LIVRE Vin. — LES COURBES USUELLES

pondantes A et B et à deux génératrices correspondantes des deux cônes supplémentaires a et {5. Ainsi, m étant un point quelconque de la surface cp, on décrira une sphère du point o comme centre et avec om pour rayon; A étant l’intersection delà surface <p et de la sphère, et a étant le cône ayant o pour sommet et A pour directrice, on élèvera par le point o une perpendiculaire on au plan qui touche le cône a suivant la génératrice om ; le point n où cette perpendiculaire rencontre la sphère sera le point de la surface -b qui correspond au point m de la surface cp.

4 23-4. Les plans tangents p et v aux points correspondants m et n de deux sur faces apsidales cp et 4 sont perpendiculaires au plan mon et perpendiculaires entre eux.

En effet, la tangente m T à la courbe sphérique A [fig. 6 1 5) est à angle droit sur le rayon om de la sphère; elle est aussi à angle droit sur la droite on , puisque on est perpendiculaire au plan om T; donc cette tangente est perpendiculaire au plan mon, et, par suite, il en est de même du plan p qui contient m T.

On voit de même que le plan v est perpendiculaire au plan mon.

Il reste à montrer que les plans g et v sont perpendiculaires entre eux, ou bien, puisqu’ils sontl’un et l’autre perpendiculaires au plan mon , que leurs traces sur ce dernier plan sont rectangulaires. Or, soit m, (fig. 6 1 6 )

Fig. Gi6. Fig, 617,

un point voisin de m sur la section de la surface par le plan mon qui est pris ici pour plan de la figure ; la droite nmx sera à la limite la trace du plan p. Soit n{ le point de la surface 4* qui répond à m{ ; rabattons le triangle onn{ en onn2 sur le plan de la figure, par une rotation autour de on. Le plan nn,n2 est à la limite tangent suivant nn2 au cône de révolution que décrit /?/?, en tournant autour de no ; il est donc perpendiculaire au plan de la figure, et, par suite, nn2 est à la limite la trace du plan v. Pour un motif analogue, la droite on2 peut être considérée comme lu projection orthogonale de on{ ; donc l’angle m{on2 est droit comme R* et df. C. — Tr. de Gcoru. (l!e Partie). 32

géométrie dans l'espace.

étant la projection d’un angle droit mxonx dont un côté om{ est dans le plan de projection. Il suit de là que le triangle non2 n’est autre que le triangle mom{ qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o dans son plan; les droites mmv nn2, sont donc à la limite perpendiculaires l'une à l’autre.

1235. i° Les normales en m et n aux surfaces f et ^ sont contenues dans le plan mon et sont perpendiculaires entre elles.

20 Les perpendiculaires abaissées du point o sur les plans tangents g et v sont contenues dans le plan mon , et leurs longueurs, c’est-à-dire les distances du point o aux plans y. et v, sont égales.

3° La section de la surface <p par le plan moT [fi g. 6 1 5 ) a pour tangente en m l’intersection du plan om T et du plan g ; cette intersection est donc, comme chacun de ces deux plans, perpendiculaire au plan mon et par suite à la droite om. Donc la droite om est une normale à cette section, et l’on peut donner des surfaces apsidales cette définition, que Mac-Cullag prend pour point de départ dans le tome XVII des Transactions of the Royal Irish Acaclemie : La surface apsidale ■!> d’une surface donnée <p par rapport à un point o est le lieu des points obtenus en portant , à partir de o, perpendiculairement a charpie plan passant par ce point, des longueurs égales aux normales abaissées du point 0 sur la section faite dans la surface © par le plan considéré.

THÉORÈME

1236. Si deux surfaces e et é sont polaires réciproques par rapport à une sphère de centre o , leurs apsidales f et cp', relatives au point o, sont polaires réciproques par l'apport à la même sphère (f/g. 617).

En effet, soient n et n1 deux points homologues de e et de s', et m et m‘ les points correspondants de <p et de f. Prenons pour plan de la figure le plan non! , et désignons par v, v', jx, f, les plans tangents aux surfaces s, s', ©, f , aux points n , ré, m , né. D’après le corollaire (20), puisque o/é est perpendiculaire au plan v, la droite om est située dans le plan de la figure, et il en est de même de om', puisque le plan v' est perpendiculaire à on. D’ailleurs, si l’on abaisse np et mq perpendiculaires à oté et à oné , ces lignes seront les traces des plans v et jx, et l’on aura non-seulement o/é — om', mais encore (même corollaire) op = oq. Donc la relation

op. oté — r2,

où r est le rayon de la sphère auxiliaire, équivaut à

oq. oné = /-2,

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