Ce résultat étonne ordinairement les commençans

1°, Parce qu’on ne voit pas d’abord que tout. plan mené par le sommet d’un cône ait une facette commune avec ce cône. Mais puisque ce plan contient une infinité de tangentes au sommet, il est dans le même cas que les autres plans tangens; il contient les élémens infiniment petits communs aux tangentes et à la surface; seulement, ces élémens ayant le maximum de petitesse , la facette commune se réduit à un point.

2°. Parce que toutes les tangentes à une surface, en un de ses points, ne sortent pas d'ordinaire d’un seul et même plan, qui est le plan tangent correspondant à ce point (147), tandis qu'ici toutes ces tangentes forment un solide. Pour expliquer cette nouvelle singularité, concevons que les axes, réel et imagimaires, d’un hyperboloïde de révolution à deux nappes, diminuent dans la même proportion, et se réduisent enfin à zéro: l’hyperboloïde s’approchera peu à peu du cône droit déterminé par les asÿmptotes de l’hyperbole méridienne; et lorsque les axes deviendront nuls, il se confondra avec ce cône, Or, pour chaque position de l’hyperboloïde , les tangentes aux méridiens formeront un solide , et x étant l'angle de Pasymptote et de l’axe de révolution , il y aura des tangentes perpendiculaires à cet axe, et d’autres qui feront avec lui des angles de toutes les valeurs possibles, comprises entre 90° et 7. Mais tous les points de contact qui répondaient aux tangentes inclinées avec l’axe d’angles plus grands que 7 setrouveront réunis au sommet, lorsque lPhyperboloïide se changera en cône ; donc ce sommet doit avoir une infinité de tangentes qui forment un solide extérieur au cône. En considérant un autre hyperboloïde de révolution, qui soit à une nappe , et dont Phyperbole génératrice ait pour asymptotes les asymptotes de l’hyperbole génératrice précédente, on verra que si les axes de cette hyperbole deviennent nuls, en conservant leur rapport, l’hyperboloïde ce change en un cône, et que ce cône , qui est le même que le précédent, a pour tangentes toutes jes droites qu’il renferme et qui passent par son sommet : donc un cône, comme cas singulier des hyperboloïdes à deux nappes et à une nappe, dont il est la limite, a pour tangentes toutes les droites possibles qui passent par son sommet. C’est ainsi que les cas particuliers retiennent toujours, par des propriétés singulières, une sorte d'empreinte de celles qui appartiennent aux cas généraux.

3°. Enfin, parce que les commençans prennent l’idée des plans tangens, lorsqu'ils ne connaissent encore que des surfaces convexes , cylindriques , coniques et de révolution; ce qui les conduit à penser que ces plans ne sont jamais coupars. C’est une grave erreur dont nous avors parlé précédemment (245 , 308,.etc.).

Fig. 12.

Fig. ro.