Construire un tétraèdre, connaissant

i° Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées et les angles que font entre elles ces trois droites;

2° Un point de chaque arête;

3° La base et les longueurs des trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées;

4° La base et les droites qui joignent les sommets de la base aux points d’intersection des médianes des faces opposées.

643. Trouver le volume d’une pyramide triangulaire, en regardant cette pyramide comme la limite de la somme des prismes inscrits dans cette pyramide, l’inscription étant effectuée comme au n° 642.

646. Soit une pyramide triangulaire SABC. Par le milieu E de l’arête SB, on mène le plan DEF parallèle à la base ABC, le plan EGli parallèle à la face ASC, et le plan EDH ; la pyramide SABC se trouve ainsi décomposée en deux prismes triangulaires équivalents et en deux pyramides triangulaires équivalentes. On peut faire subir la meme décomposition à la pyramide SDEF, et continuer ainsi indéfiniment : en déduire le volume de la pyramide SABC.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

647. Étant donnée une pyramide triangulaire SABC, à quelle distance de la base ABC doit-on mener un plan parallèle abc , pour que le rapport des volumes de la pyramide S abc et du tronc de pyramide ABC abc soit égal à /«?

618. Étant données trois droites parallèles non situées dans un même plan, on porte sur Tune d’elles une longueur AB donnée, et l’on prend arbitrairement un point C sur la seconde droite, un point D sur la troisième; démontrer :

i° Que le volume de la pyramide triangulaire ABCD est constant, quelles que soient les positions des points C et D et la parallèle sur laquelle on porte la longueur AB ; 2° que ce volume est proportionnel à AB.

649. On donne l’arête A d'un prisme triangulaire quelconque; sur l’une des arêtes, on prend à partir de la base une longueur x\ sur la seconde arête, on prend de même une longueur a , et sur la troisième une longueur b. Par les trois points ainsi déterminés, on fait passer un plan qui divise le prisme en deux parties. Pour quelle valeur de x ces parties sont-elles équivalentes?

650. Trouver le volume du corps limité par quatre plans parallèles deux à deux, une face parallélogramme et un quadrilatère gauche ayant pour plan directeur cette face parallélogramme.

651. Étant donnés quatre polygones plans disposés d’une manière quelconque dans l’espace, trouver un point tel, qu’en le donnant pour sommet commun aux pyramides ayant pour bases ces polygones, les volumes de ces pyramides soient entre eux comme quatre droites ou quatre nombres donnés.

652. Couper un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes opposées, de manière que la section soit maximum.

653. Par la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre, on peut faire passer une infinité de plans : quel est celui qui détermine la section minimum?

654. Dans une pyramide SABCD dont la base ABCD est un trapèze, on donne la face SAD en grandeur et en position, son inclinaison sur la base ABCD, la direction des arêtes parallèles AB et CD, les angles de la base SBC, et l’on demande de construire la pyramide. — Même problème, en supposant qu’on donne la face SAD en grandeur et en position, son inclinaison sur le plan donné de la face SBC et les angles de celte dernière face.

655. Étant donné un prisme triangulaire, le couper par un plan tel, que la section soit semblable à un triangle donné.

656. Partager une pyramide quadrangulaire régulière en deux parties équivalentes, par un plan mené par l’un des côtés de la base.

657. Construire le parallélipipède circonscrit à une pyramide triangulaire.

658. Le volume d’un tétraèdre est le tiers du volume du parallélipipède circonscrit.

659. Trouver le volume du tétraèdre régulier par la considération du parallélipipède circonscrit.

660. Tout tétraèdre n’a qu’un seul parallélipipède circonscrit; mais tout parallélipipède correspond à deux tétraèdres inscrits, qu’on peut appeler conjugués et qui sont équivalents; l’un de ces tétraèdres étant donné, construire le second.

661. Calculer le volume du noyau octaèdre commun aux deux tétraèdres conjugués d’un môme parallélipipède.

662. Si l’on prolonge indéfiniment les arêtes de l’un des tétraèdres conjugués d’un parallélipipède, et si l’on considère quatre de ces arêtes opposées deux à deux, il existe toujours un plan, susceptible de deux inclinaisons différentes, qui, en se mouvant parallèlement à lui-même, coupe ces arêtes en quatre points situés sur une même circonférence. Dans quelle position du plan sécant le diamètre variable de cette circonférence est-il minimum?

663. Si l’on prolonge indéfiniment les arêtes des deux tétraèdres conjugués d’un parallélipipède, et si l’on considère huit de ces arêtes situées dans quatre faces du parallélipipède et parallèles entre elles deux à deux, il existe toujours un plan, susceptible de deux inclinaisons différentes, qui. en se mouvant parallèlement à lui-même, coupe ces arêtes en huit points situés sur une circonférence.

664. Par un point S pris sur le prolongement de l’axe d’un prisme hexagonal régulier et par les côtés du triangle équilatéral obtenu en joignant de deux en deux les sommets de sa base supérieure, on fait passer des plans qui détachent du prisme trois tétraèdres et les remplacent par un tétraèdre unique reposant sur sa base supérieure : déterminer la position du point S qui rend minimum l’aire du décaèdre ainsi construit (alvéole des abeilles).

665. Sur une première droite AA', on donne deux points fixes a et ô; sur une seconde droite quelconque BB', deux points mobiles c et d restent à une distance constante : chercher pour quelle position du segment cd l’aire de la pyramide abcd est minimum.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

§§ V, VI. — Figures symétriques. — Polyèdres semblables.

666. Déterminer les arêtes d’un parallélipipède rectangle, sachant qu’elles sont proportionnelles aux nombres a, b, c , et que le volume du parallélipipède est V.

667. Chercher le rapport des volumes de deux tétraèdres, dont l’un a été formé en menant par les sommets de l’autre des plans parallèles aux faces opposées.

668. Deux tétraèdres sont semblables : i° lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées; i° lorsqu’ils ont une face semblable adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés; 3° lorsqu’ils ont trois faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées; 4° lorsqu’ils ont cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

669. Les carrés des volumes de deux polyèdres semblables sont proportionnels aux cubes de deux faces homologues.

670. Une droite comprise entre deux faces d’un polyèdre donné est divisée en plusieurs segments; sur chaque segment, considéré comme l’homologue de la droite donnée, on construit un polyèdre semblable au polyèdre donné : démontrer que l’aire de ce polyèdre est égale au carré de la somme des racines carrées des aires des polyèdres segmentaires, et que son volume est égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de ces mêmes polyèdres.

671. Construire deux droites qui soient dans le même rapport que deux cubes donnés.

672. Démontrer que le tétraèdre formé en joignant les points de rencontre des médianes des faces d’un tétraèdre donné est semblable au symétrique de ce tétraèdre; chercher le rapport des volumes de ces deux tétraèdres.

673. On nomme centre de symétrie d’un système de points un point O tel, qu’en le joignant à un point quelconque A du système et en prolongeant la droite AO d’une quantité égale à elle-même, le point A' ainsi obtenu soit aussi un point du système proposé. — Démontrer d’après cela que, dans tout système de points limité, il ne peut exister qu’un centre de symétrie.

674. On nomme axe de symétrie d’un système de points une droite telle, qu’en faisant tourner le système d’un certain angle autour de cette droite, la nouvelle position de chaque point du système soit l’ancienne

position d’un certain point du môme système. — Démontrer que le plus petit des angles capables de restituer ainsi le lieu des points du système, dans la rotation de ce système autour d’un axe de symétrie, est une

partie aliquote i de 3Go degrés. Suivant que q est égal à 2, 3, 4 » • • • »

l’axe de symétrie est binaire, ternaire, quaternaire,. . . ; q est l'ordre de symétrie.

675. On nomme plan de symétrie d’un système de points un plan tel, qu’en abaissant d’un point quelconque du système une perpendiculaire sur ce plan et en prolongeant cette perpendiculaire d’une quantité égale à elle-même, l’extrémité ainsi obtenue soit encore un point du système. — Démontrer que, si un système possède divers axes et divers plans de symétrie, tous ces axes et tous ces plans doivent se couper en un mêmepoint.

676. Dans tout système possédant un plan et un centre de symétrie, la droite menée par le centre normalement au plan est un axe de symétrie d’ordre pair.

677. Lorsqu'un système possède deux plans de symétrie, l’intersection de ces plans est un axe de symétrie.

678. Un système dépourvu d’axe de symétrie ne peut posséder à la fois un centre et un plan de symétrie.

G79. Lorsqu’un système possède deux plans de symétrie non rectangulaires, il en possède un troisième.

680. Lorsqu’un système possède un plan P de symétrie et un axe L de symétrie oblique à ce plan, la droite U homologue de L par rapport au plan P est un nouvel axe de symétrie.

681. Lorsqu’il existe dans un système deux axes de symétrie binaires, la perpendiculaire menée au plan de ces axes par leur point d’intersection est un axe de symétrie.

682. Lorsqu’un système possède trois axes quaternaires rectangulaires entre eux, il possède en même temps quatre axes ternaires.