CHAPITRE PREMIER Des idées de forge et de dépense de forge

81. — L'idée de force, dont nous aurons à étudier dans toute la suite de cet ouvrage les transformations si variées, qui est sans cesse évoquée, sous tant d'aspects différents, aussi bien dans le discours ordinaire que dans la langue scientifique, littéraire ou philosophique, provient originairement de la conscience du pouvoir que nous avons d'imprimer des mouvements à notre propre corps et aux corps qui nous entourent, jointe au sentiment intime de l'effort ou de la tension musculaire qui est la condition organique du déploiement de notre puissance motrice. La force est ce qui fait mouvoir ou ce qui tend à faire mouvoir le corps ; le corps est ce qui résiste et ce dont la résistance, quelquefois insurmontable, ne peut en aucun cas être surmontée que par le déploiement de la force. Si nous n'avions que le sentiment de l'effort musculaire, sans conscience de notre activité volontaire, nous ne nous élèverions pas jusqu'à la conception d'une idée, principe d'explication philosophique et scientifique. D'un autre côté, si nous n'avions pas le sentiment intime de l'effort musculaire, le spectacle du monde, dont nous jouirions par nos sens externes, pourrait bien encore nous suggérer la notion

de l'étendue, des figures et des mouvements, mais l'idée fondamentale de la mécanique, et par suite les idées fondamentales de la physique, comme de bien d'autres théories plus ou moins modelées sur la physique, nous échapperaient tout à fait.

Quoique cette conséquence, saisie par la raison, ne puisse se constater expérimentalement, en ce sens qu'il ne nous est pas donné de réahser l'hypothèse d'un homme jouissant du spectacle du monde par ses sens externes, notamment par la vue, et en même temps absolument privé, soit de la conscience d'une intervention active, soit du sentiment intime de l'effort musculaire, il est pourtant permis de dire (77) que la Nature a jusqu'à un certain point réalisé l'hypothèse, en plaçant les corps célestes à une telle distance de l'homme que leur éclat et leurs mouvements frappent ses regards, sans qu'il puisse en aucune façon les atteindre, les saisir, et, en ce qui les concerne, faire aucun usage de sa puissance comme agent mécanique.

82. — La notion de force et celle de corps, comme on vient de l'observer, sont corrélatives et s'impUquent l'une l'autre. Mais l'une peut se développer sans qu'il soit besoin d'approfondir l'autre. On conçoit aisément un ordre de spéculations théoriques, bien voisin de la géométrie pure, dans lequel on ferait abstraction des caractères physiques par lesquels les forces diffèrent entre elles, pour n'avoir égard qu'à leur intensité, à leur direction et aux situations relatives de leurs points d'application. La force musculaire d'un homme qui tire un corps de bas en haut fait équilibre à l'action d'un poids qui le tire de haut en bas ; un poids tient fermée la soupape d'une chaudière que la tension de la vapeur contenue dans la chaudière tend à soulever ; la pression exercée par un déploiement de force musculaire ou par l'élasticité d'un ressort métallique sert au besoin à équilibrer la tension d'une vapeur, et ainsi de suite. On pourra donc considérer comme équivalentes, au moins quant à leur pouvoir de s'équilibrer les unes les autres, et par suite évaluer en kilogrammes la force musculaire, la tension de la vapeur, l'élasticité du ressort. Le mot même d'équilibre et son étymologie latine indiquent assez que l'attention des hommes, en fait d'équilibre et de forces capables de s'équihbrer, s'est d'abord fixée sur les poids. Quelque mysté-

rieux que soit le principe du poids des corps, le poids est la force qui agit le plus constamment sur nous, avec laquelle nous sommes le plus familiarisés, et dont la mesure est le plus commode. Nous pouvons même artificiellement en diriger l'action à notre gré au moyen d'un système de poulies de renvoi, sur lesquelles s'enroulent les fils ou les cordes où les poids sont attachés ; et grâce à cet artifice, il est toujours permis de concevoir que les forces qui sollicitent un corps ou un système de corps en équilibre, quels qu'en soient la direction et le mode physique d'action, ont été remplacées par des poids équivalents.

Lorsque des forces telles que celles que nous venons de consi- <3érer ne s'équihbrent pas, et qu'elles impriment au corps qu'elles solUcitent un mouvement effectif, elles ne lui impriment pourtant, au bout d'un temps fini, qu'une vitesse finie, d'autant plus petite que le corps en a subi l'action moins longtemps ; et comme elles n'ont pas cessé d'agir sur le corps d'une manière continue pendant cet intervalle de temps, on en doit conclure que les vitesses qu'elles imprimeraient pendant un temps excessivement petit seraient elles-mêmes excessivement petites (.56).

83. Quand on étudie la manière d'agir des forces et les divers effets mécaniques qu'elles sont capables de produire, on est bien vite amené à envisager la force sous deux aspects différents : tantôt comme une chose qui subsiste et dont on use indéfiniment sans la consommer, comme lorsque l'on emploie des poids à s'équilibrer les uns les autres ; tantôt comme une chose qui se consomme ou se dépense, en raison de l'usage même que l'on en fait, pour produire certains mouvements ou opérer dans les corps certaines transformations. En établissant cette distinction, les mécaniciens s'accordent tout à fait avec les jurisconsultes et avec les économistes, quoique les études des uns et des autres aient des objets bien différents.

Par exemple, on monte le ressort d'une pendule, et le ressort ainsi monté est capable d'imprimer, en se débandant, le mouvement à la pendule ; mais par là sa force se dépense et s'épuise, et quand elle est épuisée, c'est-à-dire quand le ressort est revenu à son état primitif, il faut le remonter, si l'on veut que le mouvement continue. Au contraire, les ressorts d'un

meuble de siège peuvent servir indéfiniment à l'usage auquel on les destine, du moins tant que leur structure physique n'est point altérée, comme elle l'est nécessairement à la longue, aussi bien que celle du ressort de pendule, par des causes dont nous n'avons pas en ce moment à nous occuper.

La force du ressort qui fait marcher le mouvement d'horlogerie est souvent remplacée par un poids, et le poids, en descendant d'une hauteur déterminée, rempht exactement le même office que le ressort en se débandant ; il faut aussi le remonter après qu'il est arrivé au bas de sa course, comme on remonte le ressort si l'on veut qu'il continue de rendre le même service ; tandis que le poids dont on charge des corps que l'on veut presser peut être abandonné à lui-même et continuer d'agir de la même manière pendant un temps indéfini ou tant qu'il ne subira pas lui-même la lente dégradation due aux agents atmosphériques. Il en faut dire autant d'une presse hydrauhque, où la pression de la colonne hquide agira comme une force inépuisable, tandis que l'eau accumulée dans un réservoir d'où elle s'échappe avec force, en mettant en jeu une roue hydraulique, n'agit qu'à condition de s'épuiser, et cesse bientôt d'agir si l'on n'a des moyens de renouveler l'approvisionnement du réservoir.

Un gaz ou une vapeur comprimés exercent contre les parois de l'enveloppe qui les contient, contre les soupapes ou les pistons qui s'opposent à leur expansion, une pression dont rien ne hmite la durée ; mais, si les parois se distendent, si les pistons jouent, le fiuidc élastique, par son expansion graduelle, dépassera graduellement la force qu'il recelait, et qu'on ne peut lui rendre qu'autant qu'on le soumet à une nouvelle compression.

^'^' ~ Tout à l'heure nous remarquions que des forces entre lesquelles il y a la plus grande disparité quant aux capactères physiques, peuvent être réputées égales ou équivalentes, en ce sens qu'on peut les remplacer les unes par les autres sans troubler l'équihbre des corps auxquels elles sont appliquées. Or, l'on retrouve une pareille équivalence entre les dépenses . de force, malgré la différence de nature des agents physiques. La détente d'un ressort peut être employée à remonter un poids à une certaine hauteur, et le poids en descendant peut servir à bander le ressort. La détente d'une vapeur ou d'un

gaz est employée à mettre en jeu une pompe qui remonte à une certaine hauteur un poids d'eau dont la chute pourrait servir à faire marcher une machine destinée à comprimer le gaz ou la vapeur.

Il suit de là que la force qui se dépense peut aussi s'accumuler, et pour ainsi dire s'emmagasiner. Car, supposons qu'il s'agisse d'une force dont nous ne puissions pas régler h notre gré la dépense, pour l'employer de la manière et dans le temps qui nous conviennent le mieux : ne pouvons-nous pas, d'après la remarque qui vient d'être faite, la transformer en une autre dont nous réglerons ensuite à loisir la dépense et l'emploi? Ainsi un cours d'eau naturel, qui a ses intermittences et ses crues dont nous ne sommes pas maîtres, la force impulsive du vent dont nous disposons bien moins encore, seront, si cela nous plaît, employés à élever dans un réservoir une masse d'eau dont nous réglerons ensuite la dépense dans la juste mesure de nos besoins et des effets utiles qu'il s'agit de produire.

D'après cette remarque capitale, il y a lieu de se faire une théorie des machines, non plus (comme en cinématique) en tant seulement qu'elles servent à transformer les mouvements les uns dans les autres (32), mais en tant qu'elles servent à régler les dépenses de force et à transformer les unes dans les autres les forces que la Nature met à notre disposition, ce qui est proprement l'objet de la dynamique industrielle.

85. — Rien ne prouve sans doute que les transformations des forces les unes dans les autres puissent avoir lieu sans un déchet ; et même il n'est pas difficile de reconnaître, sans avoir besoin pour cela d'une discussion approfondie, qu'un déchet quelconque est physiquement inévitable. Mais du j moins il semble évident qu'il ne saurait résulter de ces transformations aucun accroissement dans la force dépensable, et que l'intervention d'instruments passifs ne pourrait faire, par exemple, qu'un poids d'un kilogramme, en descendant d'un mètre, servît, soit directement, soit par des opérations intermédiaires et des échanges de force en nombre quelconque, à remonter deux kilogrammes à la même hauteur d'un mètre : lesquels deux kilogrammes pourraient, par la même raison, servir à remonter quatre kilogrammes à la même hauteur d'un mètre, et ainsi indéfiniment. Il y a dans cet accroissement

indéfini des puissances actives de la Nature, par le seul emploi d'instruments passifs, quelque chose qui heurte les notions fondamentales de la raison, et que nous repoussons, non seulement comme contraire à l'expérience, mais comme absurde. Nous aurons par la suite à examiner plus à fond ce principe et ses conséquences.

86. — Pour désigner la force qui se consomme par l'usage que l'on en fait, Leibnitz a créé la dénomination de force vive, et par contre il nomme force mor/e celle qui peut agir sans produire de mouvement et sans s'épuiser pendant un temps indéfini, comme la pression d'un poids. L'inconvénient de ces dénominations consiste à faire intervenir l'idée des phénomènes de la vie (au risque d'embrouiller ce qu'on voudrait éclaircir) dans un ordre de phénomènes que la vie suppose, mais qui, au rebours, ne suppose point du tout l'existence des êtres vivants, quoique la notion de la force nous ait été d'abord suggérée (81) par le sentiment d'une action vitale qui nous est propre. A la vérité, l'expression de Leibnitz semble d'abord avoir cela de convenable, que le caractère éminent des puissances vitales (auquel nous aurons bien souvent occasion de revenir dans la suite de cet ouvrage), c'est de s'épuiser dès lors qu'elles s'exercent : mais, d'un autre côté, les forces que les animaux déploient, volontairement ou involontairement, contrastent avec les forces physiques parmi lesquelles nous avions eu soin de prendre plus haut nos exemples, précisément en ce qu'elles s'usent et se dépensent, alors même qu'elles n'agissent qu'à la manière des forces physiques qui ne comportent ni dépense ni dépérissement. Un poids mis à l'abri des influences atmosphériques peut servir indéfiniment, sans le moindre déchet, à équilibrer un autre poids ou à comprimer un corps compressible ; il en est de même de la force expansive d'une vapeur, d'un gaz ou d'un ressort métalhque : tandis que la force musculaire d'un homme ou d'un animal s'épuise, aussi bien lorsqu'on l'emploie à presser un obstacle, à maintenir une machine en équihbre, ou à porter un fardeau sans bouger de place, que lorsqu'on l'emploie à élever un poids ou à traîner un fardeau, en cheminant dans le sens suivant lequel la traction s'opère. Dans l'un ou l'autre cas, il faut à l'animal du temps ou du repos pour réparer ses forces épuisées.

De nos jours, de savants praticiens, des géomètres ingénieurs

qui se piquaient fort d'esprit positif et d'aversion pour toute espèce de métaphysique, ont pourtant repris à leur manière les idées de Leibnitz ; et à la dénomination dont ce grand philosophe avait fait choix, en vue surtout des applications à la philosophie naturelle, ils en ont substitué une autre qui caractérise mieux le but pratique de leurs recherches et l'esprit de notre siècle. Ils ont appelé, et à leur exemple on appelle aujourd'hui communément quanlilé de travail', ce qui constitue précisément la quantité de force dépensable, selon l'idée qu'on s'en doit faire d'après les exphcations qui précèdent. On prend pour terme de comparaison ou pour unité de travail l'une de ces dépenses de force qui peuvent se convertir les unes dans les autres, et tout naturellement celle dont nous avons l'idée la plus simple, à savoir celle qui a pour résultat d'élever un poids donné à une hauteur donnée, par exemple le poids d'un kilogramme à la hauteur d'un mètre ; et l'on évalue en pareilles unités le travail d'un ressort métalUque qui se débande, d'une vapeur qui se détend, aussi bien que le travail d'un animal employé comme force motrice. Au fond, les inconvénients de ces expressions sont les mêmes que ceux qui viennent d'être signalés à propos de la dénomination de force vive ; et ils tiennent pareillement à ce qu'il y a, dans le jeu des forces animales, dont le mot de travail réveille l'idée, des conditions dont il faut complètement faire abstraction, si l'on veut prévenir toute équivoque et toute obscurité dans l'exposé des principes généraux de la mécanique.

Qu'un homme porte un fardeau sans bouger de place, ou en cheminant le long d'une route de niveau : il ne travaillera pas, dans le sens de la définition technique qui vient d'être donnée ; tandis qu'il travaillerait si la route devenait montante ou s'il s'attelait à un brancard pour traîner le même fardeau le long d'une route de niveau. Car, dans le premier cas le poids aurait été élevé de toute la différence de niveau entre le point de départ et le point d'arrivée ; et dans le second cas la traction exercée pour vaincre le frottement de la route et les autres résistances est comparable à celle qui servirait à élever, au

1 Rigoureusement parlant, la définition de la force vive et celle de la quantité de travail ne sont pas équivalentes : la mesure de la force vive de Leibnitz est le double de la mesure du /raya// des mécaniciens modernes; mais cela ne change rien au fond des explications.

moyen d'une poulie de renvoi r, d'une hauteur précisément égale à la longueur du chemin parcouru le ''' long de la route de niveau, un certain poids P, déterminé convenablement. Cependant, selon l'acception ordinaire des termes, il y a pour cet homme fatigue et travail (comme il y a, pour celui qui l'emploie, un service rendu) soit qu'il reste en place, soit qu'il chemine ; soit que le niveau de la route s'élève ou ne change pas; soit qu'il porte le fardeau sur ses épaules ou qu'il s'attelle au brancard; et même il ne fait usage du brancard que pour diminuer sa fatigue et son travail.

La définition de nos ingénieurs n'en est pas moins juste dans le sens d'une mécanique et d'une industrie perfectionnées, et d'une bonne organisation du travail mécanique. Un homme se fatigue et travaille assurément, en tenant un poids en équilibre sans bouger de place : mais aussi se gardera-t-on bien, dans une industrie perfectionnée, d'employer et de payer pour cela le travail d'un homme, quand il suffît d'accrocher un poids qui ne se fatigue pas, pour obtenir le même service. Si, dans une usine savamment installée, on a à transporter fréquemment des fardeaux, des sacs de blé ou de charbon, sur un plan horizontal, on se gardera d'appliquer à un tel service le travail d'un homme : on construira des chariots roulant sur des rails, et l'on s'attachera à diminuer les frottements de telle sorte, que la quantité de force vive ou de travail mécanique, dépensée pour cette partie du service de l'usine, soit réduite à presque rien ; tandis que, s'il faut élever les fardeaux verticalement, on ne pourra éviter ni réduire la dépense de travail mécanique correspondante à la hauteur d'élévation, en vertu de la définition donnée, sans préjudice de la dépense additionnelle pour surmonter les frottements.

87. — « La force vive, a dit Montgolficr, est ce qui se paie »; et dans une bonne organisation de l'industrie on ne doit employer, et par conséquent payer la fatigue ou le travail de l'homme en tant qu'agent mécanique, qu'autant qu'il y a production de travail mécanique, et en raison de la quantité de travail produite, dans le sens de la définition technique. Au sujet de cette définition, il faut encore observer, d'une part que

la fonction la plus ordinaire des machines qui ne sont pas de la classe des machines-outils dont on a parlé plus haut (32) est d'élever des fardeaux ou de vaincre des résistances continues du même genre; d'autre part, que lors même que nous les appliquons à d'autres usages, par exemple à moudre du grain, à scier du bois, à pulvériser du charbon, à brasser des matières pâteuses, ces effets si divers reviennent toujours à une consommation de travail mécanique ou de force vive. Et puisque la force vive est une chose qui non seulement se dépense, mais aussi qui se recueille, se conserve, s'emmagasine, se transmet, s'échange, se fractionne, se mesure, il faudrait être bien peu versé dans la science économique et bien peu connaître le besoin que l'homme a de mesures en toutes choses (13), pour ne pas voir qu'à ce titre seul la force vive devrait devenir l'étalon dynamique, lors même que le service le plus habituel des machines ne serait pas directement mesuré par la force vive. C'est en vertu de propriétés analogues que les métaux précieux servent d'étalons à toutes les valeurs commerciales, sans être à beaucoup près les denrées dont la consommation directe est le plus utile et le plus impérieusement réclamée par nos besoins.

Ainsi l'idée de force vive, ramenée à ce qu'elle a d'essentiel, dégagée de toutes les idées ou images accessoires qu'une dénomination impropre pourrait évoquer, nous donne bien la clef de la mécanique industrielle. Doit-elle aussi nous donner la clef de la mécanique philosophique? Déjà l'on pourrait le pressentir : car, lorsque l'homme parvient à mettre le meilleur ordre dans les faits qu'il gouverne, dans les sciences qu'il institue pour le besoin des applications qui l'intéressent, c'est ordinairement parce qu'il a en même temps saisi l'ordre et les rapports des choses en elles-mêmes, indépendamment des appUcations utiles qu'il en peut faire. Nous aurons par la suite plusieurs occasions de mettre cette idée en relief, et de montrer la corrélation entre les lois de la Nature et celles de l'industrie humaine, entre les mécanismes naturels et nos instruments artificiels. Mais nous ne sommes pas réduits à cette seule induction. On peut directement établir (et ce sera l'un des objets des chapitres qui vont suivre) l'importance philosophique qui s'attache à la notion du travail mécanique ou de la dépense de force, en montrant comment les vérités de la science

se lient à la faveur de cette notion fondamentale. Car il n'y a pas d'autre preuve de la valeur des idées que leur fécondité même et la régularité du système dont elles donnent la clef (57).

88. — Le temps n'intervient pas dans l'idée que nous avons de la force vive ou du travail, ni par conséquent dans les définitions que nous en donnons, mais il intervient nécessairement dans l'idée d'une source de force vive ou de travail. L'eau accumulée dans un réservoir à un certain niveau, d'où elle peut tomber à un niveau inférieur, quand on veut l'utiliser comme moteur, nous donne l'idée d'un approvisionnement de force disponible ; le volume d'un cours d'eau qui coule sans cesse, d'un niveau donné à un niveau inférieur, nous donne l'idée d'une source de travail. On sent la nécessité de comparer la force de ce cours d'eau à celle d'un autre cours d'eau, et l'on dit que la force du cours d'eau est capable d'élever dans l'unité de temps (dans un jour, par exemple) tant de kilogrammes à tant de mètres de hauteur. Voilà une nouvelle acception du mot de force, d'après laquelle le temps intervient dans la mesure de la force. Un animal de trait est aussi une source de travail que l'on mesurera en tenant compte de la quantité de force vive qu'il peut fournir par jour, d'une manière soutenue, sans que sa santé en souffre, étant nourri et soigné convenablement. Une machine à vapeur est montée pour marcher d'une manière soutenue, avec une certaine alimentation de combustible, de manière à fournir par jour tant d'unités de force vive ou de travail ; et quand on parle de la force d'une machine à vapeur comparée à celle d'un cours d'eau ou d'un animal de trait, il s'agit précisément de cette force où le temps entre comme fadeur, c'est-à-dire d'une source de force vive.

Comparée à la simple idée de force vive, l'idée d'une source de force vive ou de travail (ou du moins l'application de cette idée) suppose manifestement une connaissance plus approfondie de l'économie des phénomènes naturels et des qualités concrètes des agents que la Nature emploie. Elle nous fournil le premier et le plus simple exemple de la distinction si importante à faire entre les choses dont l'approvisionnement s'épuise et celles ([ue la Nature reproduit ou régénère, à mesure qu'elles se consomment ou se débitent dans les conditions du monrlc où nous vivons.

ou DE LA théorie DE l'ÉOUILIBRE DES FORCES.

89. — Lorsqu'on jette un coup d'oeil sur les axiomes et les principes qui servent de fondement à la statique, on remarque de prime abord ce fait singulier, qu'il y a, au point de vue de la forme mathématique, une parfaite identité, une corrélation exacte entre la statique ou la théorie de l'équiUbre des forces, et la cinématique ou la théorie géométrique des mouvements. Ainsi, ces axiomes de statique : « Deux forces égales et directement opposées se font équilibre ; — une force peut, sans troubler l'équihbre existant, être transportée du point où elle est actuellement appliquée à un autre point lié invariablement au premier et pris sur la direction de la force ; etc. » correspondent à ces axiomes de cinématique : « Deux mouvements égaux et opposés de direction laissent le mobile en repos dans l'espace absolu ; — on peut substituer à la vitesse propre du mobile la vitesse d'entraînement qu'il prendrait par suite de sa liaison avec un autre point mobile pris dans la direction du premier mouvement, et qui aurait pour mouvement propre celui qui a été enlevé au premier mobile ; etc. »

La même correspondance se soutient lorsque, des axiomes proprement dits, l'on passe aux théorèmes fondamentaux de l'une et de l'autre science : et dès lors il est aisé de comprendre que l'identité des axiomes et des théorèmes fondamentaux doit procurer l'identité dans toutes les parties de la construction

* Le lecteur qui se croirait par trop étranger à toute espèce de considérations géométriques pourra passer ce chapitre sans qu'il en résulte de lacune trop sensible dans l'enchaînement des idées.

scientifique. Ainsi, la règle pour la composition des vitesses, exprimée au n^ 31, est exactement la même que la règle pour la composition des forces en statique, si connue sous le nona de règle du parallélogramme des forces.

90. — Le cas singulier signalé à propos de la théorie géométrique du mouvement (39), celui où tous les mouvements dont un mobile est animé (mouvements propres ou d'entraînement) se neutralisent ou se compensent les uns les autres, de manière à laisser le mobile en repos dans l'espace absolu, se trouvera donc correspondre exactement au cas où le mobile est sollicité par des forces qui s'équilibrent ; et les relations mathématiques entre les vitesses qui se compensent seront précisément les mêmes que les relations mathématiques entre les forces qu s'équilibrent. Ainsi, dans l'exemple même du numéro cité, le mobile posé sur une sphère dont il partage le mouvement de rotation, et qui en même temps est animé d'un mouvement propre par lequel il circule en sens contraire à la surface de la sphère, autour de son axe de rotation, reste en repos dans l'espace absolu, si sa vitesse propre est à la vitesse d'un point fixé sur l'équateur de cette sphère dans un rapport inverse de celui du rayon du petit cercle décrit, au rayon de l'équateur de la sphère. A cette règle de cinématique correspond la règle statique de l'équilibre du Ireuil : règle qui veut que l'équilibre subsiste entre les poids P, Q, suspendus l'un à la grande roue du treuil, l'autre à Varbre ou au cyhndre concentrique, et qui tendent à imprimer à la machine des mouvements de rotation en sens contraires, si le rapport du poids P au poids Q est précisément le même que le rapport du rayon du cylindre au rayon de la grande roue.

Comme l'idée peut aisément se généraliser et s'étendre au cas où l'on considère un nombre quelconque de points mobiles, ayant entre eux des liaisons quelconques, il semble qu'on puisse donner à toute question de statique un énoncé qui la ferait rentrer dans la cinématique, en substituant à la considération des forces qui se font équilibre par le moyen des liaisons établies entre leurs points d'application la considé-

ration des vitesses propres qui se combinent avec les vitesses d'entraînement que ces mêmes liaisons communiquent, de façon que les points ne subissent aucun déplacement dans l'espace absolu. Depuis que l'on s'occupe de la philosophie des sciences, il n'a jamais manqué d'auteurs disposés à croire que ce serait le moyen d'éviter l'obscurité métaphysique attachée suivant eux à l'idée même de force, et, en bannissant l'idée et le mot, de réduire la statique et même la mécanique tout entière, puis la physique par contre-coup, à la cinématique, en n'employant partout que les images claires et les représentations palpables de la géométrie.

91. — Il s'agit ici, nous ne saurions trop le redire, d'un point aussi délicat qu'important, du passage de l'une des catégories fondamentales de nos idées à une autre catégorie pareillement fondamentale. Les arguments que l'on fera valoir pour bannir l'idée de force et s'en tenir à celle de mouvement sont, au fond, les mêmes que Hume ou d'autres mettront en avant pour bannir l'idée de cause et se contenter de celle d'une succession d'événements. Il faut tâcher de juger, d'après notre exemple mathématique, plus simple dès lors que tout autre (7), comment les catégories fondamentales s'enchaînent, sans pourtant s'identifier. L'analyse est subtile peutêtre, mais elle s'apphque à des objets dignes de toute l'attention du philosophe et non à des créations fantastiques. Or, sur l'exemple même que nous avons choisi, ne voit-on pas qu'il n'y a rien d'arbitraire à attribuer le repos absolu du point mobile sur la sphère à la coexistence de deux mouvements distincts, qui subsistent bien chacun à part et indépendamment l'un de l'autre, même lorsqu'il arrive accidentellement qu'ils se compensent et laissent le mobile à la même place dans l'espace absolu? La terre tourne et nous circulons à la surface de la terre : ces deux phénomènes ne cesseraient pas de se produire et d'être parfaitement intelligibles l'un et l'autre, même dans le cas très particulier oii, grâce à un emploi encore plus énergique de la puissance de la vapeur, nous pourrions faire précisément en vingt-quatre heures le tour de notre cercle de latitude, de l'est à l'ouest, de manière qu'étant partis à midi le soleil nous parût marquer toujours l'heure de midi. Plus près des pôles que nous ne le sommes, la vitesse actuelle des chemins de fer suffirait pour rendre la chose exécutable : et il

n'en serait pas moins très vrai de dire et très facile de concevoir, d'une part, que la terre tourne, d'autre part, que nous faisons le tour du monde en chemin de fer et en un jour. On est loin d'avoir, dans le cas d'un treuil en équilibre, une idée aussi claire de la coexistence de deux mouvements qui s'annulent et que rien ne rend sensibles, parce qu'en effet il n'y a plus alors de mouvement, mais seulement une tendance au mouvement. Or, l'idée d'une tendance au mouvement n'est ni plus ni moins obscure que l'idée de force : c'est l'idée de force exprimée en d'autres termes ; et s'il n'y avait rien dans notre constitution et dans nos rapports avec les objets qui nous entourent qui fût propre à nous suggérer l'idée de force, il n'y aurait rien non plus qui pût nous suggérer l'idée d'une tendance au mouvement, là où il n'y a effectivement aucun mouvement qui puisse tomber sous la perception des sens.

92. — Telle est donc la liaison de la cinématique à la statique que, toutes les fois que l'immobilité d'un ou de plusieurs mobiles dans l'espace absolu résultera d'une combinaison de mouvements propres et de mouvements communs ou d'entraînement, ayant chacun leur raison d'être, et susceptibles de se manifester comme autant de phénomènes distincts, nous pourrons mettre en regard deux problèmes, l'un de cinématique, l'autre de statique, qui se correspondront parfaitement et dont les solutions géométriques ne sauraient différer l'une de l'autre, parce qu'elles se rattachent à des principes géométriques parfaitement concordants'. Toutefois, les deux

* Ceci explique à la fois le bon accueil et les objections qu'on a faits ù l'ingénieuse théorie des couples, sur laquelle Poinsot a fondé ses Elémcnts de Statique. L'idée d'un couple de forces parallèles, d'égale intensité et dirigées en sens contraires, ne peut certainement passer pour une idée primordiale, au même titre que l'idée de force, et qui en fasse en quelque sorte le pendant. En ce sens il n'est pas vrai de dire que la symétrie de rôle des forces et des couples soit fondée sur la nature des clioses ; et une construction de la statique qui repose sur celte symétrie est plutôt artificielle que naturelle. Mais, d'un autre côté, la symétrie que la cinématique nous offre entre les mouvements de translation recliligne et les mouvements de rotation est certainement fondée sur la nature des choses et sur les principes essentiels de la géométrie ; en sorte que la solution d'un problème de cinématique atteindra sa perfection, ou, comme on dit, sa plus grande élégance, lorsqu'elle mettra le mieux en relief la symétrie dont il s'agit. VA, puisque le problème correspondant de statique (au point de vue mathématique et abstrait) uen diflèrc pas, il faut bien que la forme la plus élégante à donner au problème de cinématique soit aussi la forme la plus élégante que l'on puisse donner au problème de statique

problèmes, identiques par la forme de la solution, différeront foncièrement quant aux données, au moins selon notre manière de concevoir les choses: car, d'ailleurs, la parfaite ressemblance dans la forme de la solution est une forte présomption lue, pour une intelligence constituée de manière à pénétrer plus avant que nous dans le fond et dans la raison des choses, la cinématique et la statique, la notion de mouvement et la notion de force, s'identifieraient. C'est ainsi (pour prendre un exemple moins abstrait) que la théorie physique de la lumière et celle de la chaleur rayonnante reposent sur des principes dont la forme géométrique est la même, d'où résulte une parfaite identité dans la solution géométrique des problèmes d'optique ci des problèmes analogues sur la chaleur rayonnante. Nous n'en sommes pas moins forcés d'admettre que, dans l'état de nos connaissances, les deux théories forment deux branches distinctes de la physique ; et en même temps nous sommes très portés à croire que, dans l'état d'une science plus profonde ou plus avancée que la nôtre, les notions de lumière et de chaleur rayonnante s'identifieraient, de manière à rendre les deux théories dont il s'agit identiques par la nature des matériaux de la construction scientifique aussi bien que par la forme de la construction (2).

93. — La nécessité une fois reconnue de combler ou de franchir l'intervalle qui sépare la cinématique de la statique, la théorie géométrique de la combinaison des mouvements d'avec lo théorie de la combinaison des forces, il s'agit de savoir au juste quels principes et en quel nombre doivent être empruntés pour cela, soit au seul raisonnement, soit à l'expérience, de manière que la statique ait le caractère de science purement rationnelle comme les mathématiques pures, ou celui de science expérimentale comme les diverses parties de la physique. La question est philosophiquement des plus importantes et des plus curieuses : elle est d'autant plus curieuse et importante qu'il s'agit du premier exemple du passage d'un ordre d'idées et de facultés à un autre. Nous ferons à ce sujet les observations suivantes :

L'unique principe dont la statique ait besoin pour se fonder .sur une base qui lui soit propre, tout en satisfaisant à la con-

correspondant, dût-elle paraître artificielle et détournée au point de vue qui est particulier à la statique.

dition d'une parfaite identité de forme entre les solutions des problèmes de cinématique et celles des problèmes correspondants de la statique, peut se tirer à volonté, ou de la règle de la composition des forces concourantes (principe du parallélogramme des forces), ou de la règle de la composition des forces parallèles (principe de l'équilibre du levier ou du treuil). Chacune de ces règles se ramène à l'autre par des raisonnements et des constructions purement géométriques, auxquelles l'esprit de subtilité ne fait point d'objection.

Rien de plus facile que de constater par des expériences précises la règle de l'équilibre du levier, sur laquelle reposent la construction et l'usage de l'espèce de balance qui porte chez nous le nom de romaine. Aussi ce principe, qui paraît avoir été connu de toute antiquité, a-t-il été choisi par Archimède pour servir de base à la statique rationnelle, dans les livres qu'il nous a laissés et qui sont les premiers monuments de cette science. Quant au principe du parallélogramme des forces, on en trouve des applications nombreuses, mais confuses et obscurément présentées, dans le livre des Oueslions mécaniques, attribué à Aristote, quoique d'ailleurs la règle du parallélogramme des vitesses, vérité d'intuition (31), s'y trouve nettement énoncée', et que l'auteur en ait bien senti la liaison avec la composition et la décomposition des forces. Ce n'est que fort tard, au commencement du dix-septième siècle, que le géomètre hollandais Stevin a entrepris d'en donner une démonstration tirée de l'ordre d'idées qui est propre à la statique : encore cette démonstration repose-t-elle sur des considérations indirectes et fort détournées. Un siècle plus tard, Varignon en fit la base de sa Nouvelle Mécanique, mais toujours en rattachant la composition des forces à la composition des vitesses; et ce n'est que vers le milieu du dixhuitième siècle que Daniel BcrnouUi et d'Alembert, pour rendre à la statique son indépendance et en quelque sorte son autonomie, jjroposèrent des démonstrations du genre de celles auxquelles on a encore recours maintenant, lorsqu'on se place au point de vue de ces géomètres et qu'on ne veut pas, avec Varignon, regarder la règle de la composition des forces

1 <I>av£p«5v o-jv oTt TÔ xarà tt)v ôtâ|J.£Tpov çîp6[X£vov âv Sjo çopaï;, àvdtYXY) tôv T(ûv 7r),Eupâ)v çépEffOat Xôyov. (QuRsl. tnech., cap. II).

comme une conséquence évidente de la règle pour la composition des vitesses ' .

94. — Il y aurait de l'intérêt pour les logiciens dans une analyse exacte des démonstrations rationnelles qu'on a données tant du principe du parallélogramme des forces que du principe de l'équilibre du levier et des objections qu'on y a faites. Sans entrer dans des détails que la nature et le but principal du présent ouvrage ne comportent guère ^, nous observerons que la variété même des tours de démonstration employés indique assez qu'ils sont trop artificiels et détournés pour que l'esprit s'en contente, quand il s'agit de propositions qui ont cette importance fondamentale. La logique peut être satisfaite, si l'artifice des constructions a conduit finalement à un raisonnement concluant ; mais la raison ne l'est pas, parce que la raison veut que les principes sur lesquels toute une

* Voyez l'excellente notice historique mise par Lagrange en tête de la Mécanique analytique, 1^^ partie, section V^.

* Pour l'un et pour l'autre principe, la démonstration directe se décompose en deux parties bien distinctes. S'agit-il du parallélogramme des forces? La première partie du théorème consiste à établir que la résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme des composantes ; c'est dans cette première partie que se concentrent les difficultés de la démonstration, après quoi rien n'est plus aisé que d'en conclure l'intensité de la résultante. S'agit-il du principe du levier? La difficulté consiste au contraire à déterminer directement l'intensité de la résultante ou la charge du point d'appui, après quoi l'on montre aisément, comme l'a fait Archimède, où doit se trouver le point d'appui pour que l'équilibre ait lieu. Nous retrouvons partout la même analogie, la même symétrie, et (pour employer l'expression reçue maintenant) la même dualité qui tient à l'essence même des rapports entre les deux éléments de la géométrie et de la cinématique, la ligne droite et le cercle, le mouvement de translation rectiligne et le mouvement de rotation (34).

On peut voir, tout au commencement de la Mécanique analytique, les raisonnements ingénieux, mais très détournés, par lesquels Huygens et Lagrange ont suppléé à ce qu'ils appellent le défaut de la démonstration d' Archimède, en démontrant la première partie du principe du levier, ou le postulat qu'Archimède suppose, à savoir que la résultante de deux forces parallèles entre elles est égale à la somme des composantes. Rien de plus aisé que la démonstration de ce postulat, lorsque, sans l'appuyer précisément sur la règle du parallélogramme des forces, on veut néanmoins faire usage de la notion acquise de la composition et de la décomposition des forces concourantes (voyez les Éléments de statique, de Poinsoi, n° 19). Mais l'avantage, et pour ainsi dire le mérite du principe du levier, comme fondement de la théorie de l'équilibre, consiste précisément, selon la remarque de Lagrange, à tout ramener à la considération des poids et à n'exiger, pour la clarté de l'énoncé, ni que les forces soient représentées par des Ugnes, ni que l'on invoque aucun axiome tiré de la nature du mouvement, ainsi qu'il le faut, si l'on veut établir que deux forces concourantes ont nécessairement une résultante.

science repose se démontrent simplement ou qu'ils ne se démontrent pas du tout ; et l'esprit ne se flatte point d'avoir saisi l'ordre naturel suivant lequel les vérités s'enchaînent, tant qu'une vérité très générale n'est établie qu'à la faveur de constructions et d'artifices très particuliers (42).

Ce n'est pas que nous contestions, avec quelques géomètres, la force logique et probante des tours de démonstration dont il s'agit. Les postulats dont ils impliquent la concession se ramènent tous, en définitive, d'une part, à cet axiome suprême qui ne permet pas à la raison d'admettre un défaut de symétrie dans les résultats quand tout est symétrique dans la disposition des données (68) ; d'autre part, au principe de la superposition des équilibres, qui veut que, lorsqu'un système est en équilibre, on puisse, sans troubler l'équilibre, y introduire ou y supprimer des forces qui se font séparément équilibre. Prétend-on que l'expérience seule est capable de nous instruire de cette vérité? On le peut sans doute, puisque ceux qui admettent un axiome comme axiome renoncent, par cela même, à le démontrer, et par conséquent à l'imposer à ceux qui en contestent l'évidence : seulement, lorsqu'on exige que l'expérience intervienne pour justifier de pareilles propositions, il est clair que l'on renonce à faire de la statique autre chose qu'une science expérimentale d'un bout à l'autre, puisqu'il n'y a pas dans cette science de conséquence rationnelle dont on ne puisse aussi justement contester la légitimité, en arguant de l'ignorance où nous sommes de la nature et du mode d'action des causes physiques qui produisent le mouvement ou l'équilibre.

95. — Sans doute, lorsqu'on passe à l'application, il n'y a pas de proposition de statique qui ne demande à être vérifiée par l'expérience : en ce sens que nous ignorons a priori si telle disposition ne modifiera pas les conditions physiques du développement et de l'action des forces qui sont en jeu, au point de troubler l'équilibre, là où les axiomes de la statique et les théorèmes qui s'en déduisent, more geomeirico, assureraient l'équilibre sans l'intervention de cette cause perturbatrice. Ainsi, nous concevons bien que des agents physiques (des courants électriques, par exemple) pourraient s'influencer l'un l'autre, quoique agissant dans le même sens, de manière que la force statique résultant de leurs actions combinées ne

fût plus la somme des forces statiques que ces agents développeraient isolément, de même que la traction exercée par deux poids réunis est la somme des tractions que chaque poids exercerait à lui seul. Mais, quand l'expérience nous offrira un fait de ce genre, nous le noterons comme une particularité physique dont il faut chercher l'explication, en la rattachant aux principes et aux règles de la statique rationnelle, bien loin qu'il infirme à nos yeux l'autorité de ces principes et de ces règles.

Au surplus, ceux qui contestent les axiomes à la faveur desquels se font en statique les démonstrations du principe du parallélogramme des forces ou du principe du levier, doivent à plus forte raison reconnaître qu'il n'est pas permis, comme quelques-uns l'ont cru, de fonder la statique sur la cinématique et de passer, sans expérience confirmative, d'une règle purement géométrique pour la composition des mouvements simultanés à une règle pour la composition des forces dans le cas où il n'y a plus de mouvement du tout.

Si ces réflexions satisfont l'esprit du lecteur, il en faudra conclure que la statique, en tant que théorie rationnelle, basée sur le principe du parallélogramme des forces ou sur celui de l'équihbre du levier, est bien une théorie mathématique inattaquable, dans l'ordre d'abstractions où les mathématiques se placent, mais qui oiïre pourtant cette singularité que chacun des deux principes fondamentaux, quoique susceptible de démonstration rigoureuse, exige certains artifices de démonstration, incompatibles avec l'idée que la raison se fait d'un principe fondamental : d'où il résulte que quelques esprits préféreraient les employer à titre de postulats, comme Euclide l'a fait en géométrie pour un principe analogue (27), tandis que d'autres seraient plus portés à les admettre à titre de faits d'expérience.

Nous allons voir comment un troisième principe, tiré de la notion des dépenses de force, de l'idée de la force vive ou du travail (83 et siiiv.), intervient pour suppléer aux imperfections des deux autres et pour compléter par là les fondements de la statique mathématique.

96. — On doit d'abord admettre, comme une règle évidente, qu'il faut la même dépense de force pour élever d'un mètre un poids de deux kilogrammes, ou pour élever de deux mètres

un poids d'un kilogramme, l'une et l'autre dépense se résolvant en deux autres, employées chacune à élever d'un mètre un poids d'un kilogramme. La possibilité physique de cett( résolution, qui rend la règle évidente, suppose sans doute que le poids et que la dépense de force sont des quantités divisibles ; que, par exemple, le poids de deux kilogrammes qu'il s'agit d'élever est celui de deux litres d'eau qu'on peut à volonté élever ensemble ou séparément, dans le même vase ou dans des vases distincts, et que pareillement la dépense de force est fournie par la détente de deux ressorts dont chacun pris à part, est capable de remonter d'un mètre un poids d'uc kilogramme, et dont les actions s'ajoutent, sans s'influencer, quand on juge à propos de les faire agir simultanément. Maintenant il est clair que la solidification des deux litres d'eau, en changeant les conditions physiques de leur divisibiUté, ne change rien à leur poids ni à la dépense de force nécessaire pour les élever à une hauteur donnée ; mais si, au lieu des ressorts pris pour exemple, il s'agissait d'une dépense de force animale, qui s'efïectue pour ainsi dire tout d'une pièce, et dont les éléments sont plus ou moins solidaires les uns de^ autres, le principe perdrait de son évidence et cesserait même d'être vrai : car assurément tel homme qui peut, par le déploiement de sa force musculaire, à l'aide d'une simple poulie de renvoi ou de toute autre manière, élever aisément de cent mètres un poids de dix kilogrammes, n'élèverait pas d'un mètre un poids de mille kilogrammes. Mais, ce qu'il ne peut faire directement, il le fera indirectement, en élevant par exemple à cent mètres dix kilogrammes d'eau, dont on conçoit que la chute, équivalant comme travail mécanique à mille fois le travail d'un kilogramme descendant d'un mètre, pourra servir à faire remonter d'un mètre un poids de mille kilogrammes d'eau. Moyennant cette restriction et cette explication, la règle énoncée a toute l'évidence d'un axiome, et il en résulte que généralement les dépenses de force peuvent se mesurer par le produit de deux nombres dont l'un exprime un poids et l'autre la hauteur à laquelle on élèverait le poids, au moyen de la dépense de force eju'il s'agit de mesurer (86). 97. — De cette notion de la mesure des dépenses de force et de l'axiome invoqué au n° 85, on conclut immédiatement liprincipe de l'équilibre du levier ou du treuil, qui n'est qu'un-'

forme de levier, mieux appropriée à notre explication. Soient les poids P, Q, suspendus à des cordes qui ^^--xt.*.». s'enroulent, l'une sur la grande roue du treuil, /' ' :ft;';'%\ l'autre sur l'arbre ou le cylindre concentrique / -^^ v\

dont nous supposerons, pour fixer commode- \ I iiif 1 i lifflii ment les idées, le rayon égal à la moitié de v ^^%fl|Vi celui de la grande roue ; nous disons que ces |^iviiiij3^^ | poids doivent se faire équilibre si le poids Q | est justement le double du poids P, celui-ci i étant, par exemple, d'un kilogramme et ^ l'autre de deux kilogrammes. Admettons en [lig effet, pour un moment, que l'équilibre n'ait q pas lieu et qu'il faille ajouter au poids P p mi

quelque chose comme vingt grammes pour établir l'équilibre. Si donc l'on n'ajoutait que dix grammes au poids P, le poids Q l'emporterait encore, et attendu que le rayon de la grande roue est double du rayon de l'arbre, le poids Q ne pourrait descendre d'un mètre sans faire remonter de deux mètres le poids P, et en sus le poids additionnel ; c'est-à-dire que, par l'intervention d'un appareil inerte tel que le treuil, un poids de deux kilogrammes descendant d'un mètre serait capable de remonter plus d'un kilogramme à la hauteur de deux mètres, ou plus de deux kilogrammes à la hauteur d'un mètre. En d'autres termes, cet appareil inerte servirait à reproduire plus de force disponible qu'on n'en consomme, ou à augmenter indéfiniment la quantité de force disponible. La même absurdité se reproduirait si l'on supposait que l'équilibre du treuil exige qu'on surcharge le poids Q d'un poids additionnel.

Un raisonnement tout à fait semblable conduit au principe de l'équilibre du plan incliné, dont la liaison avec la règle. du parallélogramme des forces ressort des plus simples notions de la géométrie.

Ainsi se trouvent rattachés à une souche unique les deux principes d'équilibre dont les rôles en statique offrent une symétrie si remarquable, et qui peuvent être pris indifféremment l'un ou l'autre pour fondement de cette science, parce que l'un se déduit de l'autre, mais non sans laisser désirer quelque chose à la raison qui aspire en tout à l'unité, et qui ne se tient pas pour satisfaite tant qu'il faut revenir à une démonstration compliquée pour établir une règle fondamentale.

98. — L'idée première une fois saisie, sur des exemples très simples comme ceux que nous avons choisis, il s'agit de la généraliser et d'en approprier l'énoncé à tous les cas possibles, ce qui est un détail de géométrie, assurément fort important, mais dont nous n'avons pas à nous occuper ici. Il paraît qu'on doit rapporter à Descartes et à Wallis l'honneur d'avoir cherché les premiers la raison et le principe de l'équilibre des machines, dans l'équivalence qui devrait avoir lieu entre les quantités de force dépensable créées et consommées, si l'on admettait que la machine prît un mouvement, dans un sens ou dans l'autre. Avant Descartes et Wallis, Guido Ubaldi et Galilée avaient, en ItaUe, aperçu et signalé le même principe, mais en l'énonçant autrement et en le donnant (suivant la remarque de Lagrange) plutôt pour une propriété générale de l'équilibre que pour la vraie cause de V équilibre *, c'est-à-dire en le présentant plutôt comme un corollaire que comme un principe. Il était réservé à Lagrange lui-même de faire voir comment, le principe une fois admis, la solution de tous les problèmes d'équilibre et, par suite, la solution de tous les problèmes de mécanique s'en déduisent à l'aide d'une méthode élégante, uniforme, sans qu'il faille recourir à, aucune construction nouvelle, à aucun artifice particulier, ainsi que cela doit arriver quand on a été assez heureux pour saisir dans une science le principe suprême et générateur d'où tout le reste dérive, et qui donne la clef de tous les cas particuliers.

99. — Or, n'est-il pas n.aturel de regarder comme un principe plutôt que comme un corollaire, et comme la vraie raison de l'équilibre (en corrigeant un seul mot, pour plus de justesse, dans les expressions de Lagrange rapportées ci-dessus) plutôt que comme une 'propriété générale de l'équilibre, une proposition qui non seulement résume, confirme et complète les divers principes qui ont été successivement employés comme autant de fondements de la statique, mais d'où découlent encore, par une méthode générale et uniforme, les solutions de toutes les questions particulières? L'organisation d'une science ne présenterait-elle pas quelque chose d'étrange, si la méthode directe, c'est-à-dire celle qui tirerait immédiatement les conséquences des principes d'où elles émanent, était

* Mécanique analijliquc, l. I", p. 20 et siiiv. de la 2" édition.

moins simple, moins élégante, et partant moins parfaite que celle qui prend son point de départ dans un corollaire éloigné des premiers principes? Remarquons bien qu'il s'agit ici d'une des questions qui tiennent à la philosophie des sciences, et dont le sens philosophique décide, mais pour lesquelles il n'y a pas de démonstrations logiquement rigoureuses, ni de réduction à l'absurde, c'est-à-dire à la contradiction, comme celles que les géomètres affectionnent (66). Mais, d'un autre côté, ce n'est point une vaine dispute de mots, c'est au contraire une question philosophique d'un intérêt réel, que celle de savoir quelle est, de plusieurs notions qui s'enchaînent, celle qu'on doit regarder comme l'idée première et génératrice. Nous avons tâché de mettre en relief les motifs qui peuvent décider le lecteur pour l'idée qui rend le mieux compte de l'économie de la science et de ses applications. La portée de nos observations sera encore bien mieux comprise quand on verra, dans la suite de ce livre, qu'il s'agit d'un principe qui domine non seulement la mécanique proprement dite, mais la physique tout entière.