique ordinaire, ou un système de deux droites; la surface prend dans le premier cas le nom d ' hyperboloïde à une nappe et, dans le second, le nom de paraboloïde hyperbolique .

HYPF.RBOLOÏDE A UNE NAPPE.

1214. Nous avons nommé hyperboloïde à une nappe { fig . 607) celle des deux surfaces réglées proprement dites du second ordre que le plan

Fig. 607.

de l’infini coupe suivant une conique C qui ne se réduit pas à deux droites.

Le plan de l’infini n’étant pas tangent à la surface ne contient pas son propre pôle; ce pôle, c’est-à-dire le centre de la surface, est donc à distance finie. Si l’on transporte à ce centre o et parallèlement à elles-mêmes toutes les génératrices de la surface, les droites ainsi transportées conservent leurs mêmes points à l’infini ; on obtient donc un cône ayant pour sommet o et pour base la conique C, et, comme le point o est le pôle du plan de la conique C, on voit que ce cône est tangent à la surface

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

tout le long de la conique C située à l’infini ; ce cône, enveloppe des plans tangents à l'infini de la surface, ou, comme on dit plus rapidement, des plans asymptotiques à la surface, prend le nom de cône asymptote de l’hypcrboloïde. La surface est tout entière à l’extérieur de ce cône, sans quoi il y aurait des génératrices qui le couperaient à distance finie.

Par chaque point de la conique C passent deux génératrices, une de chaque système; donc, à chaque génératrice d'un système, répond dans Vautre système une génératrice parallèle , et, par suite, chaque génératrice du cône asymptote est parallèle à deux génératrices de la surface.

Trois génératrices d’un même système ne sauraient être parallèles h un même plan, sans quoi les trois génératrices correspondantes du cône asymptote seraient dans un même plan, ce qui est absurde, puisque le cône est du second ordre.

1215. Les sections planes de la surface peuvent être des hyperboles, des paraboles ou des ellipses suivant les positions du plan sécant; car, suivant que ce plan coupe la conique C en deux points, la touche ou ne la rencontre pas, le nombre des points à l’infini dans la section est 2, i ou o. D’ailleurs, les sections P et P( de la surface et du cône asymptote par un même plan quelconque sont semblables, semblablement placées et concentriques. En effet, soient D et D' deux diamètres conjugués de la section P faite par le plan ct dans la surface; les plans déterminés par le centre o de l’hyperboloïde et par chacune des droites D et D' seront diamétraux conjugués par rapport à cet hyperboloïde ; donc ils le seront aussi par rapport au cône, puisque (1203) le cône et la surface ont les mêmes systèmes de droites et de plans conjugués; par suite, les intersections de ces deux plans par ie plan a, c’est-à-dire les droites D et D' elles-mêmes, seront deux diamètres conjugués de la section P, faite par le plan & dans le cône asymptote. En particulier, les plans cycliques du cône asymptote coupent donc V hyperboloïde suivant des cercles ; on les nomme plans cycliques de l’hyperboloïde ; tout plan parallèle à un plan cyclique donne une section circulaire (1199).

1216. Puisqu’à tout diamètre de l’hyperboloïde répond le même plan diamétral, soit dans cet hyperboloïde, soit dans le cône asymptote, l’hyperboloïde et le cône ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués, et, par suite, les mêmes axes et les mêmes plans principaux. Des trois axes, l’un ozest donc intérieur (1204), et les deux autres exe t oy sont extérieurs et coupent seuls la surface; il y a donc deux sommets imaginaires et quaire sommets réels; le plan principal xoy coupe la surface suivant une ellipse qu’on nomme ellipse de gorge, et les plans principaux xoz et yoz la coupent suivant des hyperboles. Toute section par un plan parallèle au plan xoy est une ellipse semblable à l’ellipse de gorge et dont les

LES COURBES USUELLES