LIVRE VIII. — LES SL'RFACES USUELLES

est le point où le grand axe du cône perce l'hémisphère qui contient la courbe., et ses foyers, intersections de cet hémisphère et des lignes focales, se trouvent sur l'arc de grand cercle qui unit les deux seuls sommets de la courbe. Pour tout point Mde l'hyperbole sphérique, c'est la différence (et non la somme) des arcs vecteurs MF et MF' qui est constante. Quant aux plans cycliques du cône, ils coupent l'hémisphère suivant deux demigrands cercles passant par le centre de l'hyperbole et également inclinés sur l'arc qui joint les foyers ; ce sont les arcs cyclir/itcs de l'hyperbole.

Enfin, si l'on considérait 1 hémisphère situéd'un côté du plan delà grande section du cône, lequel plan contient les lignes focales, on aurait deux moitiés de demi-ellipses sphériques se présentant leurs concavités et dont l'ensemble forme une troisième espèce de courbe sphérique. Celte courbe a un centre, intersection de la sphère et du petit axe du cône, quatre foyers situés dans le plan de la grande section du cône, et deux arcs cyclicfues situés entre les deux branches de la courbe et perpendiculaires à l'arc de grand cercle qui joint les deux sommets.

Les trois courbes que nous venons de considérer sont des portions de la courbe unique, dite conique sphéricjue, qui est l'intersection complète de la sphère et du cône.

A une conique sphérique répond une conique sphérique supplémentaire : c'est l'intersection de la sphère par le cône supplémentaire de celui qui produit la première conique. On peut aussi parvenir directement à cette conique supplémentaire en la considérant comme l'enveloppe des arcs de grands cercles dont les plans sont normaux aux rayons de la sphère menés par les différents points de la conique primitive.

Les arcs cycliques de l'une des coniques sont dans les plans diamétraux perpendiculaires aux diamètres de la sphère qui passent par les foyers de l'autre conique.

Les deux théorèmes relatifs à l'invariabilité de la somme ou de la différence des arcs vecteurs d'une conique sphérique, et à l'égale inclinaison de l'arc de grand cercle tangent sur les arcs vecteurs, sontdusàM. Magnus, de Berlin [Annales de Gergonne, iSaS).

1210. Par deux sections planes quelconques d'une surface du second ordre, on peut toujours faire passer deux cônes. En effet, considérons la droite L' conjuguée de l'intersection L des deux plans, c'est-à-dire de la sécante commune aux deux courbes ; par celte droite L' et par un point m quelconque de l'une des courbes, menons un plan, et soient/? et q les points communs à ce plan et à la seconde courbe ; du point ,y, où mp rencontre!/, projetons la première courbe sur le plan de la seconde, celte seconde courbe et la projection de la première se confondront, car ce sont des conirpies ayant trois points communs, dont deux, situés sur la sécante commune L, sont dos points de contact. Le point s est donc le

4So (iÉOMÉTRlE BA.VS LtSI'ACE.

sommet d'un cône passant par les deux courbes, et l'inlersecliondeL'el de mq serait le sommet s' d'un second cône jouissant de la même propriété. Les deux cônes se touchent aux deux points qui sont communs aux deux courbes planes. On peut montrer que, réciproquement, deux cônes du second ordre, qui ont deux plans tangents communs, se coupent suivant deux courbes planes. Plus généralement, deux surjaces du second ordre qui se touchent en deux points a et b se coupent suivant deux courbes planes. En effet, c étant un troisième point commun, le plan abc coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui se confondent, puisqu'elles ont trois points communs a, h, c, et les mêmes tangentes aux points a et b. Voilà donc une conique commune aux deux surfaces. Mais l'intersection complète de deux surfaces du second ordre est du quatrième ordre, car tout plan transversal, donnant une conique dans chaque surface, coupe l'intersection des deux surfaces en quatre points (réels ou imaginaires). Donc, dans le cas qui nous occupe, l'intersection se compose de la conique que nous avons déjà déterminée et d'une seconde conique- La seconde conique passe, comme la première, par les points n ei b; car on verrait, comme ci-dessus, que, si d est un point de l'intersection non situé sur. la première conique, le plan nbd coupe les deux surfaces suivant une conique commune qui, par conséquent, n'est autre que la seconde conique considérée.

Toutefois, lorsque l'intersection des plans tangents en a el b se confond avec la droite nb, cette droite appartient aux deux surf jces qui, alors, ont de plus en commun une ligne du troisième degré. Ce cas d'exception au théorème de Monge a été signalé par M. de la Gournerie, dans une lettre à Poncelet ( Traité des propriétés projectives, annotations de la seconde édition).

Il résulte du théorème précédent que, si deux surfaces du second degré se touchent en trois points <?, /y, f , elles se raccordent le long d'une ligne plane. L'intersection des deux surfaces doit, en effet, se composer de deux coniques dont les plans passent à la fois par «, é, c; ces deux coniques coïncident donc et forment une conique double suivant laquelle les deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre.