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et avant les recherches de Fresnel , on croyait que le problème de la doublé réfraction était résolu dans toute sa géuéralité, En partant de l'hypothèse que l’élasticité du milieu vibrant dans le cristal est inégale dans trois directions rectangulaires, Fresnel avait vu que la surface de l’onde n’est ni une sphère ni un sphéroïde comme dans la loi de Huygens, mais une surface du 4° ordre, consistant en deux * nappes, dont les points de contact aveciles plans tangents déterminent ladirection des deux rayons. De cette construction ilest résulté qu'en général.aucun des rayons n’obéit à la loi de Sneilius ni à celle de Huygens, mais -qu'ilsisont réfractés ensemble selon une nouvelle loi plus compliquée. De:tels. cristaux jont deux axes et sont nommés Liaxes, Lorsque l’élasticité du milieu est. égale dans deux des trois directions, l'équation de la surface des:ondes peut être résolue par deux facteurs à la seconde puissance, lesquels donnent la sphère et le sphéroïde de la théorie de Huygens. Les deux axei optiques se réduisent dans ce cas à un seul ; la loi de Huygens rentre dans. la solution générale, et appartient au cas des cristaux à un axe. Finalement, lorsque l’élasticité est égale dans lestrois directions, la surface des ondes devient. une sphère, la réfraction est simple et obéit à la loi ordinaire des sinus.

Il y a deux cas remarquables dans cette élégante et profonde théorie pour lesquels l’auteur semble néanmoins s’être trompé: Dans une communication faite ; depuis peu, à l’académieroyalé d'Irlande, le professeur Hamilton a rempli la lacune qui restait dans la théorie de Fresnel, et a été conduit à des résultats remarquables par leur nouveauté et leur importance. e

Pour comprendre ces résultats , il est nécessaire décetiiier pour un.momient la forme des ondes. Leur équation polaire est

(a2cos2æt-b2cos28—+-c2c0s2y)r = [a2(b2+e2) cos2ab2{a2#62)cos?{ 8-02 (2-Lb°)cos2y}r2a2 0 ,

dans laquelle «, 8,7, représentent les angles faitspar un rayon vecteur avec les trois axes des coordonnées , et, 02; c?, les élasticités du milieu dans ces directions. Si nous faisons dans cette équation y—0, pour obtenir la section de la surface par le plan desæ y; le résultat peut être mis sous cetteforme :

(r2—c2)[(a?cos?x+-bsin?c)r®—42b?1=0,

de manièreque la surface des ondes conpe le plan desæ y selon un cercle et une ellipse dont:les équations sont

rc, (æcos’x+-b’sin?x)r?—ab?.

Si le rayon c du cercle est intermédiaire entre les demiaxes a et b de l’ellipse, les deux courbes se couperont en quatre points, .et l'angle que le rayon vecteur, mené vers une intersection, fait avec l’axe des ési, après avoir éliminé rentre les deux équations :

nat ES ê & —b

Pour chacun des points ainsi déterminés, on peut mener deux tangentes à la section plane, et par suite deux plans tangents à la surface : par conséquent un simple rayon de lumière passant à travers le cristal à l’un de ces points sera, en sortant, divisé cn deux parties dont les directions seront déterminées par chacun de cés plans tangents.

Telle paraissait êtré l'opinion de Fresnel pour ce cas. Cependant le professeur Hamilton a montré qu'il y avait une intersection à chacun de ces points, non séulement dans cette section particulière, mais dans toute section de la surface des ondes passant par la ligne dont la direction vient d’être déterminée , ou qu'il existe en effet quutre intersections conoïdales sur la surface générale des'ondés, aux points d’intersection du cercle et de l’ellipse, de sorte qu'il doit y avoir une infinité de plans tangents à chacun de ces points; et par

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