CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. l4 i
On construit facilement la génératrice qui passe par un point déterminé (B, B') de l'hélice directrice, en remarquant que d'une position à une autre tous les points de cette droite s'élèvent de quantités égales. Si Ton prend le segment IJ égal a B0B', le point J sera celui où Taxe est coupé par la génératrice qui croise l'hélice au point (B, B').
Apres une demi-révolution, la génératrice (AO, Al) prend la position (CO, CL); ces deux droites se rencontrent en un point (E, E') situé sur une hélice double,
dont la distance à Taxe est la longueur OE égale à j cota. Si la génératrice
(CO, CL) fait une révolution entière, elle prendra la position (CO, C'P), et coupera la droite (AO, A'1) en un point (F, F') qui appartiendra à une hélice double,
que nous n'avons pas tracée, et dont la distance a Taxe est — cota. En considérant les intersections des génératrices situées dans le plan méridien principal, on reconnaît que la surface possède un nombre indéfini d'hélices doubles (art. 967), et que leurs rayons forment une progression arithmétique dont la
raison est —cota.
On considère la surface comme formée d'une nappe supérieure et d'une nappe inférieure, respectivement décrites par les parties de la génératrice A'E' qui sont au-dessus et au-dessous du point I où elle rencontre Taxe.
Sections planes.
989. Nous savons construire le cône directeur d'un hélicoïde réglé (art .$39-), et par suite nous pouvons déterminer les asymptotes des branches infinies de la section plane d'une surface de vis à filets triangulaires (art. 748). Quand le plan est moins incliné que les génératrices, la courbe a deux branches infinies pour chaque partie de la surface qui correspond à une spire de l'hélice directrice.
L'intersection de la surface par un plan perpendiculaire a Taxe présente un intérêt particulier.
Soit X, Y, le plan sécant (/ig. 3g6) : les génératrices (AO, A'I) et (BO, B'J) sont coupées aux points (N, N') et (M, M'). Le triangle rectangle formé dans l'espace par le rayon vecteur OM, que nous appelons p, le segment O', Jde l'axe, et la partie de la génératrice projetée sur JM', donne
p = 0'lJcota, ou p = IJcota •+• O'Icota. U est la hauteur dont chaque point de la génératrice s'est élevé au-dessus de sa
l42 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.
position initiale ; par conséquent, si nous appelons o> l'azimut AOB du point M, la longueur IJ sera wA, et nous aurons
p = « h cota -H ON,
ou bien
p = nù 4- ON,
en posant
r = Acota.
L'équation que nous venons de trouver montre que la section de la surface delà vis à filets triangulaires par un plan perpendiculaire à l'axe est une spirale d'Arvhimède (art. 673). La tangente à cette courbe à l'origine fait avec la droite AC un
angle AOS égal à J--
Les points doubles G et R de la spirale appartiennent aux hélices doubles.
Un plan perpendiculaire à l'axe n'est parallèle à aucune génératrice; la section s'étend cependant indéfiniment et doit être considérée comme ayant une branche infinie qui correspond à une génératrice située à l'infini (art. 599).
Le paramètre r de la spirale est le rayon du cylindre sur lequel est V arête de rebroussèment de rhélicoïde développable asymptote (art. 966). Pour construire cette longueur on peut développer le quart de cercle VC sur sa tangente VU, projeter le point double E' en E, et celui-ci en K : la longueur OK est le paramètre r. Cette construction est analogue à celle du rayon OK de lay?^. 375 (art. 955).
990. Considérons la droite OM {fi g. 4^4)» projection d'une génératrice qui perce le plan horizontal en un point M de la spirale d'Archimède OL, trace de ï'hclicoïde : le plan vertical OM est le plan central de la génératrice (art. 959), et par suite le plan tangent au point de cette ligne situé à l'infini a pour trace la droite MN perpendiculaire à OM. L'enveloppe des droites telles que MN doit être la développante de cercle trace de rhélicoïde développable asymptote.
Il est facile de vérifier ce résultat. Si nous appelons 9 l'azimut BOM du point considéré M de la spirale OL, nous Aurons
OM=r?.
Traçons le cercle AG dont le rayon est ret le centre 0, la droite GN parallèle à OM et tangente à ce cercle, et ensuite les rayons OiV, OG respectivement perpendiculaires à OB et à OM : le segment GN de la tangente sera égal a OM, par suite à rrp et enfin a l'arc AG, car l'angle AOG est égal à BOM. Le lieu des points N, enveloppe des droites MN, est donc une développante du cercle AG ; ce cercle est d'ailleurs la projection de l'arête de rebroussementde la développable asvmptote (art. 066).
