LIVRE VMI. LES COURBES USUELLES
deux tangentes coiiiiuuiics pasaaiu par ce foyer; ce sont les droites qui vont de ce foyer aux points cycliques du plan; les cordes de contact sont les directrices de l'une et de l'autre conique relatives à ce foyer; 1° que deux coniques confocales, c'est-à-dire qui ont deux foyers communs, sont inscrites dans le même quadrilatère imaginaire.
Cette notion très-féconde des foyers considérés comme des points tels que les tangentes correspondantes passent par les poinis cycliques du plan est due au géomètre Pliicker (Journal de Crelle,i. X), qui a ainsi pu étendre l'idée de foyer aux courbes algébriques d'ordre quelconque : on appelle foyers d\ine courbe plane d'ordre quelconcpie la poinis comnnins aux tangentes menées à la courbe par les points cycliques de son jjlan.
^163. Voici qnclqres formules utiles :
• i"C( nsidérorisMnet-////;Ar rapportée ii son centre Oetà ses axes OA = «et Ç)h=^li[Jig. 598) ; M étant un quelconque de ses points, soient x etj ses coordjnnées OP et IMP, p et &' les deux rayons vecteurs MF et MF', et b' la longueur du demi-diamètre conjugué de OM. Menons la tangente TMT' et la normale MNN', la perpendiculaire MD sur la directrice, et les perpendiculaires OE, FK, F'K', abaissées du centre et des foyers sur la tangente.
On a
(i) ^ ~ a-- ex^ 6* =- rt -+- c .r , b'^ = a^—e^x''= pp\
OT
ON
(3) ON = ^, .r , 0N'= - r!r, P-^' = ^•^, a^ b--^ a'
(4) MN = -\/^' = — 5 MN'=y/^'-^', MN.MN'=^'%
(*)^'<=V^' = 7' ''^-"sl^f
bb' ,^„ td)
La première des formules (i) résulte de la relation
FM.= f.Mf) = r(0H-0Pi.
La troisième des formules (i) s'obtient en faisiuu la somme des carrés des valeurs (8) du n" H4/, et en ayant égard à la position du puinl IM sur l'ellipse. — Les formules (2) sont une conséquence de la tliéorie des pôles et polaires. — La première formule (3) résulte de la Ihéorie des foyers, et la seconde de la similitude des triangles ONN', NPM. — On obtient la première formule (4) en applifjuant la forniulc du n" 23S. et la seconde résulte de la similitude des triangles ONN', NPM. — Kniin, les deux premières formules (5) s'obtiennent à l'aide du théorème du
GÉOMÉTRIB DANS l'eSPACK.
n" 99o et de la similitude des triangles FMK, F'MK', qui donne le rapport de FK à F'K'; la troisième s'en déduit en prenant la demi-somme.
2° En changeant b'^ en — i', on a des formules analogues pour \lijrjM rbole.
F'S- 598. Fig. 599.
3" Considérons une parabole rapportée à son axe A^- et à la tangente ky au sommet [Jîg. Sgg). M étant un quelconque de ses points, soient r et j» ses coordonnées AP et MP, p le rayon vecteur MF, p le paramètre FH = 2AF, et 0 l'inclinaison de la timgente MT sur l'axe. Menons la normale MN, et abaissons la per[)endiculairp FK du fover sur la tangente MT.
On a
TP = 2.r. P\ = p, TN = p-hJ:, Le triangle rectangle FTK donne ensuite
1k =l¥.'ïk = ox, Kf' == FT.AF
d'où
MT^ = 10X., Mn' =/jp.
lîiitin, dans le triangle rectangle TMN, on a
PN p . ,, PN^ ;
