Il s'étend aussi aux sections cylindriques

. 578. Relation à laquelle ce théorème conduit lorsque l’une des sécantes est un diamètre, et que les deux autres sont\des cordes conjuguées à ce diamètre, 2bid.

579. Les distances comprises entre deux points d’une droite, et l'extrémité de cette droite située à infini, sont rigoureusement égales, 221

580. Les carrés des ordonnées de toute section conique sont entre eux comme les rec-

tangles des segmens correspondans , : 222 581. La section fermée est une ellipse, ibid. 582 et 583. La section à deux branches est une hyperbole, 224

584 et 585. Les carrés des ordonnées de la section ouverte sont entre eux comme les

abscisses correspondantes; construction de son point analogue au foyer de la

parabole, | | page 225 N° 586. La seclion ouverte est unc parabole, | 2 587. Les sections coniques singulières sont identiques avec les clips les hyperboles et les paraboles singulières, 227 588. Les cônes qui ont pour bases des sections coniques ne peuvent être Souvé que suivant des sections coniques, 1bid.

589. Les projections obliques et orthogonales des sections coniquessontd’autressections coniques de même espèce , ibid.

5oo et 591. Des PLANS DIAMÉTRAUX des cônes. Ce qu’on appelle un plan ner. ce qu’on appelle un plan diamétral orthogonal , 228 592 et 593. Des plans diamétraux conjugués ; des plans diamétraux principaux ; des axes d’un cône; de l'axe réel, etde l’axe imaginaire , | ibid. 594 et 595. Le cône à Pas circulaire présente un système de plans principaux. Un cône n’a jamais qu’un seul Si de ces plans, cbid. 596 et 597. Un cône à base circulaire n’a qu'un seul système de plans antiparallèles. L’axe réel ne peut contenir aucun des centres des seclions circulaires, 229 598. Toutes les sections coniques PAPAS comme le cercle des propriétés des cordes

polaires , | . “ibid.

599. Trois pôles conjugués d’une section conique déterminent un système de plans diamétraux conjugués , 230 600. Étant donné un plan diamétral orthogonal , il s'ensuit un système de plans principaux ;, ibid, 6or—693. Tout cône qui a pour base une section conique a un système de plans principaux : bit.

604. Tout plan perpendiculaire à l'axe réel d’un cône qui a pour base une section conique le coupe suivant une ellipse , 233 605. Un tel cône peut toujours être coupé suivant un cercle, ibid. 606. Tout cylindre dont la base est une ellipse , une hyperbole ou une parabole, peut aussi être coupé par un plan suivant un cercle, 234 607. Toutes les ellipses, les hyperboles et les paraboles possibles, se trouvent sur les cônes et cylindres à à bases circulaires , ibid. 608. THÉéORÈMES ET PROBLÈMES sur les sections ceniques , 235 609. Tuéorime 1°. Les ordonnées d'une ellipse et d’un cercle qui ont un axe commun sont entre elles comme les axes:de l’ellipse, ibid.

Gro, Tuiorème 2. Dans le méme cas l’ellipseet le cercle ont même soutangente, 236 Grr. TuéorimMEe 3. Toute droile égale au demi-grand axe d’une ellipse, et qui s’appuie d’un bout sur cette ellipse et de l’autre bout sur Le petit axe, a une partie comprise dans l’angle des axes égale à Fexcentricité , PORT * ibid. Gre. Scholie. Procédé simple et commode pour décrire lellipse , - 4 3468837

N°6r3 et 614. Taéorème 4. 155 l’on incline sous un méme angle les ordonnées orthogonales d’un cercle , il se changera en ellipse. De la tangente à cette ellipse, page 237 615. ProBzème 1%. Étant donnés un axe et un point d’une ellipse, trouver Fautre axe , 238

616. Prosrème 2. Une surface conique à base circulaire et un plan étant donnés , déterminer leur intersection en construisant plusieurs systèmes de diamètres con-

jugués de cette intersection, s 1bid.

6ry et 618. Prosrème 3. Connaissant l'intersection elliptique d’un cône à base circulaire et d'un plan, trouver les axes de cette intersection. Remarque utile sur la

théorie des courbes auxiliaires, 239

Grg. Proscèue 4. Connaissant l'intersection d’un cône à base circulaire et d’un plan , trouver Les axes de cette intersection , bi.

CHAP. I. Développement des surfaces.

N°60. Exposé de ce chapitre, page 241 621-628. Prosnème 1°". Étant donnée une surface cylindrique quelconque , on demande de construire son développement , de rapporter sur ce développement une

courbe connue sur la surfacedonnée, et de mener une tangente à la transformée

de cettecourbe, par un point choisi arbitrairement sur cette transformée ; ibid. 629—637. PROBLÈME 2. Étant donnée une surface conique, on demande d'en construire

le développement, de rapporter sur ce développement une courbe donnée sur la

surface conique, et de mener une tangente à la transformée par un quel-

conque de ses points , 244

638—645. PROBLÈME 3. Etant donné un.héliçoide développable , construire son déve-

loppement, , 248 646. De la transformée d’une courbe connue sur l’héliccide, 250 647 et 648. D’un moyen. très commode de faire un modèle d’hélicoïde; sur ce moyen généralisé, ibid, 649. ProsLèmE GÉNÉRAL. Une surface développable quelconque étant donnée , construire son développement, . 251

CHAP. Il. Sur les Sphères.

N°:65o et 651. ProLème, 1°". Déterminer la sphère circonscrite à un tétraèdre donné. Moyen de solution, page 252

662.et.653. Pro8Lème 2. Déterminer la sphère inscrite dans un tétraèdre donné; 253 654—657. Prosème 3. Étant données trois sphères, on demande de construire , 1°, une. sphère. d’un rayon connu, intérieurement tangente aux trois sphères

données ; 2°. la plus petite sphère qui puisse toucher intérieurement ces trois

sphères ;. 254

N° 658. Des modifications que les solutions précédentes subiraïent. s’il s'agissait d’avoir

des sphères tangentes extérieurement, page 255 659. ProsLèME 4. Quatre sphères étant données, trouver une.cinquième sphère qui les touche toutes les quatre, ; | | ibid,

CHAP. IT. Problèmes de Trigonométrie sphérique.

N° 660. Définition de la Trigonométrie sphérique : objet de ce chapitre, page. 256 661. Les six grandeurs qui composent un triangle sphérique sont représentées par six angles, qui sont les élémens constitutifs d’un angle solide trièdre, zbid.

662. Question générale relative à l'angle solide trièdre. Cette question se divise en six autres, qui comprennent tous les problèmes de la Trigonométrie sphérique, ibid.

663 et 664. De l'angle solide trièdre supplémentaire ; ; la considération de cet angle solide supplémentaire réduit à trois les six problèmes à résoudre, 257

665 et 666. ProsLèME 1%. Étant donnés les trois angles plans d’un angle solide trièdre, trouver les trois angles dièdres, . 258

667 et 668. Etant donnés deux angles plans d’un angle solide trièdre et l’angle dièdre compris , on demande l’autre angleplan et les deux autres angles dièdres, 259

669 et 650. ProBLÈME 3. Etant donnés deux angles plans d’un angle solide trièdre et l’angle dièdre adjacent à l’un d'eux, trouver l’autre angle plan et les deux au-

tres angles dièdres , 260 671. Remarque sur les angles solides trièdres symétriques auxquels conduisent les problèmes précédens, ee 261

CHAP. IV. Construction d'un point ar: de plusieurs manières dans l'espace.

N° 672. Pro8rèmE 1°". Trois plans étant donnés, et connaissant Les distances d’un point à ces trois plans , construire la position de ce point, page 26:

673. ProBLÈME 2. Trois points étant donnés, et connaissant leur distance à un quatrième point, on demande ce dernier , 262 654—676. Prosième 3. Étant données trois lignes , et les distances d’un point à ces lignes , construire la position de ee point, ibid.

677 et678. ProBLème 4. Un point étant situé sur trois surfaces Pa données, on demande les intersections de ces surfaces et la position de ce point , 263

679. Vérification par laquelle on s'assure que les points obtenus sont bien effectivement sur les trois cylindres âonnés, 264 680—683. Exécution de l’épure ; marche à suivre pour avoir les parties vues et cachées des intersections, Pr Ab.

684. Sur chaque projection, les points demandés sont l'intersection de trois arcs vus ou de trois arcs cachés, 265

685. Progcème 5. Un ingénieur parcourant un ; pays de montagnes, elc., . ibid,

N°686—689. Proëcèmr 6. Les circonstances étant les mêmes que dans là question précédente , avec cette différence , etc:; moyen de solution. Du nombre des solu-

tions de la question ; construction, à page 266 6go—693. Des points des différentes branches de l’intersection complète obtenus par le moyen d’une même sphère auxiliaire. Des parties réelles et imaginaires

de l'intersection. Dés diverses branches de courbe qui composent les lignes de Pintersection d’une des surfaces données avec les deux autres. Exécution de

l'épure, 268

Dé la théorie des lignes courbes et des surfaces courbes. CHAP. I. Dés surfaces gautches.

N° 604. Objet de ce chapitre, pagé 271 699. Tu£orëme 1%. Si deux surfaces gauches ont'uñn méme plan directeur, un élement commun, et deux plans tangens communs , dont les points de contact

soient sur cet élément, ces deux surfaces se touchent éntré elles tout le long

de ce même élément , ibid.

696. Taforèmr 2. Quelles que soient deux surfaces gauches, lorsqu'elles ont un élémeéntcommun, ettrois plans tängens communs dont les points de contact sontsur cétélément ; elles sont tangentes entreelles tout le long dé ce méimeélément, 272 697—699.. Prosrème GÉNÉRAL. Étant donnés une surface gauche quelconque'et un point.

| d’un de ses élémens ; on demande le plan tangent à la surface en ce point, ibid.

700 et: 70. Des suRFAcEs qui ont un plan directeur et: deux surfaces directrices.

Construction des élémens de ces surfaces, 273 702. Silon employait comme directrices linéaires les courbes de contact de la surface gauche et des surfaces directrices , on n’obtiendrait aucun avantage , 274

703—1705. Proscème 1°. Étant donnée une surface gauche, du genre de cellès qui ont un plan directeur et deux surfaves directrices, avec un élément de cette surface et un point de cet élément; construire le plan tanjÿént correspondant à ce point , | ibid.

706—1713: Progrèmr 2. Etant donnée la surface gauéthe qui à pour plan directeur le plan horizontal de projection , et pour directrices une courbe connue et une sphère ; on démande 1°. de réprésenter cette surface); 2°} de construire L? plan tangent en un point d’un deses élémens , | 275

quémnnt Des suRFACES : GAUGHES dont da génératrice’ touche consfämment trois surfaces données: Construction des élémens. Les opérations deviennent plus

‘simples lorsqu’ une ou plusieurs des surfaces directrices sont remplacées par des lignes, : 278

N° 718. Prosrème 1°. Étant donnée une surface gauche, du genre de celles qui ont pour directrices trois surfaces, avec un de ses élémens et un point de cet élément, on

demande le plan tangent: à la surface en ce point, page 279 719—721. ProBLèmE 2. On demande 1°. de représenter la surface gauche produite par le mouvement d'une droite assujettie à toucher constamment une sur-

face cylindrique donnée et deux courbes données ; 2°. de mener un plan tangent

à cette surface gauche ; par un point donné sur un de ses élémens . ibid.

722. Des SURFACES GAUCHES qui forment les filets des vis. De deux genres de surfaces auxquelles appartient l'espèce de celles qui forment-les filets des vis, 287 723. On donne aux surfaces de cette espèce le nom d’Aéliçoïdes gauches, . ibid. 724. PROBLÈME 1°". Étant données une hélice à base circulaire et une droite qui s’appuie sur cette hélice et sur son axe , représenter l’héliçoïde gauche dont cette droite, mobile sans que la partie comprise entre l’axe et l’hélice varie de lon-

gueur , est la génératrice , ibid.

725 et 726. La surface dont il s’agit est bien une surface gauche; la génératrice fait un angle constant avec EN de l’hélice, ibid.

727—729. Construction des élémens de la surface ; des courbes qui forment les contours de la projection verticale ; tous les points de Ja génératrice décrivent des

hélices de même pas, 282 730. De la construction des plans tangens à l’héligoïde gauche, … ibid. 731—1734. Des hélices singulières suivant lesquelles se coupent les différentes parties de lhéliçoide; construction d’une de ces hélices. Exécution de l’épure, ibid. 735. ProgLème 2. Jieprésenter. la surface d’une vis à filet triangulaire, … +:.284 736—1738. Construction des positions de la génératrice , des contours de la projection de la vis, et de l’arête rentrante, ibid.

739—741. Des vis sans arête rentrante. Idée du solide qui forme une de ces vis. De deux vis, l’une sans arète rentrante, et l’autre avec arête rentrante, que donne lhéliçoïide gauche qu’on s’est proposé de représenter dRob Je problème pré-

. cédent, 5) 285 742: et 743. Exécution de la fig. 1 ,et.de la fig. 2; pl. 59, tr = 01286 7144 et 945. Proscème 5. Représenter une vis à filet quarré. Les surfaces gauches des vis à filet quarré sont des conoïdes, is ibid.

CHAP. IL. Des enveloppes et de leurs. arêtes de rebroussement.

N° 746. Des enveloppes, de leurs cametéristiqes et de leurs arêtes de rebroussement , page 287 747—749. La dénomination d’arète de Et est juste , c’est-à-dire que les deux nappes d’une enveloppe s'unissent toujours par:une courbe de rebrousse-

ment; démonstration pour le: cas: des surfaces développables. Démonstration

pour le cas d’une enveloppe quelconque. Nécessité. dé éclaircir par des exem-

ples l’espèce de phénomène que présente le rebroussement des enveloppes. ibid.

N°555o—"58. D'une surface prise pour premier exemple, page 288 759—761. D’une surface prise pour second exemple, 290 762. Le sommet d’un cône est une arête de rebroussement qui ne justifié pas claire-

ment les propriétés des enveloppes $ ibid.

763. D’une surface développable qui JE gs ces propriétés, et dont le cône n’est qu’un cas re ; 291

CHAP. IL. Des tangentes, des rayons de. MAR et des Mellones des lignes courbes.

N° 564. Objet de ce chapitre, page 291

765. Des TANGENTES. Il y a deux problèmes à résoudre sur les tangentes, 1bid. 766—170. Prosrème 1°". Une ligne courbe quelconque, soumise ou non à la loi de continuité , étant donnée ainsi qu'un de ses points, mener par cepointune tangente à cette courbe , ; 292 771. Proscèmr. Une courbe ayant été tracée d’une manière quelconque , et la direction d’une de ses tangentes étant donnée, on demande le point de contact de cette tangente , 204.

772. Des RAYONS DE COURBURE des lignes courbes. Les rayons de courbure d’une

courbe à double courbure forment une surface gauche, ibid. 773. Toute courbe n’a, en chacun de ses points, qu’une seule courbure, 205 774. Des angles decourbure et de torsion d’une courbe à double courbure, zbid. 779 et 776. Usage de ces angles pour ployer une ligne droite flexible sur une courbe à double courbure donnée; ils sont indépendans ; ibid.

117. Progcème 1°. Étant donnés une courbe à double courbure et un point de cette courbe , on demande le plan osculateur qui correspond à ce point, 207

778. PROBLÈME 2. Étant donnés une courbe quelconque et un de ses points , on demande Le rayon de courbure correspondant à ce point, :bid.

759. Des DÉvELOoPPÉES. De la description du cercle au moyen de ses pôles, 298 780. Dela ligne des pôles d’un élément d’une ligne courbe, et du rayon de courbure

correspondant à cet élément, 1bid.

* 781. Du lieu des pôles des élémens &une ligne courbe; ce lieu est une surface développable , \ 209

7182. Des développées d’une ligne courbe, ibid. 783. Lorsqu'on développe le lieu des pôles , les développées se transforment en lignes droites , 300

184. Moyen d’avoir une développée, quand on a la surface lieu dés pôles, ibid. 78. Moyen d’engendrer une courbe par un mouvement continu, 30x

786. Le lieu des pôles des élémens d’une courbe plane est une surface cylindrique, ibid. 787—7809. ProLÈme GÉNÉRAL. Étant donnée une courbe quelconque ; on demanile une ou plusieurs de ses développées, ibid.

N%590—1705. 1° Exemple. La courbe donnée est l’intersection d’une sphèreet d’un cylindre à base circulaire. Le lieu des intersections consécutives des plans normaux est un cône ; ilest composé de quatre parties pareilles; développement de

ce cône, page 302 796—800. Construction de la développée; génération de la courbe donnée aw moyen de sa développée. De la construction du rayon de courbure, … 303

8o1—803. 2° Exemple. Une hélice à base circulaire étant donnée, construire son rayon de courbure et l’une de ses développées. Le lieu de toutes les. développéesd’une hélice est un hélicoide développable, 305

804—809. Développement de l’héliçoide; propriétés principales de la développée ; construction des projections de la développée demandée; de ses tangentes, de ses asymptotes; composition du système de branches de courbes qui la for-

ment, 306 810 et 811. Génération de l’hélice donnée par le moyen de sa développée: comment on déduit toutes ses branches d’une d’entre elles, 308

CHAP IV. Des rayons de courbure et des lignes de courbure des surfaces courbes.

N° 812. Une surface convexe quelconque, et une sphère qui la touche, peuvent avoir une surface d’attouchement plus ou moins considérable, selon le rayon de la

sphère, page 309 813. Des surfaces sphériques qui ont avec la surface donnée la Res grande conformité de courbure, | ml TO

814 et 815. Des sphères osculatrices d’une surface convexe et d’une surface n0n convexe, 311 816. Une surface quelconque a , en chacun de ses. points, deux sphères osculatrices, dont les rayons sont ceux des sections normales de moindre et de plus. grande courbure correspondantes à ce point , 313 819 et 818. Si l’on s’écarte infiniment peu d’un point d’une surface, en suivant les sections de moindre et de plus grande courbure de cette surface, les normales aux points d'arrivée rencontreront la normale du point de départ; les autres nor-

males voisines ne la rencontrent pas, . 1bïd. 819. Propriété caractéristique des arcs de moindre et de plus grande cour bure, ibid. 820. Cas d’une surface cylindrique, 314 821. Les arcs de moindre et de plus grande courbure d’une surface quelconque se coupent à angle droit, ibid.

822. Principe d’après lequel on évalue les rapports de courbure des surfaces, * 315 823. Une surface n’a en chacun de,ses points que deux courbures, qui ont leurs centres et leurs rayons particuliers, -4,8:6

824. Des deux systèmes de lignes de courbure exe surface, 1bid. 825. Les lignes de courbure des deux systèmes divisent la surface en élémens rectan- | gulaires, | À 317

N° 856. Les lignes d’une des courbures d’une surface de révolation sont lesméridiennes, et celles de Pautrecourbure sont les sections circulaires, page 317

827. Des surfaces développables que forment les droites normales à une sürface quelconque suivant ses lignes de courbure ; des surfaces des centres decourbure, 318 828—830. Toutes les normales d’une surface sont les intersections de deux séries de surfaces développables , qui répondent aux deux systèmes de lignes de courbure

de cette surface; les deux surfaces des centres de courbure sont ordinairement

deux nappes d’une même surface; toute surface n’est pas propre à être le Lieu

unique des centres de courbure d’une autre surface, 319

831. De la situation des surfaces des centres, selon que la surface donnée est partout convèxe, partout non convexe, ouwconvexe en certaines parties el non convexe

dans d’autres, 320

832. De la ligne des courbures sphériques , . ibid, 833. Application de la théorie précédente à Part du tailleur de pierres, ibid. 834. Application à l’art du graveur, 322 835. Construction du rayon de courbure correspondant à un point d’une surface, 323 836. Construction des directions des lignes de courbure correspondantes au mème point, 324

837—839. Deslignes de courbure par rapportà leur construction , et particulièrement de celles de l’ellipsoïde général. Des axes principaux et des ellipses principales

de cet ellipsoide ; génération de cette surface; de son plan tangent, :bid.

840. De l’ellipsoïde de révolution, 328 841 et 842. Des projections horizontales des lignes de courbure, ibid. 843—845. Des ombilivs ; des projections verticales des lignes de courbure, 326 846—848. Application dl la théorie deslignes de courbure de l’ellipsoide à la construction d’une voûte, 327 849— 851. Des constructions auxiliaires, 330 852 et853. Ce qui précède montre la nécessité d’allier l'étude de l Analyse à celle de la Gtomerie; comparaison de ces deux HE ibid.

N° 854. Sur les notes, page 332

NOTE !I'°. De lellipse , de l'hyperbole et de la parabole.

N° 855. DE L’ELLIPsE. Définition de Pellipse ;. de ses fier; ; de ses rayons vec-

teurs ; page 332 856—858. Construction de P ellipse; de ses axes ; de ses sommets. Construction de ses foyers; Lérret | ibid.

859. De son centre ; de ses diamètres ; de Pexvcenitricité , 333