RÉDUCTION DES FORCES A TROIS

60. On peut toujours réduire les forces qui sollicitent un corps solide à trois forces dont les points d'application soient trois points A, B, G, pris arbitrairement dans le solide.

Soit F une des forces données, M son point d'application. Nous pouvons supposer celle force appliquée en un point 0 quelconque, pris sur sa direction. Joignons OA, OB, OC. Généralement ces trois droites ne seront pas dans un même plan. On peut les considérer comme les directions des arêtes d'un parallélépipède dont la diagonale aurait pour direction la droite OF. On pourra donc décomposer au point 0 la force OF'=F en trois composantes Fig. 55. Qj^,^ Q^,^ Q^,^ dirigées suivant les droites

OA, OB, OC. Ensuite on peut transporter les forces OR', OS', Or aux points A, B et G, ce qui donnera les trois forces AR, BS, CT, qui remplacent la force donnée MF.

On opérera de même pour chacune des forces données; et pour chacune on obtiendra trois composantes, appliquées Tune au point A, l'autre au point B, la troisième au point C.

Toutes les forces appliquées en A se composeront en une force unique par la règle du polygone des forces ; toutes les forces appliquées en B se composeront aussi en une seule; toutes les forces appliquées en C se composeront de même. On obtiendra donc, par cette décomposition et .cette recomposition, trois forces,appliquées, la première en A, la deuxième en B, la troisième en G, et qui équivaudront à l'ensemble des forces données.

La décomposilion est d'ailleurs possible d'une infinité de manières, car elle dépend de la position arbitrairement assignée au point 0 sur la direction MF.

APPLIQUEES A UN SOUDE. 85

héduction des tbois forges a deux.

61 . Nous venons de ramçner les forces données à trois forces R, S, T, appliquées respectivement aux points Â, B, C du solide (fig. 54). Mous allons réduire ces trois forces à deux seulement. Par le point Â, arbi-

Irairement pris sur la direction ^^ ^\

de lune des forces R, et la l a b> 'Xjm i force BS, nous pouvons faire NfL A ^S^^^ passer un plan. Ce plan cou- /7T \ ^«V^\N.T pera généralement la droite CT «f//\* \ \ ^^^

en un point M où Ton peut sup- \// U» ® ■*'' Q

poser la force T transportée. p^ Joignons AM ; cette droite ren- fi-. 64.

contre la direction BS en un

point B% et nous pouvons supposer la force S appliquée en ce point. Dans le plan ÂBSM, menons par les points A et M deux droites AA% MM', parallèles à BS , puis décomposons la force S en deux forces parallèles , respectivement appliquées aux poinfs A et M ; la règle des forces parallèles nous donne immédiatenient les valeurs des composantes:

Suivant AA\ la composante ASj=S X jg» et suivant MM',

AB' la composante MS,s;=SXjw-

On peut donc remplacer la force S par ses composantes AS^ et MS,; ensuite on peut composer S^ avec R, S, avec T, par la règle du parallélogramme. Ces opérations conduisent à deux forces AP, MQ, équivalentes aux trois forces R, S, T, et par suite équivalentes aux forces primitivement données.

On voit de plus que les forces se réduiront à une seule, si les deux forces AP, MQ sont dans un même plan.

Notre raisonnepent suppose que le plan conduit par le point A et la droite BS rencontre quelque part la droite CI. Il

84 COUPOSITION DES FORGES

pourrait arriver qu'en prenant au hasard le point A sur la direction de AB, le plan ABS Tût parallèle à CT. Dans ce cas, on pourrait changer la position du plan et l'amener à rencontrer la droite CT, en prenant un autre point A sur la droite AR ; ou bien, si le plan ABS ne variait pas de position avec le point A, ce serait Tindice que les deux forces AR, BS sont dans un même plan; elles auraient donc une résultante unique, et la réduction des trois forces à deux s'obtiendrait par la composition de deux des forces données.

Trois forces, non situées deux à deux dans le même plan, peuvent avoir une résultante unique ; c'est ce qui a lieu en général quand les deux forces auxquelles on peut réduire le système des trois, sont situées dans un même plan.

Mais deux forces non situées dans un même plan n'ont pas de résultante unique. Soient, en effet, P et Q deux forces, et R leur résultante. Il y aura équilibre entre les forces P, Q et — R. L'équilibre ne sera pas troublé si l'on fixe un point A sur la direction de P, et un point B sur la direction de Q ; alors le solide auquel les forces sont appliquées est libre de tourner autour de la droite AB, et cet effet tendra à se produire sous l'action de la force -- R, à moins que cette force ne rencontre Taxe en un certain point C. On prouverait de même que la direction de R rencontre toute autre droite AB, qui s'appuierait sur les directions P et Q : chose impossible, à moins que les forces P, Q et R ne soient contenues dans un même plan.

En général on peut s'arranger de manière que les deux forces P et Q, auxquelles on ramène un système de forces quelconques, soient recl angulaires. En effet, décomposons la force P en deux forces, P', P, Tune, P', contenue dans le plan conduit par le point A et la force Q; l'autre, P% perpendiculaire à ce plan. Les deux forces P' et Q, étant situées dans un même plan, se composent en une force L contenue dans ce plan (le cas où ces deux forces forment un couple étant excepté), et le système proposé est alors ramené aux deux forces rectangulaires P*' et L.