D'UN FIL IIOSOCÈ.NE. 02S

œé. le fil en mouvement pcrmancnl conservera la mi^me forme dans le mouvement que dans le repos, moyennant qu'à

chaque force F(/s on adjoigne une force— (/u, apiiliquùe normalement au fil, suivant le iirolongemtiit de son rayon de courbure. II est facile de reconnailie que ces forces normales sont équilibrées par un excès de tension du fil. sans qu'on ait besoin de rien changer à sa forme. Soient T cl T' les valeur;? des tensions aux deux bouts de l'élément MM' lorsque le lïl est en repos. Construisons t'indicalrice : pour cela par un point 0 quelconque, menons des droites Om, Qm' parallèles aux tensions; on sait que l'élément de l'indicatrice mm', qui

■complète le triangle 0mm'. est égal et parallèle à la force ïds qui sollicite l'élément correspondant MM' de fil. Supposons que dans le fil les tensions T augmentent toutes à la fois d'une même quantité 6; et cherchons comment il faut modifier les forces ¥ds pour que le SI conserve sa forme d'équilibre. La courbe ab se transformera dans une nouvelle courbe a'b\ qu'on obtiendra en prolongeant de la quantité constante 6 Ions les rajons vecteurs, et les éléments nn' de la nouvelle indicatrice donneront les nouvelles valeurs et les nouvelles directions des forces. Maïs menons par le point m une droite "ih égale et parallèle à m'n', etjoignonsAn, /m'.Nous aurons An'= mm', el nA=mn X angle nmft:=6xtfw, puisque l'angle ii»ih, égal à l'angle mOm', est l'angle de contingence de la courbe funiculaire. La force nn' peut être regardée comme la résul-

. tante de deux forces, dont l'une An' n'est autre que la force Frfs.

Kt l'autre Qdb} est parallèle à la normale principale de la

courbe funiculaire, prolongée vers l'extérieur. On peut pren-

alors la nouvelle force nn' est la résultante pir

Me la force donnée Frfs et de la force d'inertie centi'ifugc

/et la nouvelle indicatrice a'b' correspond à la mi^me courbe funiculaire, sauf l'augmentation uniforme des tensions; de sorte que les conditions de l'équilibre sont satisfaites pour le

fil à rétat de mouvement comme pour le fil e& repoâ, moyennant que les tensions tugmententloutes d'une même qu«nti!é^

393. Cette proposition sût le mouvement permraaEit des lignes funiculaires a été démontrée pour la prâoniàre fois par M. Resal pour la chainettCt et étendue à toutes les couÂes funiculaires par |L Léauté dans ses rechm^s sur les câbles ^lo-dynamiques (^). Dans le cas d'une çouribe non fermée, comme la chaînette, le thé(»*ème s'applique encore si Ton considère un fil indéfini, dont une portion seule aurait été animée d'un mouvement uniforme en suivant Ift lAatnette entre deux points âtués au même niveau ; autrement le travail de la pesanteur ne serait pas nul sur la portion du fil en mouvement, ce qui est essentiel pour que la vitesse reste constante.

Dans les cables télo-dynamiques, lés deux brins en mou* vement desdnent des chaînettes de paramètreis différents» puisque la tension n'est pas la même dans les deux; mais le mouvement permanrat n'est qu'une soluticm moyenne, pour ainsi dire, du problème du mouvraient du d^le; il se complique d'une série d'oscillations autour de la forme moyenne d'équilibre, qui dépendent des conditions initiales : ces oscillations allèrent les positions des points de contact du câble avec les tambours qui le soutiennent. La question des oscillations, qui rentre dans le problème du mouvement général d'un fil, est traitée avec beaucoup de succès par M. Léauté dans un mémoire encore inédit, qui paraîtra bientôt, croyonsnous, dans le Journal de V École polytechnique,

SUBSTITUTION APPROXIMATIVE d'uKE FONCTION LINÉAIRE A UN RADICAL

CARRÉ DE LA FORME yX* — J/*.

393. On connaît la substitution approximative donnée par Poncelet d'une fonction linéaire Mx -*- % à un radical carré

(») Comptes rendus de l'Académie des sciences, 10 noY. 1879, 1880. p. 290. 354, 498, 587, etc. * i- •

PROBLÈME D'APrnOXIMATIOB. 8aS

de la forme \/x'-t-tj' (§ 275). M. liiaulii (') a montré que la même solution s'étendait au radical \/x' — y', qu'on peut représenter par la formule linéaire Mx — Nj/. en remplaçant les eÏDus et cosinus circulaires de In formule de Poncelel par des sinus et co.-inus hyperboliques. Si l'on appelle a et ^ deux arcs tels que leurs langentes hyperboliques soient t'-gales

aux valeurs extrêmes du rapport ~, on aura l'égalité appro-

v/iTzri;

avec une erreur moindre que

La méthode consiste dans les deux cas à tracer la courbe dont l'équation est JT'iy'^^l, pour n'avoir à comparer entre ollts que les erreurs relatives; à marquer les deux points

exlrèmes qui correspondent aux limites données du rapport -•

h tracer la corde qui joint ces deux points, à mener â l'arc qu'elle sous-tend une tangente parallèle à cette corde, et enlin à tracer une droite à égale distance de la corde et de la tangente : ce sera la droite cherchée. On voit tout de suite que la substitution de cette droite à l'arc est plus prôs d'être exacte pour l'hyperbole, où la courbure va sans cesse en diminuant ii

mesure que le rapport - augmente, que pour le cercle, oîila

courbure reste la même partout.

* BulUlin de la Soriélé molhimaUijUt de France, I. VUI. u* i.

StIR LA STATlQtB GHAPIllOUe.

504. On dûsignc par statique graphique un ensemble de méthodes réunies pour la première fois en un corps de doelrines piir M. Culmann, de Zurich, et destinées S ri'soudiv par des conslruclions grapliiqucs les questions relatives à l'équilibre des systèmes matériels, notamment celles qui se rapportent à la construction. Deux méthodes principali'S peuvent être suivies pour l'exposition de cette doctrine : la première est la méthode géométrique, qui, à part un petit nombre de principes fondamenlaui, tire les théoi-émes de la statique des propriétés géométriques des figui-es; l'autre suppose la connaissance de la statique considérée comme science indépendante, et n'emploie la géométrie que comme un auxiliaire. La première méthode est celle qu'on suit dans les traités spéciimx : la statique graphique doit être précédée alors par l'exposition dos théories de la géométrie projrcfive et du calcul par Je trait. La seconde convient mieux dans on ouvrage consacré exclusivement à la statique, lorsqu'on se propose seulement de faire voir comment les construclions graphiques se prêtent aux recherches que nous avons Faites jusqu'ici par le calcul.

Les problèmes de statique comportent, en générât, deux ou trois dimensions, suivant qu'on considère l'équilibre de ligures dans le plan ou dans l'espace. Nous supposerons dans ce qui suit qu'il s'agisse uniquement du pkin; dans ce cas l'application de la statique graphique donne lieu à des solutions d'une simplicité remarquable, et qui, presque toutes, dérivent de l'emploi du polygone funiculaire.

595. Étant données des forces F, F', F",... dans un plan, on peut les composer en imaginant un polygone funiculaire qui les tienne en équilibre. Pour cela on imaginera une force P arbitraire, que l'on composera avec la force donnée F; la

«■^sultanfe R, prolongée s'il en est besoin, coupe F' en uncer^ tain point m l'on peut la supposer appliquée ; on composera en ce point R et F', ce qui donne une seconde i-ésultante R', qu'on prolongera jusqu'à la rencontre de F"; on compo* sera R avec F", et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ail épuisé de proche en proche toutes les forces données ; la dernière résultante, changée de sens, sera une Force Q, qui fait équilibre aux forces P, F. F', F",,.. Donc les deux forces 1' et Q, composées ensemble, ont une résultante égale et opposée à la ri-sullantc des forces F, t", F",... c'est-à-dire à la résultante cherchée; cette résultante passe donc au point où se rencontrent les directions P et Q. Le polygone de Varignon, construit à part, fait d'ailleurs connaître son intensité cl son parallélisme, ce qui achève de la déterminer.

La première force P est tout à fait arbitraire. Si l'on refait la construction avec une autre force P, on aura un second polygone funiculaire qui tiendra les mêmes forces en équilibre. Cela posé on a le théorème suivant :

Quand deux polygones funiculaires tiennent en équilibre les mêmes forces, li's points de concours des côtés komolof/ucs tant situés sur une seule et même droite.

11 suflît de démontrer la proposition pour trois cftlés, elle s'étendra ensuite sans difficulté à un polygone d'autant de cAtés qu'on voudra. Car soiento,i,c, d,... les divers côtes du premier polygone, a', ?»', c*, (i',,. les cAtés homologues du second. Ces deux polygones faisant équilibre aux mêmes forces, si la proposition est établie pour un contour polygonal de3 eûtes consécutifs, les eûtes a et a', b et b', c et d, d'une part, les eûtes b et b'. c et d,d et d\ de l'aulre, se coupent mutuellement en trois points situés en ligne droite ; et ces deux droites n'en font qu'une, puisqu'elles passent toutes deux par les deux points de rencontre des eûtes b et b', c et c".

Dénionlrons donc le théorème pour les deux polygones funiculaires ABCD, AB'CD, qui ont trois cûlés chacun, et qui tiennent en équilibre deux forces F et F'. Les tensions T,T,,T^ et T', T',, T', des Irois côtés se dctermineronl facilement,

soit au moyen du parallélogramme des forces, soit au mojen du polygone auxiliaire de Varignou MNP, conslruil en prenant pour centre le point H, s'il s'agit du polygone ABCD, et le

point B' s'O s'agît âa polygone AB'CD. B s'agît de proarcr^M ■ les trois points A, K et D de rencontre des cAtés homologues sont en ligne droite. Nous n'aurons besoin pour cda que d'appliquer le théorème des moments.

Les trois forces T.F.T, d'une pari, V,F,T, d'autre part, se faisant équilibre, prenons les moments de ces forces par rapport au point A, ce qui élimine T et T. Du point A abaissons les perpendiculaires Al sur la direction de la force F, AG et AG' sur les directions des tensions T. et T, ; il \iendra les égalités

T, X AG = F X il = T,' X AC.

De mèmp si l'on abaisse du point D les perpendiculaires DB, DE, DE' sur les directions des forces F', T, et T,, on aura

T, X DB = r X DR = t; X DB'

GtttPiriQte.

Divisons membre h membre ces deux égalités ;

Or soit K le poînl de renconlrc du côté BC prolongé avec la droite AD, et K' le point de renconlrc <lc la môme droite avec le cûté B'C. On aura les proportions

Les deux seconds rapports étant égaux, il en est de mémo des deux premiers, cl le point K' coïncide avec le point K. La proposition est donc démontrée.

Les deux forces T et T, d'une part, T et T', d'autre part, font fk]uiiibre à la résultante des deux Torces F et F'; elles se coupent donc mutuellement en deux points L et L' qui appartiennent à cette résultante, c'esl-ù-dire à une droite passant par le point 0 où les deux directions F et F' se rencontrent. On voit quV/ani données deux droites fixes OB, OC, et trois points A, D, K en ligne droite, si Von mène la Iran»' versale K B C, .?( les droites AB et DC, le point de concours Lde ces dettx droites décrit une droite Oh passant par le point 0. C'est le théorème de Desargues.

Les tensions T, et T', sont déterminées par l'équation des moments, et l'on a

ce qui montre que T,, et T', sont inversement proportionnelles aux dislances AG, AG'. Prenons donc sur ces droites des longueurs Aj et Ag" , n''ciproquemcnl proportionnelles h AG et AG'. Nous obtiendrons des droites proportion-

STATIQl'E

nellesaT, et T,, cl la droilc gg' represenleîî, a la même échelle, la force qu'il faut composer avec l'une des tensions pour obtenir l'aulre. Celle même force se trouve l'eprèsenlée à une autre cchelle dans le polygone auxiliaire piir le trait IIH' : car la force 1111', composée avec une force H'N^T',, a pour résulta nie le troisième côlé IIN=:T, du triangle IIH'N. Ce triangle est donc semblable au triangle Agg'. On peut observer de plus que les côtés UN el NU' sont respeclivcment perpendiculaires aux côtés homologues Ag el Ag'. Donc le troisième côlé gg' de l'un est aussi perpendiculaire au troisième côlé IIH' de l'autre. Mais gg' est perpendiculaire au diamètre AK du cercle qui passe par les quatre points A, G, G', K ; car les points g et g' sont transformés des points G et G' par rayons vecteurs réciproques, à partir d'un point A de la circonférence. Donc enfin IIH' est parallèle à AD.

.196, La composition de forces parallèles situées dans un plan se fail très aisément à l'aide du polygone l'uniculairc, et par conséquent la recherche du centre de gravité d'un système de points donnés, tous situés dans un même plan, peut se faire au moyen de deux polygones funiculaires, en donnant aux poids des points deux orientations communes sui> céssives. Remarquons que la méthode indiquée § 53 pour la composition de deux forces parallèles P et Q, revient identiquement h l'emploi d'un polygone funiculaire ; ce polygone a la forme RAOB (— R) (fig. 25) ; les deux forces additionnelles R et — R sont les tensions des côtés extrêmes, et au soinmel 0, il faut imaginer une force P -t- Q. égale et contraire à la résultante des deux forces données.

Si, au lieu d'avoir à déterminer le centre de gravité d'un eiir<MpbIe de points situés dans le môme plan, on voulait trouver la somme ïpo^ des produits de leurs poids par le carré de leurs distances à une même droite, on pourrait ramener le problème à la détermination d'un centre de gravité, en commençant par transformer les points donnés; posons en effet

CMPIIIQUE. SSl

a étant un coeriicient constant arbitraire: cette transformation pourra se faire géométriquement ; à clia(|uc point A d'&bsbcisse X, correspondra un point A' d'abscisse x', et on aura, en ttiur attribuant à tous deux le même poids j>,

ilii* = SpXaf ^

-îpr-

La première somme s'exprime donc parle produit a :/ix' qui est identique à Va^', P étant le poids total du système, et 6* l'abscisse du centre de gravité des points A'.

Le môme artifice pourrait être employé pour la somme ï/MT*. n étant un nombre entier quelconque.

597. Nous allons résoudre quelques problèmes par laméthode graphique ; c'est la meilleure manière d'en donner une idée.

Nous prendrons pour exemple l'équilibre de systèmes formés de triangles juxtaposés.

Soit d'abord un triangle unique AilC.une ferme du toiture, par exemple, posée sur des appuis fixe^ A et C; nous supposons

que les cûlÉs Ail et IlC soient égaux, que le câté AC soit horizontal et que la ferme soit chargée d'un poids P suspendu au pomt B. Ce poids P se partage également entre les deux

appuis A et C: décomposons la force ^ P, réaction verticale

de l'appui A. suivant les directions AB et AC qui se réunissent sur cet appui. Nou« aurons la compression exercée au point A surTarbalétrierAB, et l'extension exercée sur l'entrait AC dans le sens CA . Au lieu de taire celte opération en A ou en C, il est préférable de la faire sur une figure auxiliaire. Sur une verticale MN, prise pour représenter le poids P, prenons

I = |N= jj P. Par le point M menons MH parallèle h AB, par

point N la droite NH parallèle à BC; enân par le point I menons l'horizontale 111, parallèle à AC. Ces trois droites se couperont en un môme point II, cl la figure MflNl fera connsilre toutes les forces que l'on a besoin de déterminer. En cltet te triangle Mlll est la moitié du parallélogramme que

l'on obtiendrait en décomposant = P suivant les directions

Alt et AC. et par conséquent 111 est la tension de l'entrait, et IIM la compression de l'arbalétrier AB. De même UN est la compression de l'arbalétrier BC.

, 398. Supposons en second lieu une ferme où l'entrait serait remplacé par une triangulation symétrique ; les deux arbaléti-ierssonl les droites également inclinées 13 et 35; les tendeurs 12. 23, 24, 34, i5 soutiennent la construction, et empêchent les pieds 1 el 5 des arbalétriers de s'écarter sous l'action d'un poids P, placé au sommet 3. Les réactions des appuis 1

;ales & ^ P. La construction de la figure auiiliaire donnera immédiatement les tensions cherchées.

Sur une verticale MN prenons deux segments consécutifs égaux MI^IN, qui représenteront les réactions -5- P. Parle

point M menons MU parallèle à 15 ; par le point 1 la droite 111 parallèle à 12. Le triangle MHI sera identique à celui que l'on 1 ,

rtf. 374.

et 5 seront encore verticales et ■

GriAI'lltQUE. G3}

les dircclinns 15 el 12; par conséquenlMd représente la compression de l'arbalélrier au point 1. et Ili la tension du tendeur 12, qui font équilibre à la réaction verticale ^ P.

Le point 2 esl en équilibre sous l'action des trois tendeurs 21, 24, 23 ; lu lensinn de l'un deux est par conséquent égale et opposée k la résultante des deux autres. Menons par le {loint L une horizontale IL parallèle a 24, et par le point II une parallèle à 23. Le triangle UIL sera semblable à celui que l'on construirait en composant au point 2 les tensions des cdies 2], 23, pour trouver la tension du cûlé 24 qui tient en équilibre les deux pi-emiéres. Or lil représente à l'échidle des forces la tension de 12; doncllL représente à la mémeûclicUe la tension de 25, et Ll est la tension de 24, laquelle est égale en valeur absolue à la jioussée hoiizonfale qui s'exerrc entre les deux arkdétriers au sommet 5. On achèvera la Ggure en menant LH', IH', U'N parallèles respectivement à 54, à 43 et à 35: ce qui revient à répéter les lignes déjà tracées, symétriquement par rapport à l'horizontale Ll. Chaque ligne de la ligure auxiliaire donne la tension ou la compression de l'élément parallèle de la ligure principale.

Si l'on compare la ligure principale et la figure auxiliaii-e. on reconnuit qu'à chaque nœud de l'une con'espund dans Tautre un polygone d'autant de côtés qu'il y a de branches réunies dans le nœud, en comprenant les forces extérieures parmi les branches; ainsi aui nœuds

de la ligure donnée correspondent dans la figure auxiliaire les polygones

Klll, ILII, HlILil'MI. Ltl'l, tU'N.

lie la ligure auxiliaire corrcspondenl dans la figure principale les polygones

Cette mutualité des deux figures leur a Tait donner le nom de figures réciproques. On peut observer aussi que les lignes des deux ligures se correspondent deux à deux ; mais que dans la ligure auxiliaire elles représentent des forces, tandis qui' dans la figure principali; elles représentent les barres maliiriclles qui subissent ces forces. Quant au sens dans lequel agissent les forces, il faut observer que la tension du lenrfeur 12 s'exerce dans le sens 1-2 au point 1, cl dans le sens 2-1 au point 2; la force Hl représente aussi bien une force agissant dans le sens III que la réaction égale et contraire qui s'exerce dans le sens IH. Si l'on décomposait sur place les forces appliquées à la ferme, il faudrait transporter du point 1 au point 2, par exemple, la tension du cdté 12; la Ir^iro auxiliaire évite ce transport, et réduitlc tracé des lignrsclicr- Cliécs au strict minimum.

599. Nous supposerons en troisième lieu que le poidsiolali' soit égalemenl réparti en toute la portée de la l'erun-, qu'au point 2 on place une j'nmfie de force 22', normale à l'arbalétrier 13, et qu'on fasse de même au point 4 pour l'arbalétrier 35. Ou obtiendra le type le plus simple des fermes Polonceau. La distribution des cFTorls dépendra de la répartition des pressions sur les trois appuis 1 , 2', 3, qui supportent l'arbalélrier. Cetle répartition dépend de l'élasticité de la pièce. Nous supposerons ici qu'on l'ait réglée de telle sorte, que l'appui cen-

balétrier, et que les deux appuis extrêmes n'en porlcnl que

pièce homogène de section constante, reposant sur trois appuis de niveau équidîstaats.

Prenons sur une verticale unelongueurMN pour représenter

t;[ui'HHii:K, fiS:.

le poids ite la derni-R^rmc. Par le point M menons une parallèle MSfi l'arijalétricr 13. Dû l'autre extièmité N abaissons NK pcrpendiculairesurMS, et partageons celle droite NK, qui i-epiésenle la composante normale du poids MN, en trois segment».

Cesirois serments rcpri-scnleiont, ;i récliellc des IVirces, les ac lions normales dùveloppoe-i par hypothèse aux points 1.'2' et 3 de l'arbalâtrier. Tour déterminer les tensions des liens, il suffit de mener par te point n la droite ItS parallèle à 12; elle coupe MS en un ï)Oint S; la longueur MSrepri'senlera la coiupression (!c l'arbalétrier au point 1. et US la tension du lien 1*2. Le polygone fermé MNRS monti'c qu'il y a équilibre au point 1 rh. 3;^.

entre la compression de l'arbalétrier MS. la tetision SR de la barre l'2, la lurec MN, réaction verticale du mur, el enfin ta force liN, réaction normale qui doit s'exercer sur l'arbalétrier. Le point 2 est en équilibre sous l'action des tensions 21, 23, 24, et de la compression de la jambe de force 22': pour trouver ces forces, menons ST parallèle à 2ri et LT parallèle i\ 24. Le quadrilatère UtST, dans lequel LH est la compression de 32', donne les tensions cherchées. Entin au sommet 3 de l'arbalétrier correspond le quadrilatère KI.TS : on voit que l'équilibi'e a lieu sur la moitié de la ferme entre la poussée horiiontale égale a LT, la tension TS développée dans le c(^té 25, et les effurts développés dans l'arbalélricr au point 5, savoir l'etlort normal égal à KL, ef l'effort langenfiel, ou compression, égal il SK. Ce dernier elTort n'est pas égal à la com-

pra«imaidénr^in^âQ]^'^raiM la diffêraice

est égale à la cQmposamte tangmtidQe du poids de la demiferme, représentée snr la igore par la longueur KM, projection .do poids MN snr l'arbalétriar.

Si r<m supprimait la jambe de force 22^, cela reviendrait à faire nul le tronçon intermédiaire LR de la droite KN, qui représente la compression de cette pièce, ou à réunir en un seuL les deux points L et R au milieu de la droiteKN. La figure auxiliaire montre immédiirfemait quels changements enf rainerait cette suppression dans les efforts subis par les autres pièces.

Ces temples simples suffisent, pensons-nous^ pour donner une idée des nouyelles méihodes. Nous rrayerrons pour de plus amples détails aux ouvrages spéciaux de MM. Culmann, Gremona, Maurice Lëvy..., ainsi qu'aux traités récents de ré$i$tance de$ maUriauXf science pour laquelle la statique graphique fournit des solutions rapides et élégantes. Signalons enfin les efforts fails pour introduire la méthode graphique dans les problèmes de mouvement et les questions relativesaux machines. Nous citerons seulraient dans cet mrdre d'idées un mémoire que M. Fleming Jenkins a publiéily a peu d'annés sur ce sujet ^

* On the application of graphie méthode lo the détermination of the e/fieiency of Machinery ^ Ëdinburgh, 1878.