LIVRE VI

LES POLYÈDRES

§§ I, IL — Du prisme.

593. I® Le volume d'un prisme Iriangulaire a pour mesure la Qioitié du produildeFaire d'une face latéralepar la distance de celte face à Tarêlc opposée.

a*" Si, sur trois droites parallèles et non situées dans un môme plan, on prend d'une manière quelconque des longueurs égales à une droite donnée, le volume et la surface latérale du prisme triangulaire ainsi formé sont constants.

504. Couper un cube pur un plan de manière que la section soit an hexagone régulier.

595. Deux prismes sont égaux : i® lorsquMIs ont un angle dièdre é^él compris entre une base et une face égales chacune à chacune et sembla* blement disposées; a*" lorsqu'ils ont une base et deux faces adjacentes égales chacune à chacune et semblablement disposées.

596. Deux prismes triangulaires sont égaux lorsqu'ils ont leurs faces latérales égales chacune à chacune et semblablement disposées.

597. Vérifier par la Géométrie la formule qui donne le cube d'une somme ou d'une différence de deux parties.

598. On donne trois droites deux à deux non situées dans un même plan, et l'on demande de construire un parallélipipède dont trois arète< soient sur ces trois droites.

599. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de huit fois le carré de la droite qui joint les milieux communs de ces diagonales considérées deux à deux. — Application au parallélipipède quelconque.

600. Dans un hexaèdre quelconque, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de quatre fois la somme des carrés des quatre droites qui joignent les milieux des diagonales du polyèdre et les milieux des diagonales de deux faces opposées. — Application au parallélipipède.

QUESTIONS PB0P08ÉBS. 517

COI. Mener par une droite donnée un plan qui partage un parallélipipède en deux parties équivalentes.

602. Dans tout prisme triangulaire, l'aire de la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres.

603. De tous les prismes de n foces, c'est le prisme régulier qui a : 1** La plus petite aire latérale, les bases étant équivalentes et les hauteurs égales;

^^ La plus grande base et le plus grand volume, les aires latérales étant équivalentes et les hauteurs égales ;

3* La plus grande hauteur et le plus grand volume, les bases et les aires latérales étant respectivement équivalentes ;

4" La plus petite base et la plus grande hauteur, les aires latérales et les volumes étant respectivement équivalents.

604. De deux prismes réguliers, celui dont le nombre de faces est le plus grand possède les quatre propriétés énoncées dans le numéro précédent.

605. De tous les prismes quadrangulaires, c'est le cube qui, à égalité d*aire, possède le plus grand volume et qui, à égalité de volume, possède la plus petite aire.

^ m, IV. — De la p3rramide.

606. Démontrer que deux tétraèdres sont égaux : i* lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; o!* lorsqu'ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés ; 3* lorsqu'ils ont trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; 4° lorsqu'ils ont une arête égale et cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

607. Les plans menés perpendiculairement sur les milieux des arêtes d'un tétraèdre se rencontrent en un même point.

608. Les plans bissecteurs des angles dièdres d'un tétraèdre se renoontrent en un même point.

609. Les perpendiculaires élevées sur chaque face d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à la face considérée se rencontrent en un même point.

610. Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux points d'intersection des médianes des faces opposées se rencontrent en un même point, situé au quart de chacune de ces droites à partir de la face correspondante. (Foir le n* 718.)

5l8 GÉOMfiTBlB DANS l'eSPACB»

6i1 . Les trois droites qui joignenl les milieux des arêtes opposées d'an tétraèdre se coupent mutuellement en parties égales.

642. Trouver dans Tintérieur d'un tétraèdre un point tel, qu^en le joignant aux quatre sommets on décompose ce tétraèdre en quatre tétraèdres équivalents,

613. Si Ton prend un point 0 dans l'intérieur d'un tétraèdre SABC, et si Ton prolonge les droites SO, AO, BO, CO, jusqu'à la rencontre des fiaces opposées en s, a, b^ r, on a la relation

Os Ofl Ob Oe

Sjt ' A« ' bb ' Ce

614. Si Ton coupe un prisme ou une pyramide par un plan non parallèle à la base, et si l'on prolonge les côtés de la section jusqu'à la rencontre des côtés correspondants de la base, les points d'intersection obtenus sont en ligne droite.

6i5. Étant données les faces d'un tétraèdre, trouver, en ne se servant que du compas, la longueur de la hauteur du tétraèdre et le pied de cette hauteur sur le plan de la base.

616. Deux tétraèdres qui ont un angle trièdre égal sont entre eux comme les produits respectifs des arêtes qui comprennent cet angle. — En déduire la première partie du théorème du n" 684.

647. Deux tétraèdres qui ont une arête égale et les angles dièdres correspondant à cette arête égaux chacun à chacun sont entre eux comme les produits des faces qui comprennent le dièdre égal.

618. Le plan bissecteur de l'angle dièdre d'un tétraèdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux faces qui comprennent l'angle dièdre. — Considérer le plan bissecteur de l'angle dièdre extérieur.

619. Soient le tétraèdre SABC et le point 0 où la droite SO également inclinée sur les trois faces latérales (voir la question S72) rencontre 1j base ABC : démontrer que les triangles OAB, OBC, OAC, sont proportionnels aux faces latérales correspondantes.

620. Le plan déterminé par une arête d'un tétraèdre et le milieu de l'arête opposée partage ce tétraèdre en deux tétraèdres équivalents.

621. Si par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposë<4 SA, BC, d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe l'arête SB en F et l'arête AC en G, la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales.

622. Tout plan conduit par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre le partage en deux volumes équivalents.

QUBSTIOMS PROPOSÉKS. 619

623. On donne une droite sur Tune des faces d*un tétraèdre, et Ton demande de mener par cette droite un plan qui détermine avec les faces de ce tétraèdre un autre tétraèdre qui soit au premier dans un rapport donné.

624. On donne une droite sur Tune des faces d'un angle trièdre, et l'on demande de mener par cette droite un plan qui ferme Tangle trièdre en déterminant un tétraèdre de volume déterminé.

625. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d'un prisme de même hauteur ayantpour base la demi-somme des bases du tronc de pyramide ? — Quelle erreur commet-on en remplaçant l'un des volumes par l'autre, pour une hauteur de 6 mètres et pour des bases du tronc de pyramide égales à 3"^, 75 et à a"^,85?

626. Mener, parallèlement à une droite donnée ou par un point donné, un plan qui partage un tétraèdre donné en deux parties équivalentes.

627. Trouver l'expression du volume d'un tronc de pyramide quelconque à l>ases parallèles, en le décomposant en troncs de pyramide triangulaires.

628. Les arêtes latérales d'une pyramide triangulaire SABC ont pour longueurs L, M, N ; on coupe cette pyramide par un plan abc non parallèle à la base, qui rencontre les arêtes latérales à des distances du sommet égales à /, /ti, /i : trouver le volume du tronc de pyramide ainsi déterminé.

629. On donne deux tétraèdres SÂBC, S'Â'B'C, tels, que les droites qui unissent les sommets correspondants concourent en un même point; démontrer que, si les faces correspondantes des deux tétraèdres se coupent, les quatre droites d'intersection sont dans un môme plan.

630. Soit un tétraèdre SABC ; par un point 0 pris dans la face SBC, 00 meneaux arêtes SA, AB, AC, jusqu'aux faces ABC, SAC, SAB, les parallèles OD, OE, OP : démontrer la relation

Op OE 0F bA"^AB"^AC" '•

631. Soit un tétraèdre SABC coupé par un plan quelconque DEP; menons les diagonales des quadrilatères ABDE, BCFE, ACFD ; ces diagonales se rencontrent deux à deux aux points G, H, K, et les droites SG, SH, SK, coupent elles-mêmes les côtés de la base ABC aux points L, M, N . Démontrer : 1* que les transversales AM, BN, CL, se coupent en un même point 0 de la base ABC ; a"" que les Iransvorsales SO, AH, BK, CG, se coupent en un même point P de l'espace.— Examiner le cas où la section DËF est paiallèle à la base ABC.

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GfiOMÉTRiE DANS L'eSPACB

632. Dans un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallties, les points d'intersection des diagonales des trois faces latérales et les points d'interaection des' côtés des bases prolongés deux à deux sont dans un même plan.

633. La hauteur d'un tétraèdre régulier est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d*un point pris dans l'intérieur du polyèdre sur ses quatre faces. — Examiner le cas où le point est choisi extérieurement.

634. Si, par un point quelconque pris dans l'espace, on fait passer plu« sieurs droites parallèles et égales aux différents côtés d'un polygone ou plusieurs polygones parallèles et égaux aux dilTérentes faces d'un polyèdre quelconque, la somme algébrique des produits obtenus en multipliant la longueur ou Taire de chacun des éléments ainsi transportés par la perpendiculaire abaissée sur lui d*un autre point constant de l'espace est égale à zéro. — Les produits considérés sont positifs ou négatifs» suivant que les faces transportées laissent ou non d'un même côté le centre commun des perpendiculaires.

635. Soit le tétraèdre SABC; menons une section quelconque DEP parallèle à la base ÂBC, et joignons les milieux des côtés de cette sectioo aux sommets opposés de la base : les trois droites obtenues se croisent en un même point dont on demande le lieu.

636. Par un point quelconque pris dans l'intérieur de la base d'une pyramide régulière, on mène à cette base une perpendiculaire qui rencontre toutes les faces de la pyramide ou leurs prolongements : démontrer que la somme des distances des points de rencontre obtenus à la base de la pyramide est constante. — Considérer le cas où le pied de la perpendiculaire élevée à la base est extérieur à cette base.

637. Étant données les quatre hauteurs d'un tétraèdre et les distancei d'un point à trois des faces, déterminer la distance de ce point à la quatrième face.

638. La somme des distances des sommets d'un tétraèdre à un plan est égale à quatre fois la distance du centre de gravité du tétraèdre à ce plan.

639. Quand, dans un tétraèdre, sur les trois couples d'arêtes opposées, deux sont formés d'arêtes perpendiculaires, la même condition est remplie par le troisième couple. — Conclure de là qu'il existe une infinité do tétraèdres à arêtes opposées orthogonales.