I.IVRK VIII

LES SURFACES USUELLES

1244. Tout plan bi tangent P coupe le tore suivant le système de deux cercles. (YvoN Villarcuau, Comptes rendus, 1848.)

En effet, prenons pour plan de la figure [fig. GaS) le plan méridien perpendiculaire au plan P; les deux points de contact /e-t /' seront (S87) situés dans ce plan méridien, de sorte que la trace du plan P sera la tangente commune intérieure fof aux cercles w et w'. Désignons par M uu point quelconque de la section, et soit gn la trace du parallèle qui passe par ce point; le point M se projettera en m sur gn elff, et l'on aura

Fin. 62.3.

oM = on, puisque oM et on sont deux génératrices du cône qui a pour sommet le point o et pour base le parallèle gn. Si l'on rabat le plan P, autour de/jT', sur le plan de la figure, le point M viendra donc sur la perpendiculaire élevée au point m sur //''en un point Mi tel, quer»Mi = on. Cela posé, prolongeons «w jusqu'à sa rencontre .v a\ecff' et menons oe perpendiculaire sur «w; le rapport de oe à w/est égal à celui deio à .vw ou encore à celui de ow à o)« («t, comme w/= ctja/, on a orn = ae; l'égalité des triangles rectangles ocn, om'Sli, montre alors que l'angle ono: est égal à oMim et, par suite, à Mio/, n/, étant la perpendiculaire élevée par o s\iT ff'. Si Ion prend ok = r, les triangles oXMi, o<»«, seront donc égaux, et l'on aura Mi/- = ow = d. On voit ainsi, en redressant le plan, que la section se compose de deux cercles dont le rayon est égal au rayon moyen d du tore et dont les centres sont situés de part et d'caitre de o, à une distance égale à r, sur la perpendicul(dre menée par o au plan de la figure.

Par tout point du tore passent donc r/uatre cercles de la surface; ce

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sont le parallèle, le méridien, et deux des quatre cercles suivant lesquels le tore est coupé par les plans tangents menés par ce point au cône ^ qu'engendre la àfo'ileff en tournant autour de l'axe oz.

124o. Toute sphère bilongente coupe le tore suivant un système de deux cercles. (Mannheim, Nouvelles Annales, i856.)

En effet, prenons pour plan de la figure le plan du centre c de la sphère et de l'axe nz du tore. Ce plan méridien renferme les deux points de contact/-» et /j', puisque les normales poi, p'oi\ en ces points passent par c et rencontrent oz. Les points p et p' étant d'ailleurs deux points aiitihomologues des cercles w et w', la droite pp' passe par le centre de similitude o. Soient P et Q les plans tangents au cône 2 menés par la àroile pp\ et Tle plan tangent commun à la sphère et au tore au point p; l'un 9 d('S deux cercles suivant lesquels le plan p coupe le tore passe par p et p' et a pour tangente en p l'intersection L des plans P et T; mais le cercle c- que le plan P détermine dans la sphère passe aussi par les points p et />' et a pour tangente en p la droite L. Donc les cercles ô et ocoïncident, et l'on verrait de même que le cercle que le plan Q détermine dans la sphère coïncide avec l'un de ceux que ce plan détermine dans le tore.

1246. Nous terminerons ces notions sur le tore par la solution d'un problème qui se présente dans les applications (MAX.\un:ni, Cours de Géométrie descriptive, 1880) :

Etant donné un tore et un point quc.lcoïKpie S de l'espace, mener par le point S des droites bitangcntes au tore.

Soit SL l'un de ces rayons bitangents; en tournant autour de l'axe de révolution du tore, il engendre un hyperboloïde de révolution qui touche le tore suivant les deux parallèles engendrés par la rotation des points de contact do la droite SL.

Considérons le plan méridien qui passe par le point donné S. Ce plan coupe le tore suivant deux cercles Ci et C2 et l'hyperboloïde suivant une hyperbole passant par S et bilangente à chacun des cercles Ci et C2. Soient S/j, '^q les tangentes menées de S aux cercles Ci et C2; prenons sur S/^, Sr = S7, en sorte que pr = Sp — Si/. L'hyperbole est le lieu des points pour lesquels la différence des tangentes menées de ces points aux cercles Ci et C2 est constante et égale à pr. Si donc on décrit, dans le plan méridi'^n considéré, un cercle concentrique à Ci et passant par r, ce cercle coupera C^ en deux points a el b qui seront les points où l'hyperbole touche le cercle C2. Ces points appartiennent aux parallèles de contact du tore et de l'hyperboloïde. Les rayons bitangents demandés seront donc les droites qui, passant par S, s'appuient sur ces deux parallèles, c'est-à-dire les génératrices communes aux deux cônes qui ont