CHAPITRE XXI

î" Croix de Saint-André dan* une coupole tphérique.

Comme dans l'article précédent , la croix de Saint-André peut avoir ses faces perpendiculaires i un plan langent à la sphère, dans le point où les lignes de milieu des pièces delà croix se croisent, ou perpendiculaires a un plan vertical passant par l'axe de la coupole.

Le premier cas est représente fig. 10. d o d est le cintre de la coupole en projection verticale sur le grand cercle , passant par le centre c de la sphère, d o d est , dans le plan horizontal, la naissance lie la coupole, la ligne ■/ d étant l'intersection des deux plans de projections, dans laquelle est le centre de la coupole, pet q sont les projections verticales de deux cours de pannes, entre lesquelles est établie la croix de Saint-André. On n'a mis en projections horizontales et ponctuées que les cercles qui limitent la largeur des faces des pannes qui reçoivent l'assemblage des bras de la croix deSaint-André.

Quelle que soit la position adoptée pour les faees d'assemblage , on veut que la croix soit symétrique, et pour cela on astreint les lignes du milieu des croisillons à rencontrer ces pannes dans les points a, e, f, u où elles sont coupées par deux plans parallèles verticaux perpendiculaires au plan de projection, dont les traces sont les lignes m m', n n'. Les cordes au, «f sont parallèles et égales i lorsque le méridien vertical projeté sur oo' est recouché sur la droite, le plan qui contient les cordes a u, e i, a pour trace la ligne e" a".

Si l'on imagine deux grands cercles de la sphère, l'un par les points a, i, l'aulre par les points », e ; ces deux cercles couperont le plan qui contient les cordes a u, e i suivant les diagonales a i, u e, et leur intersection k sera un point de l'intersection des deux grands cercles. Le point i est dans le méridien, cl dans le rabattement de ce méridien, il est en k' , Par conséquent, le diamètre h k'' est l'intersection des deux grands cercles. Dans ce même rabattement, la ligne x x perpendiculaire à h k-, est la trace du plan tangent auquel doivent être perpendiculaires les faces d'assemblage de la croix de Saint-André.

Pour établir la projection de la croix sur le plan tangent , il faut faire tourner la coupole on sphère autour de l'axe d d, jusqu'à ce que le point k se projette en e. Alors la ligne h k" est aussi projetée en c, et le plan tangent est alors parallèle au papier de l'épure.

IVsprès ce mouvement de la sphère, les cercles qui limitent la largeur des faces des pannes qui reçoivent les assemblages de la croix de Saint-André, se projettent Mf le plan langent, suivant des ellipses, qu'il est facile de construire, leurs grands axes étant égaux aux diamètres des cercles dont elles sont les projections; et leurs petits axes égaux aux projections de ces mêmes diamètres sur plan tangent.

Ces ellipses projetées , la croix de Saint-André est aisée à tracer sur le plat ungenl parallèle au pnpier, les lignes de milieu 1-4, 3-3. sont les traces du ileui

IUo TRAHI- DR L'ART M LA CHABPBKTEBI6.

grands cercles de la sphère, les points 1, 2, 3. 4 élani toujours dans les parallèles

La projection horizontale montre celle de la croîs de Saint- André on 1' * 5' V. ses arêtes sont des arcs d'ellipses, projections îles cercles qui résultent des section» de leurs faces dans les surfaces de sphères de la coupole.

l-.n abattant les grands cercles 1-4, -i-T> autour de leurs diamètres 7-8 cl 5-6, l'un a les projections des croisillons en l"-4", el 2"-3" sur leurs laces d'à s se m Liage (! suivant leurs véritables formes ci grandeurs.

La figure 11 est la projection verticale de la coupole et de la croix de Saitil-Audn que nous venons lie construire.

Le deuxième cas est représenté, figure 12. par une projection verticale et m» projection horizontale ,' la ligne (/ d étant la commune section des deux plans <lr projection. Cette disposition ne s'emploie que lorsque les pannes ou liernes p </. ont leurs liiccs supérieures el inférieures planes el horizontales, parce qu'alnn l'assemblage de la croix avec les pannes est plus facile que lorsque les pannes ont leurs faces d'assemblage normales aux surfaces de la coupole.

I.a projection horizontale fait voir la croix, de Saint-André dégagée dis panneque l'on a supposé être enlevées, n'ayant projeté en ligues ponctuées que les cercles qui limitent leurs faces d'assemblage avec la croix ou les a bouts do MoIriHpni.

Les laces d'assemblage de celle croix de Saint-André font des plans qui cuupenl les surfaces sphériques de la coupole , suivant des cercles qui sonl couchés j droite et à gauche, pour donner la projection de chaque croisillon 1-4, 3-5 sur vm île m laces d'assemblage en l'-4', ï'-3'.

Dans la ligure 13 , qui est une projection verticale , nous avons supposé qu'an lieu du la croix de Saint André, ou a employé , comme cela se pratique quelquefois, des aisseliers et des jamiicttcs assemblés entre les chevrons cintrés el \t> pannes. Sur la gauche, celle ligure présente deux projections des aisseliers et jainbelles, pour le cas où les faces d'assemblage des pannes p q sont horixootata. A droite, sur la même figure, les pannes p g ont leors faces d'assemblage normal» aux surfaces de la coupole. Les aisseliers el jambettes sont également ligures par deux projections : l'une, des aisseliers et jaiubclles assemblés au chevron qui w présente de face; l'autre, de ceux qui sont assemblés au chevron de piolil. Les jjui licites 1 el S sonl projetées eu 1" et 2" sur leurs faces d'assemblage ; leurs areli* sont des arcs de cercle résultant des sections frites par les pians de leurs farrt dans les surfaces sphériques de la coupole, les occupations et aliouls des assemblages sonl marqués par des hachures dans tous les points où les pièces t'assemblent.

La figure 14 est une projection horizontale de la couronne que forme une panne supérieure a dans laquelle est une croix formée par les prolongements t el r chevrons.

Dans le comble conique projeté verticalement et horizontalement ligure 1)1 (1). les pannes p q ont leurs fiées supérieures et inférieures planes et boHlWltllI ; Il croix de Saint-André établie entre elles est comprise entre deux plans verlieaux perpendiculaires au pian de projection verticale, et dont les lignes m m', n n' sont les traces. Les faces d'assemblée des pièces croisées sont dans des plans perpendiculaires au plan vertical ; les projections de leurs arêtes sunt des arcs de paraboles, les plans qui contienntot ces faces étant parallèles aux génératrices des surfaces coniques. On a supposé, dans la projection horizontale, qu'une partie de la panne p es! arrachée pour laisser voir dans leur entier les bouts des pièces île la croix.

1.» fig- 16" présente, comme la précédente, la projection verticale el II projection horizontale d'un comble conique. La ligue il d est l'intersection des deux plans de projection. La croix de Saint-André est établie entre deux plans perpendiculaires au plan de projection verticale, dont les lrac.es sont t m', s «', parallèles aux projections s m, » n des génératrices qui sont les lignes de milieu des chevrons voisins île la croix de Saint-André ; leurs traces horizontales sont m" m' n' n". Les faces tics pièces qui forment celte croix sont, comme dans h figure précédente, perpendiculaires au plan vcrticil.

But la Ug. 17, nous avons construit la croix de Saint-André en établissant ses faces d'assemblage perpendiculaires au plan tangent à la surface conique, ce qui procure l'avantage de pouvoir établir facilement ses croisillons en herse, el de les assembler par un joint plus aisé à piquer et à exécuter.

I.e sommet du coue est en ■. Ou fait tourner le comble autour de l'horizontale :i qui passe par ce sommet, et qui est parallèle a l'intersection d d des deux plans de |.mjeciiou, jusqu'à ce que le plan langent qui a pour trace horizontale la ligne C t MtH parallèle au plan de l'épure. Les cercles qui sont les arêtes des faces d'as- ■ ..•iiibljge des pannes p q sont projetés sur ce plan langent suivant des ellipses (4). Ij Croix de Saint-André est tracée symétriquement par rapport à la ligne i-l. de façon que le poinl « où ses pièces se croisent ne soit pas trop près de la panne supérieure, afin que les entailles ne se trouvent pas trop rapprochées des bouts des pièces. La pièce 3-6 est mise en projection eu 3'-C' sur un plan parallèle à tes fec*S d'assemblage et rabattu a gauche. La croix et les cbevruus sont projetés

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4° Crois de Saint-André en spirale $ur un Uni conique.

Sous la dénomination de crois de Saint-André en tour ronde, Fourneau a donné, planches 67 et 68 v et pages 70 et suivantes de la troisième partie de son Art du Trait, les épures d'une croix de Saint-André tracée en spirale dans un comble conique. C'est le même problème que nous avons traité Gg. 1, 2, 3, 6 et 7 de la pi. 81, sur lesquelles nous n'avons tracé que les lignes indispensables à sa solution. La fig. 1 est la projection verticale d'un toit conique représenté par des génératrices de sa surface passant par les points des divisions égales de sa base, fig. 2. Les branches de 1a croix doivent s'assembler par le bas dans une sablière ou une panne, et par le haut dans deux chevrons.

La condition imposée pour la configuration de la croix de Saint-André, est que ses arêtes tracent sur la surface du cône des lignes spirales qui coupent toutes les génératrices sous le même angle. Pour tracer ces lignes sur les projections, fig. t et 2, il faut préalablement les construire sur un développement de la surface conique. La fig. 7 est ce développement. Fourneau prescrit, pour tracer une arête, de fixer d'abord à volonté l'angle s a b, que doit faire une corde de la courbe avec la génératrice s a, puis de faire successivement les angles s b c, scd,sde,sef, etc., égaux i ce premier angle, en traçant successivement des points, où ces cordes coupent les génératrices, comme centres, les arcs égaux 1-2, V 2% 1" 2", etc., les points abcde, etc., sont les points de la courbe de lune des arêtes de la croix. On peut également, et l'opération est plus commode et plus exacte, obtenir la points de la courbe en traçant les diagonales 1-6", 2-6'", 5-6"" parallèles à al b', à mesure que les points 1, 2, 3, 4, etc., sont rapportés par des arcs de cercle décrits du sommet « du développement. Ces mêmes arcs de cercle prolongés donnent sur les génératrices les points de la courbe a' b' & d? e', etc.

La courbe qui résulte de celte construction est celle que les géomètres ont nommée spirale logarithmique. Sa propriété est que, sur des génératrices s m ,s m', s m", s m'", répondant à des parties égales prises sur la circonférence du développement, l'on a s a ; s b II sb i s c II s c l s d H s d i se \i s e ; s f, etc., c'està-dire que les abscisses a tn, a m', a m" étant eu progression arithmétique, les ordonnées prises sur les génératrices sont en progression géométrique.

Ces deux méthodes, à moins d'un long tâtonnement, ont un grand inconvénient : la courbe partant d'un point a, on n'est pas maître du point où elle doit arriver sur la génératrice s a'; et cependant, pour donner à la croix de Saint-André la situation qu'on peut vouloir qu'elle ail, il faut qu'on soit maître de choisir les places où elle aura ses assemblages. Voici une méthode qui me parait préférable, el qui consiste dans l'insertion d'un certain nombre de moyens proportionnels géométriques entre deux ternies donnés. Ainsi, je suppose que la courbe qu'il s'agit de tracer, parlant d'un point donné a, doive arriver, sur la génératrice s a', au poinl donné o, pour trouver les points où elle coupe les génératrices intermédiaires , il

CH.U'ITUfc -\\1- 103

Millii d'insérer des mu yen nés proportionnelles. On détermine d'abord l.i moyenne proportionnelle * v cuire s a el s o, ensuite la moyenne i c entre- j » el » e, ci une autre s g entre s e el * o. et ainsi de suite en déterminant une moyenne proportionnelle entre deux de celles qu'on a déterminées (1).

Pour éviter la contusion sur la lig. 7, nous avons transporté fig. G le même développement el les deux spirales a b c d e f g h o, qui sont égales et symétriques, et nous les avons accompagnées des courbes semblables a' b' c d' a' f tfh'o' marquant la largeur des faces de la croix de Saint-André ou leurs bandeaux dans le développement de la surface conique.

Ce développement terminé . ou construit la croix sur la projection verticale, fig. 1. elsur la projection horizontale, lîg. t. Un opère pour tous les [ItillU IHWll je vais l'indiquer pour le point b. La longueur de la génératrice s b, prise sur le développement , ftg. 6 , est portée , en *-l , sur la génératrice qui est projetée en profil sur s p ou» g, lig. 1 ; par le point 1, une horizontale 1-ft-l donne, sur les génératrices s m, » m, deux points b, b, qui appartiennent aux courbes.

Ces points soûl mis en projection horizontale par des verticales bb; b b', ou par les projections du cercle Vk'V résultant de la section faite par le plan horizontal 1-1 dans la surface conique.

On mel de même en projection les poinls b' b' el lous les autres points de ces courbes qui marquent la largeur des bandeaux de la croix.

* l'égard des projections des arelcs de la croix de Saint-André dans les surfaces coniques intérieures, on fait usage de la méthode des scellons, dans la croix, par un système de plans verticaux passant par l'aie du coM , pour que les génératrices des faces d'assemblage soient normales a la surface conique du toit , et l'on opère (tour toutes ces sections comme je vais l'indiquer pour une.

Afin d'éviter encore la confusion , j'ai supposé la projection verticale p * q remontée en p'a'q', et on chevron formant l'épaisseur du toit est projeté sur la droite , le long de la génératrice »' q'. L'épaisseor de ce chevron ligure Is profil du toit.

Je suppose qu'on opère encore pour les poinls b el b'. Ces points sont rapportés sur le chevron du profil eu b et b'. Pour que les faces d'assemblage soient comme nous l'avons dit perpendiculaires aux surfaces coniques du comble, par les points b etfc', on trace perpendiculairement aux génératrices les lignes bb->, b' b". Le rectangle b b" b" b' est alors la section faite par le méridien répondant à la génératrice • m ou j m' dans les branches inférieures de la croix de Saint-André. Le rectangle A h* h" A' est la section faile par ce même méridien dans les branches supérieures

•le la crois. Ces points b, fr, W, V, du premier rectangle, et ceux À, h*, A", A', du second , sont alors rapportés en projection verticale et en projection horizontale snr les génératrices des surfaces du toit conique auxquelles ils appartiennent.

Après avoir opéré de la même manière pour les autres points , on trace sur la projection verticale et sur la projection horizontale les projections des arêtes de la croix.

Le chevron , qui est le profil du toit, contient les rectangles qui appartiennent aux méridiens situés sur les différentes génératrices tracées sur le développement et dans les projections.

Nous avons projeté verticalement les parties d'empanon dont la génératrice s n est la ligne de milieu.

Nous avons représenté , dans la même pi. 81 , différentes croix de Saint-André formées par l'assemblage de pièces courbes:

Les fig. 9 et 10 sont des projections horizontales qui peuvent convenir à des dômes ou à des toits coniques. Dans la première, les surfaces d'assemblage des pièces qui composent la croix sont cylindriques , et leurs génératrices horizontales sont perpendiculaires au plan de projection verticale. Dans la seconde, les mêmes surfaces ont leurs génératrices verticales.

La fig. 11 est la projection verticale d'un toit conique. Les surfaces d'assemblage des croix de Saint-André sont des surfaces gauches dont les génératrices sont des horizontales passant par l'axe vertical du toit. Nous ne conseillons point l'usage de ces sortes de combinaisons , nous ne les avons comprises dans notre pi. 81 que parce que des charpentiers se sont exercés dans leur art par l'exécution de ces assemblages bizarres ; quelques-uns même ont été jusqu'à figurer des lettres par des combinaisons de ce genre , qui ont k peine le mérite d'une difficulté vaincae avec plus ou moins d'adresse, et qui ne sont point à imiter, si ce n'est comme exercices ou amusements et en petits modèles , vu que l'art véritable consiste à n'employer dans les constructions de charpentes que des pièces de formes simples et strictement nécessaires pour assurer la solidité des ouvrages.