I.IVIiK VIM
LES COllRtlES ITSII'LLES.
De la dcfinition même du foyer et de la directrice, il résulte (lue la })i)htirc TT' d'un point (juclconrjitf I de la directrice DD, passe par te
fnyrr F et est perpendiniUiire sur la dnitc qui joi/it le poitit I au jo)Ci. P;ii' suite, si Von prolow^c une corde quelcorupic MN d'une ellipse ou (Tune hyperbole jusrpià sa rencontre en I avec la directrice, la droite IF et la polaire FT du point I sont les bissectrices des angles formes par la rayons vecteurs FM et FN ; cur, d'après la définition même de la polaire, le faisceau (FI, FN, FT, FM) est harmonique, et nous venons de voir que les deux rayons FT et FI sont rectangulaires.
Dans l'elli/jsc et dans rinperbole, le rapport des distances MF et MP d\t/i point quelconque M de la courbe au forer F et à la directrice correspondante DD, est constant. Car, si N est un autre point quelconque de la courbe, et I le point où la corde MN rencontre la directrice, la droite FI est bissectrice de l'angle NFG ; on a donc
MF NF
MI
MP NQ'
MF
Pour trouver la valeur constante du ra|)port^, > il suffit de considérer le point B; sa distance au foyer est égale à a, et sa dislance à la directrice est OH = — : le quotient est - ; on le désigne habituellement par c,
et on lui donne le nom û' excentricité ; il est moindre que un pour l'ellipso et plus i^rand (pie un pour l'hyperbole.
1159. Dans l'ellipse la somme, et dans Pliypeibole la différence des rayons vecteurs MF et MF', qui jnii^ncnt un point quelconque I\I de ta courbe cuix deux foyers, est constante.
Car, des relations
M F r MF' c MP^«' MP'^'â'
on déduit
MF + MF' c MF — MF' c
^^^ MP~=rMF~« MP-MP'~a*
Or, diins Fellipse, MP -h MP' = IIH' = '^ — ; donc, en vcrlu de la première
des égalités (i),
MF -i-MF'= la.
Dans l'hyperbole, MP — MP' = HM' = -2 — j donc, en vertu de la seconde
des égalités (i),
MF — MF' = 2rt.
On retombe ainsi sur les définitions élémentaires de ces courbes, et l'on peut dès lors regarder comme acquises les propriétés et les constructions établies aux §§ I, II, IV du Livre VIII.
llfiO. Considérons maintenant la parabole.
Le centre, qui est le point central de l'involution tracée sur l'axe AX {fis- ^9^) P^"" 'f's pieds des divers couples de droites conjuguées rectangulaires, étant à l'infini, l'involution a l'un de ces points doubles à l'infini, et l'autre point double est le joycr unique de la parabole. Il divise en deux parties égales (1114) le segment intercepté sur le grand axe par deux droites conjuguées rectangulaires quelconques, et en particulier /;><7r la tangente et la normale en un point quelconque de la j)arahnle ; d'où l'on conclut (339) que la Umgcntc et la normale en un point quelcon(iue de la parabole sont les bissectrices des angles formes par la parallèle à l'axe menée par ce point et le rayon vecteur mené de ce point au joyer.
La directrice ou polaire du foyer est perpendiculaire à l'axe, et extérieure à la courbe, puisque son pôle est intérieur comme doit l'être tout foyer réel (HoS). Le foyer et la directrice sont d'ailleurs à égale distance du sommet (llTiS).
On voit, comme au numéro précédent, que : i° la polaire d'un point quelconque de la directrice est perpendiculcdre sur la droite qui joint ce point au foyer; i° la droite rjui joint le foyer à l'intersection de la directrice et d'une corde quelconque de la parabole est la bissectrice du supplément de r angle formé par les rayons vecteurs des points où la corde coupe la ])ar<ihiile.
On en déduit cjue le rapport des distances d'un point (piclcon<pic de la parabole au foyer et à la directrice est constant ; comme le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, la constante est égale à un ; donc tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. On
