TOME I

Les expériences de M. Gli. Dupin sur des barreaux de bois de chêne et de bois de sapin de démolition de 25 ans de coupe donnent :

Pour le bois de chêne £==1.688.000.000.

Pour le bois de sapin E = 1.029.000.000.

Les expériences de M. Barlow donnent :

Pour le chêne du Canada. . . . E = 1.510.000.000.

Pourle chêne de TAdrialique. . . E= 683.000.000.

Pourle pin rouge. E =î 1.293.000.000.

Pour le sapin de la forêt de Mar , en

Ecosse E = 558.500.000.

B'après une autre série dressais , le même auteur donne : Pour le sapin, la valeur moyenne E «= 984.000.000.

Les valeurs moyennes déduites pour les valeurs de coefficient E , relatives au chêne et au sapin , ne diffèrent pas extrêmement , comme on le voit , des résultats déduits des allongements sous une traction directe, par MM. Minard et Désormes, et par M. Ardant.

Moyen de s'assurer si les résistances à l'extension et à la compression des fibres demeurent égales entre elles, — Dans tout ce qui précède , nous avons admis que les fibres des prismes fléchis résistaient également à l'extension et à la compression , et que la limite d'altération de rélaslicité correspondait à des variations égales de la longueur primitive, en plus ou en moins. Les résistances à Textension et :à la compression sont certainement égales pour des variations de longueur des fibres extrêmement petites ; mais cette égalité peut fort bien cesser, et cesse sans doute d'exister pour beaucoup de corps solides, avant que Vélasticité soit altérée. Au delà de ce terme, Tégalité dont il s^agit est loin de se maintenir jusqu'à la rupture des fibres. C'est ainsi que nous avons vu que la résistance du bois à la rupture par extension était beaucoup plus grande que la résistance à l'écrasement , tandis que pour les pierres, les briques, les mortiers et la fonte de fer, la résistance à l'écrasement est au contraire beaucoup plus grande que la résistance à la rupture par extension. Pour reconnaître si les fibres d'un corps élastique résistent également à l'extension et à la compression, on peut observer les flexions d'un solide prismatique dont la section transversale ne soit pas divisible en deux parties égales et symétriques par une ligne horizontale, encastré par un bout, ou posé horizontalement sur deux appuis. La section de ce solide pourra être» par exemple , un triangle , un demi-cercle , ou avoir la fdrme d'un T.

Tant qâe ce solide , posé dans deux expériences consécutives dans des positions inverses , de façon que tout ou partie des fibres comprimées dans la première expérience soient dilatées dans la seconde, et vice versa, prendra la même inflexion sous des cliarges égales et semblablement placées, on en conclura que I*axe neutre , la ligne à laquelle aboutissent les fibres de longueur invariable n^a pas changé de position par le retournement du prisme , et qu'en conséquence , les résistances des fibres à la compression et à Textension sont égales entre elles. Le résultat opposé conduirait à une conséquence également opposée, et ferait connaître quelle est celle des deux résistances à Textension ou à la compression , qui devient prépondérante sous la charge» et pour rinflexion que le corps a subie.

11 est en effet facile de démontrer que si la section transversale d*un solide prismatique est une surface dont la largeur , dans le sens horizontal, crott ou décroît constamment, depuis Textrémité inférieure jusqu'à rextrémité supérieure, et si les fibres ne résistent pas également â Textensien et à la compression , le moment d'élasticité du solide prismatique, placé dans les deux positions inverses Tune de Tautre, sera le plus grand , lorsque les fibres situées du «ôté où la largeur de la section transversale est la plus grande seront dilatées ou comprimées', suivant que la résistance des fibres à l'extension sera respectivement plus petite ou plus grande que la résistance à la compression (le moment d'élasticité croit lorsque Ton place la partie la plus large du solide du côté où la résistance des fibres est la plus petKe). Ainsi, par exetaiple, si, pour un prisme à base triangulaire isoscèle , la résistance des fibres à la compression est plus petite que la résistance à rextension , le moment d'élasticité sera plus grand , quand le prisme sera infléchi de façon que la base du triangle soit du côté de la concavité où les fibres sont comprimées , que quand cette même base sera tournée du côté de la convexité où les fibres sont étendues.

Un autre moyen de constater l'égalité ou l'inégalité de résistance des fibres à l'extension et à la compression , consiste à courber un prisme à base carrée ou rectangulaire , dans le sens perpendiculaire à deux de ses faces, de façon que les deux autres faces perpendiculaires à cellesci demeurent planes, et à mesurer avec soin les longueurs des faces concave et convexe après l'inflexion , longueurs que l'on comparera à celle du prisme mesurée avant l'inflexion.

Expériences de Duleau sur le fer forgé. Les résistances des fibres à Vextension et à la compression demeurent égales entre elles, — H. Duleau a fait usage d'un procédé analogue à celui que nous venons d'indiquer, pour s'assurer si les fibres du fer résistaient également à

3â4 GIUPITE6 ▼.

la compretsi^m «i à rextension» Ayant pris un prisme de fer à base rectangulaire, il traça sur deux faces parallèles des lignes droites équidistantes, et courba le prisme dans un sens perpendiculaire aux deux autres faces. Soit que la flexion dépassât ou non les limites de Télasticité, les lignes tracées sur les deux faces parallèles demeurées planes restèrent droites, et leurs extrémités situées sur la face concave s^étaient rapprochées d'une quantité précisément égale à celle dont les extrémités aboutissant à la face convexe s'étaient écartées. Il est évident , d'après cette expérience , que les fibres de la face concave s^étaient raccourcies d'une longueur précisément égale à celle dont les fibres de la face convexe s'étaient allongées, que par conséquent la surface formée par l'ensemble des fibres dont la longueur n'avait pas varié était située à égale distance des deux faces concave et convexe , que Taxe neutre passait par le centre de gravité des sections transversales du prisme , et enfin, que Tégalité de résistance des fibres à l'extensimi eC à la compression continuait à subsister, soit jusqu'à ce que félasticité fût altérée, soit même au delà de cette limite.

Toutes lès expériences faites par d*atttres auteurs ma des prismes en fer forgé, encastrés ou posés sur des appuis, et dont la section n'était paa divisible en deux parties égales par une tigne horizontale, ont aussi montré que l'inflexion des prismes demeurait 1» mâme, quand on venait à les retourner de oumière àee que la face supérieure fût placée en dessous, et vice versa.

Eûspérieneeê de JET. Ea0n Hodgkinsùn sur les bots. ^ M. Eaton Uodgkinson a fait sur des prismes en bois une >xpérieace analogue à celle de M.. Duleau sur des barres de fer forgé ; il a plié suivant un are de cercle d\in. grand rayon des prismes en bois dont la section transversale était un carré d'un pouce anglais (0«,0354 de cMé) , et la longueur d'environ âi»,75» Après avoir mesuré exactement la teingueur du prisme dans son état naturel, il mesurait l'allongement de la face convexe , et le raccourcissement de la face concave^ en tenant appliquée très-exactement sur ces faces une lame d'étain divisée à Tune de ses extrémités en fraetions très*petites du pouce anglais, et dont Tépaisseur n'excédait pas ^ de pouce anglais (0«,00036).

Voici le résultat deses expériences sur le pin jaune, lesa{dnde Dantxick, et le chêne de Québec.

Pour tous ces bois, le raceoureissement de la face concave a été plus grand que l'allongement de la foce convexe, et les rapports de l'allongement au raccourcissement ont été comme suit :

Pour le pin jaune . . , Pour le sapinde Daotzick

Pour le chêne de Québec. • • • Ir.

Dans ces expériences , Pallongemenl des fibres situées sur la face convexe a été jusqu*à la fraction 0^0023 de la longueur primitive pour le bois de chêne, et le raccourcissement a été jusqu*à la fraction 0,00277 delà longueur primitive pour le même bois. Ces variations de longueur dépassaient la limite de Télasticité des solides , et, en efifet, les prismes soumis à Texpérience ont tous conservé une légère courbure , quand elle a été terminée. La âèche était de i/s de pouce anglais pour le bois de pin, de i/s pouce pour le sapin, et de 1 pouce pour le chêne de Québec. Toutefois , ces flexions étaient encore bien éloignées de celles qui précèdent la rupture*

n est facile de voir que la ligne des fibres invariables doit diviser la hauteur du prisme en parties respectivement proportionnelles aux variations de longueur des fibres de^ faces extérieures concave et convexe. Ainsi cette ligne ^ Taxe neutre , se trouve à une distance de la face convexe égale :

Aux -^- de la hauteur dans le pin jaune.

Aux -rr dans le sapin de Dantzick.

Aux ^5 dans lecliéne de Québec

Les forces attractives développées par rextensiôu des fibres devant d*ailleurs être égales aux forces répulsives développées par la compression des autres fibres, si Ton admet que les résistances des fibres étendues ou raccourcies demeurent exactement proportionnelles aux extensions et aux raccourcissement», depuis jas^*aux plus. grandes variations de longueur qui ont eu lieu daas lès expériences deM.BatoÉ' fiodgkinson , on en céiielut facilement que , pour desailongèmentiK et' des racéourcissements égmx^ les résistaifees respectivement; d éve^ loppées par ce^'Vàriatlottfi de longueur eneensôpposés sont en^elles dans le rapport inverse d^ carré dtf rapport entre les variatioirs de longueur des ISbres situées sur les faces convexe et concave.

En effet, ~ désignant ce dernier rapport , et a le c6té de fa base carrée du prisme, Taxe neutre sera situé à une distance de la face convexe égale à a X — ;— , et à une distance de la face concave égale à

a X ^i — . Si C est le module d'élasticité des fibres étendues , C le

module d'élasticité des fibres raccourcies , et ^^ le rayon de courbure de la fibre de longueur invariable , la somme des forces développées par Textension des fibres sera :

avdv =-rra'

La somme des forces développées par le raccourcissement sera :

et comme ces deux fbrces doivent être égales , on a : C w!

De là on conclurait que , pour les trois essences de bois essayées par M. Eaton Hodgkinson , le rapport entre les modules d'élasticité des fibres allongées et raccourcies est à peu près égal à celui de 5 à 4 ; car

les trois rapports -j^ , ^ et^ diffèrent peu l'un de l'autre, et lès

je

carrés de ces rapports diffèrent aussi très-peu de -j

Mais on peut objecter à ces conclusions que l'auteur tire des expé* rtences que nous venons de rapporter, que l'élasticité du boia avait été déjà sensiblement altérée par la flexion que les prismes avaient subie, et qu'il suppose, sans aucune preuve, que la résistance des fibres,soit à l'extension , soit à la compression, est demeurée proportionnelle aux allongements ou raccourcissements pour toutes les fibres, depuis celles qui, étant très-voisines de Taxe nçutre, ont subi des variations 4e

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 3â7

longueur exirêmement faibles , jusqu^aux fibres contigues aux face& extérieures dont Télasticité était déjà altérée.

Pour s*aftsurer que, pour de très-ftiîbles variations de longueur infé*^ rieuresà Taltération de Télasticité des fibres, celles-ci résistent inégalement à Textension et à la compression , il faudrait vérifier si des prismes à base triangulaire ou demi-circulaire, par exemple , posés sur deux appuis et légèrement chargés , prennent des flèches différentes , suivant qu*on les place dans deux positions inverses Tune de Tautre.

On sait depuis longtemps que , lorsque l'extension ou le raccourcissement des fibres des bois- dépassent les limites où Télasticité est altérée, la résistance à Textension dépasse très-notablement la résistance à la compression. Le fait est rendu manifeste pour les charges qui occasionnent la rupture, par Tobservation des deux parties d*ua même prisme à base rectangulaire rompu par la flexion.

Il est très-facile de distinguer Tune de Tautre les parties de la section transversale où viennent aboutir les fibres qui ont cédé à Textension et à la compression. Pour les premières, les deux tronçons du prisme rompu présentent sur la fracture des espèces d'aiguilles proéminentes séparées par des cavités où s'engageaient les aiguilles restées adhérentes à Tautre tronçon ; pour les secondes , les sections séparées sont sensiblement unies et planes. Or, Tobservallon prouve que la ligne de séparation des fibres étendues et comprimées , au moment de la rap» ture , est beaucoup plus rapprochée de la face convexe que de la face concave; les distances respectives sont à peu près dans le rapport de 5 à 8 , suivant les expériences de M. Barlow.

Eanftériences sur la flexion transversale des barreaux en fonte dont la section transversale a la forme d'un T, — M. Eaton Hodg^ kinson a fait aussi des expériences sur des barreaux de fonte dont la section transversale avait la forme ABGDEFGH, fig: 10, PL XJIIy encastrés par une extrémité et chargés d'un poids à Tautre extrémité. En plaçant alternativement la partie large ABGD en dessus et en dessous , il a trouvé que , pour des charges incapables de produire une déformation permanente , les flèches étaient sensiblement les mêmes , quel que fût le sens dans lequel le solide était tourné. Toutefois, sauf une seule expérience sur quatre, la flexion a été un peu plus forte, lorsque la partie ABGD était en dessous , et par conséquent tournée du côté de la concavité du prisme , que lorsque cette partie était en dessus. Les différences sont devenues très-marquées et toujours dans le même sens, lorsque les charges ont été assez fortes pour altérer rélasiicité du solide. On peut donc admettre que, pour la fonte, tant que Télas*

licite n*est point altérée, les fibres résistent à peu près également à rextension et à la compressien. Afàis au delà «te celte Uuûle^ et p«ux des charges voisines de celles qui occastonaenl la ruptuj^., la résMtance à récrasement est beaucoup plus graûd^e que la, résistance à T^Klension^ comme l'Indiquent d*«tteurs les expériences directes laites pour déterminer la résistance de la fonte à récrasement et à la rupture^ Àîmi , Fauteur ayant placé surdeu3Lappuis distants de 4 pi^s S pouces aaslais run de l'autre, deursoUde^ de la forme indiquée cirdessus, coulés dans le même moule, et dont les dimensions étaient AB = 4p®«<»»,1 ; A€ — 0pouce^25. EG=lpo"c«,l; GH=0P"»««,25 en mesura anglaises, et posés en sens, inverse Tun de Tautre; celui qui était placé ainsi Jk,lst face large tournée du cdté de la conTCXlté, supporta jusque dr quintaux 3/4 , et rompîtfinalement sous une. cbargpe de 9 quintaux de 11^ livres, placée au milieu de Tintervalle des appuis.

La flèche du prisme fut, sous une charge de 4 quintaux., 4e Qipoueefi . pour une charge de 8 quintaux 1/4, ipo^o^jS. Le solide rompit brusquement : la rupture fut seulement précédée d?une petite ^ugm^r talion de la flexion. A Tinstant de la rupture, un morceau de lalorme AGB1>.9 fig. 17, PL XIII, sedétaeha du milieu de la partie concavedu solide, et fut lancé en Tair.. La charge était placée en G* Dana le morceau de ftmtç détaché, on avait AB==4p««cc8j et Gl)-=0p<««e,9t|. U ^s| vraisemblable que le point 1> correspondait à la ligne séparative des fibres étendues et des ^es comprimées*

L'autre barreau , palace ainsi T , pqKa 3 quintaux 1/4 , et rompit aoiis une charge de 3. quintaux 1/2, qui n'est guère que le quart de laj^cé* cédente. Ces expériences , dans lesquelles M. Eaton Hodgkînson. «'ésC proposé de rechercher la forme la plus c6nvena)ileà donner au:r poutres en:fonte ^ sous le double rapport de Téconomie et de la soaiditJ^^ sont imprimées dans le cinquième volume des Mémoires de la Société philosophique ei littémire 4e Maneheàter.

Limite des charges capables d'altérer l^élasticité ou de prùduirs une flexion permawMe de prisfnes^posés sur 4eu^ appuis owémcaS' très. Fer forgé. — <}uant aux limites des charges capables d^altérer rélasticité ou de produire une flexion permanente par. uq effort dirt^ perpendiculairement à la longueur des solides, il paraît qu'elles peuvent être calculées pour le fer f(»rgé , en partant de ce principe , que le plus grand allongement oii raccourcissement des fibres ne doit pas dépasser 0!,e00d à 0,0007 de la longueur primitive, et que sous la charge permanente dans les constructions , la plus grande variation de longueur des fibres ne doitpafs excéder lamoiliéde la Aractioii précédente , ou 0,0003 de la longueur primitive.

RÉSISTANCE DES MATËRIAtX. 329

La charge capable d*altérer rélasticilé d*un prisme de fer encastré par une extrémité et chargea rextrémitélibi*e, serait donc, en posant

Ur'Ji'-f- / Urt<{i7, désignant par /la

distance à la

section encastrée, et prenant 20.000.000.000 pour le module d^élasticité du fer :

vx/ •

V désignant la plus grande disUmce verticale du contour supérieur ou inférieur de la base du prisme au centre de gravité de cette base.

Il suffit doRCde remplacer le produit £ «par 6,000,000 , dans les for* mules générales des pag. 315 à 818, pour obtenir les charges qu'on peut faire supporter à des barreaux prismatiques en fer qui auraient Tune des formes dont nous nous sommes occupés.

BoU, — Pour les bois , la limite à laquelle Télasticité des fibres est altérée par la compression est encore fort incertaine. Quoi qu'il en soit, il parait bien certain , par les expériences citées de M. Eaton Hodgkinson , qu*un raccourcissement de 0,0027 de la longueur primitive des fibres, dans un prisme infléchi, altère très-notablement Télasticité, et ilparaltrationnel d'admettre tout au plus commelimite supérieure de la variation de longueur le chiffre résultant des expériences de M. Ardant y c'est'^-dire 0,00117 de la longueur primitive, qui n'est que la moitié de celui que donnent les auteurs anglais. Prenant d'ailleurs pour E le nombre 1.300.000.000 , qui peut être admis sans inconvénient pour le chêne , le sapin et le pin , on a E « == 1^1,000, nombre qu'il faudra substituer dans la formule générale :