LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES. -'igi

l:22o. Soient on' , ob\ oc\ un système de trois demi-diamètres conjugués, et od, nb, oc, les trois demi-axes. Conservons le diamètre oc' et substituons à ou' et où' deux autres diamètres oa" et ob" conjugués entre eux dans le plan a'oh', et dont l'un oa soit l'intersection de ce plan avec le [)lan (lob; on aura

ofi' -h nb' = oa" -.- oh" .

Les trois droites oa", o//, or', formeront encore un système de diamètres conjugués, et le plan b"oc' contiendra l'axe oc, puisque oa" est dans le plan principal aob. Conservons maintenant nu", et remplaçons ob" et oc' par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le plan c'ob", dont l'un, ob,, soit l'intersection de ce pian avec le plan «o^; alors, ort" et 06, se trouvant l'un et l'autre dans le plan principal aob, le conjugué de ob, ne sera autre que l'axe oc, et l'on aura

ob" -+- oc' = ob, -+- ne ,

Enfin, la comparaison du système actuel oa", ob„ oc, avec le système oa, ob, oc, donne

oa" -r- ob^ = oa -+- ob ,

et, en ajoutant les trois relations précédentes, on obtient — j — j — 2 — i — 2 — 3

oa' -+- ob' -t- ne' = oa -+- nb -t- oc ;

ce qui donne la cénéralisation du premier des théorèmes d'Apollonius (1147):

La soniine des carrés de trois diamètres cotijii°;iiés quelconques est constante.

Le second théorème d'Apollonius se généralise de même : Le volume du parallélipipcde construit sur trois diamètres conjugues quelconques est constant.

En effet, on a évidemment

vol. {oa', ob', oc') — vol. [on" , ob",nc'),

puisque ces deux corps ont la môme hauteur et des bases équivalentes comme parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués oc' et ob' , ofi" et ob", de la section faite par le plan a'ob'. On a de même

vol. {o(è', ob", oc') = vol. [oa" ,ob,, oc) =.vol. [oa, ob, oc),

d'où résulte

vol.(o^/', nb' ,oc') = \o\,{na, ob, oc).

49^ GÉOMÉTUIK DANS l'eSI'ACE.

1226. Si deux des axes sont égaux, l'ellipsoïde devient de révolution autour du troisième axe. Enfin, si les trois axes sont égaux, l'ellipsoïde se réduit à une s|)lière.

P.VnABOLOlDE ELLIPTIQUE.

1227. Le paraboloïde elliptique [fi;. (Jia) est tangent au plan de l'infini. Son centre est donc à l'infini, ainsi que l'un des plans principaux et les deux axes qu'il contient. Il ne reste à distance finie qu'un seul axe et les deux plans principaux qui passent par cet axe, auquel tous les diamètres sont d'ailleurs parallèles.

Fig. fil 3.

Toute section passant par Vaxe est tangente à la droite de l'infini; c'est, une parabole ayant pour axe l'axe même de la surface et pour sommet le point où cet axe rencontre le paraboloïde, c'est-à-dire le sommet de cette surface. Toute section par un plan parallèle à l'axe est une parabole égale à celle que déterminerait un plan parallèle passant par l'axe.

Les sections par les plans non parallèles à l'axe sont des ellipses, puisque ces sections n'ont aucun point commun à l'infini. Les ellipses don! les plans sont normaux à l'axe ont leurs sommets sur les deux paraboles principales qui, par suite, sont situées l'une et l'autre d'un même côté du plan tangent au sommet. Enfin, la surface peut être engendrée par l'une des paraboles principales glissant parallèlement a elle-même de jaçon que son sommet décrire l'autre parabole principale.

Tous ces résultais s'aperçoivent aisément après ce qui a été dit (1219 et suiv.) sur le paraboloïde hyperbolique.

En prenant pour axe des x l'axe commun des deux paraboles principales et pour axes des y et des s les tangentes au sommet de ces para-