LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. ^/\Ç

» différence essentielle de ces polyèdres aux polyèdres (réguliers) ordi- » naires est que, dans ceux-ci, les faces étant projetées par des rayons » sur la sphère inscrite ou circonscrite, les polygones (sphériques) cor- » respondants recouvrent une seule fois la sphère; au lieu que, dans les » autres, ces polygones la recouvrent exactement plusieurs fois. » [PoiysoT, loc. cit.). Ce dernier point exige une explication : soient aj «2, . • ., a^ et w les projections sur la sphère des sommets successifs et du centre du polygone régulier convexe ou étoile qui constitue l'une det: faces du polvèdre; ce que nous entendons pav aire sp/iérique recouverte par la projection de cette face, c'est la somme des aires des triangles sphériques isocèles successifs waia2, wa^aa. .... a)a„a,.

918. On nomme ordre d'un polyèdre régulier le nombre de ses faces, et espèce d'un polyèdre régulier le nombre exact de fois que sa projection sur la sphère (c'est-à-dire la somme des aires sphériques recouvertes par les projections de ses diverses faces) recouvre cette sphère.

919. Il est facile de voir qu'en prolongeant les côtés d'un polygone régulier jusqu'à leur rencontre on forme un polygone étoile de même ordre, qui a pour noyau le polygone primitif. On peut faire provenir d'une manière analogue les polyèdres réguliers d'espèce supérieure des polyèdres réguliers ordinaires; en prolongeant les arêtes ou les faces d'un des polyèdres réguliers déjà connus, on obtient, sauf les cas d'impossibilité, un nouveau polyèdre régulier qui a pour noyau le polyèdre régulier ordinaire qui a servi de point de départ. C'est ce qu'a établi M. Cauchy [Journal de V École Polytechnique, t. IX, p. 68).

Plus lard, M. J. Bertrand [Comptes rendus de i Académie des Sciences, t. XLVI) a rattaché les nouveaux polyèdres aux polyèdres réguliers déjà connus, par une démonstration du même genre, mais beaucoup plus simple : c'est celle que nous allons exposer.

920. Nous regarderons d'abord comme évident que, des points quelconques étant donnés dans l'espace, on peut toujours trouver un polyèdre

■ CONVEXE, dont les sommets soient pris parmi les points donnés, et qui contienne tous les autres points dans son intérieur, à moins qtHl n'ait précisément pour .sommets tous les points donnés eux-mêmes.

Nous savons d'ailleurs (693) qu'il ne peut exister de polyèdre convexe dont chaque .sommet soit la réunion de plus de cinq faces.

THÉORÈME

921. Etant donné un polyèdre régulier A, d'espèce (ptrlconqtte, il existe toujours un polyèdre régulier convexe X rpii a les mêmes sommets que le polyèdre A.

Les sommets du polyèdre régulier quelcompie A étant sur une même

25o GÉtîMÉTBIE DANS l'eSPACE.

Bphère (908), tout polyèdre convexe dont les sommets sont pris parmi ceux de A ne saurait contenir les autres dans son intérieur. Il existe donc (920) un polyèdre convexe X dont tous les sommets se confondent avec ceux du polyèdre A, Il reste à prouver que ce polyèdre convexe X est régulier.

Désignons par P la figure formée par l'ensemble des deux polyèdres considérés, et par Q une autre figure identique à la première. Puisque le polyèdre A est régulier, la coïncidence des deux figures pourra être obtenue en plaçant un sommet quelconque de Q sur un sommet déterminé de P, ce qui entraîne l'égalité de tous les angles polyèdres du polyèdre convexe X.

De plus, deux sommets étant l'un sur l'autre, la coïncidence des deux polyèdres A qui font partie de P et de Q, et par suite celles des figures totales, pourra être obtenue au moins de trois manières différentes; car les sommets considérés appartiennent à des angles au moins trièdres et, sur l'une des faces du premier angle, on peut placer une face quelconque du second. Les angles polyèdres correspondants des deux polyèdres convexes X sont donc, à leur tour, non-seulement égaux, mais susceptibles de coïncider aussi de trois manières différentes au moins; et, comme ces angles sont trièdres, tétraèdres ou pentaèdres (695), ils ont alors nécessairement toutes leurs faces égales et également inclinées.

Les faces des deux polyèdres X sont donc des polygones équiangles et également inclinés, dont la coïncidence peut être établie en plaçant un sommet arbitraire de Q sur un sommet désigné de P; en d'autres termes, ces faces sont des polygones réguliers égaux. Le polyèdre X, ayant pour faces des polygones réguliers égaux et pour angles des angles polyèdres égaux, est régulier..

Il convient de remarquer que l'ordre des angles polyèdres est le même pour le polyèdre A et pour le polyèdre X. Ou le voit sans peine en se fondant sur ce que cet ordre ne peut être que 3, j ou 5.

THÉORÈME

922. Il n'existe que quatre polyèdres réguliers (V espèces supérieures, « En vertu du théorème précédent, pour obtenir les polyèdres régu- » liers d'espèces supérieures, il faut évidemment prendre les polyèdres i) réguliers convexes (90o), et procéder de la manière suivante: choisir » un sommet sur l'un de ces polyèdres, et chercher s'il existe d'au- » très sommets qui, réunis à celui-là, puissent former un polygone ré- » gulier. » (J. Bertrand, loc. cit.) Ce polygone est alors une face possible d'un polyèdre d'espèce supérieure ayant mêmes sommets que le polyèdre convexe proposé. Si le polyèdre d'espèce supérieure existe, le nombre des polygones égaux partant alors d'un môme sommet est le