LIVRE vni. — LES COURBES USUELLES

deux droites imaginaires d'un même couple ac et hd ou ad et bc ne sont pas conjuguées ; car, si ne et bd l'étaient, leur point d'intersection/»' serait réel, et chacune de ces droites, ayant deux points réels a et p' oxib et/V, serait réelle. La conjuguée de ne est évidemment nd, et celle de hd est br.

Si les deux coniques ont quatre points communs iina^innires conjugués deux h deux a ei b, c et d, les cordes communes ab et cd sont réelles, puisque chacune aura deux points imaginaires conjugués ; les autres cordes communes ne et bd, ad el bc, sont imaginaires ; car si, par exemjile, ne était réelle, les points « et c où elle coupe respectivement les droites réellesrt^ et rr/ seraient réels. Ici, les droites imaginaires d'un même couple, ac et bd ou nd et bc, sont conjuguées; car on passe, par exemple, de ac à bd en remplaçant a par son conjugué b et c par son conjugué d.

En transformant la proposition précédente par la méthode des polaires réciproques et donnant le nom d'ombilic à tout point d'intersection de deux tangentes communes, on voit que :

Deux coniques ont :

1° Q/intrc tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées ; 2" Trois systèmes de deux ombilics, l'un au moins de ces systèmes étant réel.

Si les quatre tangentes communes a, j3, y, ^, sont réelles, les trois couples

Fi{;. 601.

d'ombilics sont réels (Jîg. 601). En désignant le point commun à deux

^36 GÉOMÈTRIB DANS l.'l-.SPACE.

droite» L et L' par la notation (L, L'), le premier couple est formé par A ou (k, S) et A, ou (7, ê), le second couple par B ou («,7) et B, ou {P, S), le troisième par C ou (a, 0) et C, ou (S, 7).

Si le quadrilatère circonscrit a deux côtés réels a. et pet deux imaginaires conjugués 7 et S, ou encore si le quadrilatère a ses côtés imaginaires conjugués deux à deux en. et p, ^j et <?, // liy a qu'un couple cU ombilics réels; c'est le couple A ou (a, S) et A, ou (7, 5).

1171. On nomme pôle double tout point du plan de deux coniques qui a la même polaire par rapport à ces deux courbes {fg. 601).

Soient p le point commun aux cordes ab et cd, p le point d'intersection de ac et de bd. et /;" le point de rencontre de ad et bc. Chacun des sommets du triangle pp' p" est évidemment le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques. A\ns\, tout point d'intersection de deux cordes communes est un pôle double (ou un point commun aux denx coniques). Réciproquement, tout pôle double est l'intersection de deux cordes communes; en effet, soit p^ un pôle double, et a, a' les points où p^n rencontre pour la seconde fois chacune des coniques; le point /;>, devant avoir le même conjugué harmonique par rapport aux deux segments ay. et ay! , il faut que a et a' coïncident, c'est-à-dire se confondent avec l'un des points b, c, d^ avec c par exemple; ainsi le point p. est sur ac\ on verrait de même qu'il est sur bd\ il est donc à la rencontre de deux cordes communes.

Les trois seuls pôles doubles sont donc les sommets du triangle pp p". Ils sont éVidemmenl réels tous les trois, si les quatre points a, b, c, d, communs aux deux coniques sont tous les c^uatre réels. Ils le sont aussi quand les points a, è, c, f/, sont tous imaginaires, car, alors, les deux cordes d'un même couple sont réelles ou imaginaires conjuguées. Mais, si les points a et b sont réels, et c et d imaginaires conjugués, le pôle double p est leseul réel; il est réel parce qu'il appartient aux deux cordes réelles «^ et cd\ et // et //'sont imaginaires, car, si p'. par exemple, était réel, la droite ap ou ac serait réelle. Observons enfin que chacun des pôles doubles est Je centre d'un faisceau harmonique formé par les deux côtés du triangle et les deux cordes communes qui passent par ce point.

On nomme polaire double toute droite qui a le même pôle par rapport aux deux coniques. Toute polaire double est la polaire d'un pôle double, et réciproquement; il n'y a donc que trois polaires doubles, dont une toujours réelle : ce sont les côtés du triangle pp' p", auquel on donne le nom de triangle autopolaire commun aux deux coniques.

Les trois diagonales P, P', P'', du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes y.\ j3, 7, «?, aux deux coniques, sont réelles si les quatre droites a, p, 7, ^, sont toutes réelles ou toutes imaginaires

LIVIIK YIII. — LES COLRDES l"SLi:i ITS. iSj

(conjuguées). Si deux de ces tangentes y. et S sont réelles, et les deux antres 7 et 0 imaginaires conjuguées, la diagonale P est seule réelle.

Ces diagonales P, P', P", sont évidennment des polaires doubles; elles ne diiïèrent donc pas des côtés du triangle pp'p". En outre, il résulte immédiatement de la construction de la polaire d'un point par rapport à deux droilesque les deux ombilics et les deux pôles doubles situéssur un même côté du triangle autopolaire pp'p" forment un système harmonique.

En résumé :

Si le triangle autopolnire pp'p" est eittièreinent ri cl, les deux cnni(jues ont :

Soit quatre points communs réels et (paître tangentes communes réelles ;

Soit quatre points comnutns i/i/ai^i/uiires et quatre tangentes communes imaginaires ;

Soït quatre points rn/n/nuns réels et quatre tangentes comnuines inuiginaires ;

Soit quatre points comnutns imaginaires et quatre tangentes comnuiues réelles ;

Et si le triangle autnpulaire n\i de réels (ptUm sommet p et le coté opposé P, les deux coniques ont :

Deux points communs réels et deux points communs imaginai/Ts, et en même temps deux tangentes communes réelles et deux tangentes communes imaginaires .

Dans le troisième cas, l'une des coniques au moins est hyperbolique.

1172. Si deux points pris sur une corde commune sont conjugués par rapport h l'une des conirpws, ils le sont aussi par rapport à l'autre. Car, puisqu'ils sont conjugués par rapport à la première conique, ils divisent harmoniquement la corde commune, et, par suite, ils sont conjugués par rapport à la seconde conique.

Réciproquement, si, sur une droite située dans le plan de deux coniques, il existe deux couples de points a et f^ , b et h' , tels que les deux points d'un même couple soient conjugués à la jois par rapport aux deux coniques, cette droite est une corde couunune aux deux coniques. Car les points de chacune des deux coniques situées sur la droite sont les deux points réels ou imaginaires qui divisent harmoniquement le segment tui et le segment bb'.

Les propositions corrélatives s'énoncent de la manière suivante :

Si deux droites issues d'un ombilic sont conjuguées par nqjport à l'une des coniques, elles le sont aussi par rapport h P autre.

Si par un j)oint du plan, de deux coniques passent deux couples de droites k et X\ B et B', situées dans ce plan et telles que les deux droites de chaque couple soient conjuguées par rapport aux deux conifpies, ce point est un ombilic

438 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.