Construire un triangle, connaissant

i"* Un angle, ainsi que la hauteur et la médiane issues de son sommet ; a" Un côlé, un angle et une hauteur (cinq cas).

131. Construire un triangle ayant des angles donnés et tel, que ses sommets appartiennent à deux circonférences concentriques données.

132. Construire un triangle, connaissant la base, la différence des angles à la base, et sachant que le sommet doit être situé sur une droite donnée.

133. Dans tout triangle rectangle, le diamètre du cercle inscrit est égal à l'excès de la somme des deux côtés de Tangle droit sur l'hypoténuse.

134. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits, démontrer : i° que les quatre points de contact qui se trouvent sur un môme côté (deux intérieurs et deux extérieurs] sont deux à deux équidistants du milieu de ce côté; t? que la distance d'un point de contact extérieur au plus éloigné des deux sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre du triangle; 3** que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet ; 4° que la distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle ; 5** que la distance des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deux autres côtés du triangle ; 6° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des points de contact extérieurs est égale à celui des deux autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux points de contact.

135. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, 0 celui du cercle inscrit, et 0', 0', 0*, les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : i** que le cercle circonscrit passe par les milieux des droites OCy, 00", 00*^; a* que les quatre points 0, B, C, 0', sont sur un môme cercle dont le centre est sur la circonférence D; 3* que les points 0', B, C, 0"', sont sur un môme cercle dont le centre est sur la circonférence D.

136. Si Ton désigne par R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ; par r celui du cercle inscrit, par r\ r', r"*, ceux des cercles ex*inscrits;

QUESTIONS PROPOSEES. 36y

par S y S\ $'^ les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés; par pi, ^\ ft', les portions de ces perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a

les relations

^ -f- f*' -t- fx" = aR — r,

S^$' -hê' = R -4- r.

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à l'intérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, comment faut-il modifier cette relation?