RS(, RS

SRf, R|S|.

Chaque droite de l'un des systèmes rencontre trois droites de l'autre système à distance finie, et est parallèle à la quatrième.

Les génératrices issues des points M et R symétriquement placés sur A se coupent en des points {v,v') et (u9 u') tels, que les droites qui y touchent A" se rencontrent en un point de l'intersection (AB, A'B') des plans de A et de A", celui où les tangentes de A en M et en R vont se croiser (art. 455). La corde uW est donc parallèle au diamètre de A", conjugué avec A'B'.

Les tangentes de A aux points P et Q sont parallèles; les tangentes de A" aux points (k, k') et (ktf k\) qui leur correspondent sont donc aussi parallèles, et par suite les droites A'B' et CD' sont diamétrales conjuguées dans l'ellipse A". Les quatre points iï, v\ u\ et v\ de cette conique qui appartiennent à un groupe sont les sommets d'un parallélogramme dont les cùlés sont respectivement parallèles à A'B' et à CD'.

Ces résultats sont conformes a ceux des articles 508 et 519.

Nous avons directement la longueur k,Ui, mais les extrémités G et G, du diamètre conjugué étant sur des arcs parasites ne nous sont pas données par la construction. Pour les obtenir, nous traçons un demi-cercle sur k'k\9 et nous supposons qu'il se transforme dans l'ellipse A" (art. 314). Prenant sur cette courbe un point bien déterminé tel que J', nous cherchons le point V2 qui lui correspond sur le cercle, puis considérant le point G2, extrémité du diamètre perpendiculaire à k'Kx% nous le ramenons en G sur O'B' par une parallèle à J'2J'.

') M. Brianchon, Journal de l'École Polytechnique, Cahier XIII, p. 3oi. — M. Poncelet, Propriétés projectiles, art. 212.

(3) La position précise des sommets est déterminée par une seconde construction que nous expliquerons dans le Livre relatif à la courbure des surfaces (art. SGi).

Il6 LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPA BLES.

La trace complète de la développable sur le plan d'une ligne double comprend, outre cette courbe, quatre de ses tangentes. Dans les calculs précédents nous avons pu faire disparaître ces droites; ainsi, à l'article 558, après avoir supprimé le dernier terme de l'équation (3), nous avons rejeté un facteur a et enlevé ainsi les solutions qui correspondent à la valeur nulle de cette variable auxiliaire, c'està-dire les génératrices tangentes de la ligne double, car l'équation (2) et la seconde des équations (4) déterminent ces droites, lorsque Ton suppose a nul et par suite /3 égal à ± b. De même, à l'article 557, nous avons éloigné un facteur commun |3. Enfin à l'article 491, dans le calcul qui a fait trouver la seconde des équations (6j, nous avons supprimé un facteur y2 qui correspondait au groupe simple situé dans le plan horizontal. Ainsi donc, si nos calculs ont conduit facilement aux résultats, c'est que, par suite de la symétrie du système géométrique considéré, un facteur représentant les génératrices tangentes s'est trouvé mis en évidence, et a été rejeté. Cette symétrie ne se présente plus d'elle-même dans le problème qui va nous occuper.

Nous savons que, quand une des lignes doubles est a l'infini , les trois autres sont concentriques, et que les traces des plans de deux quelconques d'entre elles sur celui de la troisième sont deux diamètres conjugués de celle-ci; mais il y a dans la question une donnée nouvelle, la pente des génératrices, et nous ne pouvons pas prévoir son influence sur la position des lignes doubles, ce qui serait nécessaire pour que le facteur qu'il faut supprimer pût être mis en évidence. Ce sont les résultats du calcul qui devront nous fixer à cet égard.

567. Nous représentons la conique directrice A par les équations

(1) A cr 4- aC«;S-t- B/Sa=i,

(2) v=rM« + Xl5.

Si nous désignons, comme précédemment, par i la colangente de l'inclinaison constante des génératrices sur le plan horizontal, l'équation du cône directeur placé de manière à avoir son sommet au point considéré de la directrice sera

ou, en ordonnant,

l (1 - M2/2'.a2 - aMNi'a/S +(1 - N2/2)/52 4-2(MZ/2- Xja W \ ' 4- 3(NZi8 - Y)jS 4- X2 4- Y2 - /2Z2 = o.

Différentiant l'équation (3) et remplaçant^ par sa valeur déduite de lequa-