csfr

En eiïct, menons deux sécantes fixes Oaa',Obb, et désignons par ael a' les points où la transversale 0mm' coupe les côtés opposés ab et a'b' du quadrilatère inscrit ab b'a'. D'après le tlicorèmede Desargues (1121), le pointO est un point double de l'involution déterminée par les deux couples (m, m'), (a, a'); or, par hypothèse, O'esl le conjugué harmonique de Opar rapport au segment mm' ; c'est donc l'autre point double, et, par suite, il est aussi le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment ax' ; donc, quand la transversaleOwm'tourneautourde 0,1e point O'décritla polaire du point 0 par rapport à l'angle bub' formé par les droites Gxes ab et a'b'.

Le pointOetIa droite îiO' son Idits/jfî/e et /)o/rt/reporrapportàla conique.

En observant que la polaire de Opar rapport à l'angle /.'«Z»' renferme (337) le point d'intersection des droites ab' et ba', on voit, par la démonstration même qui précède, que : Si par un point 0 pris dans le plan d'une ennique on mène deux sécantes Oaa', Obb', et si l'on prend les points de rencontre u et v des droites qui joignent deux à deux les cxtrénùlcs des cordes aa' et bb' , le lieu des points u et c, lorsqu'on fait varier les sécantes Oaa', Obb', est la polaire du point 0 par rapport à La conique.

SgÔ GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Quand les droites Ow/', OU/, se confondent, les cordes o^, «7;', sont les tangentes en a et «'; donc, si par un point 0 pris dans le plan d'une conique on mène une sécante Oad et les tangentes at, a' t', aux points a et a' où elle rencontre la conique, le lieu du point de concours t de ces tangentes, lorsque la transversale tourne autour de 0, est la polaire de ce point 0.

La polaire est la corde de contact des tangentes issues du pôle; car, au point de contact k d'une tangente issue du pôle, les trois points w, m' , 0', sont réunis. Par suite, la polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point, et, inversement, le pôle cVune tangente est son point de contact.

\ 137. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite, et, inversement, les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situes sur la polaire de ce point.

Eli effet, soient {//g. 584) un point A et une droite L qui sont pôle et

poliiire par rapport à une conique C. A' étant un point quelconque de L, la droite A A' coupe la conique en deux points a et ^ (réels ou imaginaires), et A et A' sont conjugués liarmoniques par rapport à «p; donc le point A appartient à la polaire L' de A'. Ainsi la polaire d'un point quelconque A' de L passe par A, et, in\ersement, le pôle A d'une droite quelconque L passant par A' est sur la polaire L' du point A'.

Il résulte de là que toute droite a pour pâle Fintersection des polaires de dcu.i de SC'S points, et que tout point a pour polaire la droite qui joint les pâles de deux droites issues de ce point.

1138. La polaire d'un point O couj)e la conique en deux points réels

LIYlli; VIU. — LES COURBES LSLELLES. 3g~

OU imaginaires, qui sont les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires issues du point 0.

Lorsque la polaire du point 0 coupe la courbe en deux points réels, de ce point 0 on peut mener à la conique deux tangentes réelles, et le point 0 est dit extérieur à la conique.

Lorsque la polaire du point 0 rencontre la courbe en deux points imaginaires, les deux tangentes issues du point 0 sont imaginaires, et le point 0 est dit intérieur à la courbe.

La région intérieure et la région extérieure ont pour ligne de démarcation la conique elle-même qui est le lieu des points dont les polaires louchent la courbe, c'est-à-dire ont chacune avec la courbe deux points communs réels et coïncidents.

Considérons une conique C et un point extérieur T {fii;. 584). La polaire de ce point rencontre la courbe en doux points réels y. et p, et les droites Ta, TS, sont les tangentes réelles issues du point T. Nous donnerons à l'angle aT 5' formé par les directions Ta et T[i le nom (.{'angle des tangentes, et nous appellerons l'angle STa formé par la direction TS et par la direction Ta' opposée à Ta rnngle supjjlémentnire des tangentes. Cela posé, prenons les points a et [i pour centres des deux faisceaux générateurs de la conique, et considérons une droite quelconque TL ou TL' issue du point T. Les deux jaisccnux traceront sur cette droite deux divisions honingraphi<iues en involution ; car le point T, considéré successivement comme appartenant à l'une ou à l'autre de ces divisions, a toujours pour homologue le même point A (ou A'), où la polaire a^ de T rencontre la transversale TL' (ou TL). Les points doubles, réels ou imaginaires de cette involution, seront les points réels ou imaginaires communs à la transversale et à la conique. Or il est aisé de voir que ces points sont réels tant que la transversale est, comme TL', située dans l'angle aTS des tangentes, et imaginaires lorsque la iranversale est, comme TL, placée dans l'angle ^Ta' supplémentaire des tangentes. En effet, dans le premier cas, le segment TA et le segment nn' formé pnr deux points homologues de l'involution correspondant à un point quelconque m de U courbe n'empiètent pas l'un sur l'autre et, par suite, les points doubles de linvolutiori sont réels; mais, si TL' tourne autour de T de manière à venir sur TL dan.^ l'angle supplémentaire, les points n et n' glissent sur les droites fi.xes olc . ph, se croisent en S, et sont ensuite de part et d'autre du point T ; les segments nn' et TA' empiétant l'un sur l'autre, l'involution a ses points doubles imaginaires. Ainsi ia courbe est située tout entière dans l'angle aTfi de tangentes issues d'un point extérieur (juclconr/ue T (et dans son opposé par le sommet).

1!3'J. Les propriétés (352, 3o3) des quadrilatères inscrits et cir-

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conscrits, ainsi que leurs démonstrations, s'appliquent aux coniques.

Il €n est de même du théorème démontré au n° 1119. Dans cette proposition et dans les tracés (H2o) qui en dérivent, on peut substituer au cercle une conique. Il en résulte un théorème que nous n'avons pas énoncé alors, parce qu'il était évident pour le cercle, mais qui est une propriété importante des coniques : Si autour cVun point dune conique, comme sommet, on fait tourner un angle droit, la corde variable cjue ses côtés interceptent dans la conique passe par un point fixe, car les deux côtés de' l'angle droit décrivent un faisceau involutif. Il est évident que le point fixe est situé sur la normale au point considéré, puisque, quand l'un des côtés de l'angle droit devient tangent, la corde interceptée devient normale. Cette proposition, connue sous le nom de Tliéorènic de Frégier, fournit donc un moyen simple j)our construire avec Téquerre la normale en un point donné d'une conique.

Le théorème (IM9) étendu aux coniques donne une solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent respectivement par des points donnés A, B, C, . . . , M. Si un sommet a était connu, on tracerait immédiatement le polygone; il suffirait de mener la droite Aa, de joindre au point B le second point b d'intersection de A« et de la conique, de joindre au point C le second point c d'intersection de la droite B6 et de laconique, et ainsi de suite; la dernière droite Mw couperait pour la seconde fois la conique précisément au point a. Cela posé, prenons arbitrairement un |iremier point de départ a^ sur la conique, joignons-le au point A, et opérons comme cidesSus; nous obtiendrons une ligne brisée inscrite a^b^c^. . . w, a,, mais qui ne se fermera pas, c'est-à-dire telle que la dernière droite M«j, rencontrera pour la seconde fois la conique en un point a, différent de a^. Construisons deux autres lignes brisées analogues fljèj.-.a,, a^b^ . . . 'j-„, et soit S un point fixe pris à volonté sur la conique. D'après le théorème du n° 1119, le faisceau {S.aa^a^a^) est homographique du faisceau ['è.bb^b^b.j^), puisque les cordes ab,a^b^, a^b.^, fi^b^, passent par le même point A; de même, le faisceau {S.bb^b^b^) est homographique du suivant {S.cc^c^c^), et ainsi de suite; donc le premier et le dernier faisceau {S.aa^a^a^), (S.ax^a^y:^), sont horaographiques, et Sa est un rayon double de ces deux faisceaux. On voit par là qu'il suffira de construire (M 26) les rayons doubles des deux faisceaux homographiqucs déterminés parles trois couples (Sa^, Sa,) [Sa^,Sx^) [Sa^, Sy-j); chacun de ces rayons doubles coupera la conique en un point qui pourra être pris pour le sommet a; il y a donc deux solutions.

Le problème corrélatif : Circonscrire à une conique un polygone dont les sommets soient situés respectivement sur des droites données, se résoudrait d'une manière analogue en s'appuyant sur le théorème cor-