Limites de l'angle d'avance. — On reconnaît facilement

que le chemin parcouru par le piston pendant l'avance ou le

retard d'introduction, c'est-à-dire la valeur de x pour 9 = 6*,

Rtf 7

est — • Les limites de a devront être déterminées par

2r a cos 2 a

la condition que ce chemin soit au plus égal à une fraction

donnée - de la course totale, ce qui donne, selon que a est n

positif ou négatif,

/'COSa y n

d'où, en partageant cette double inégalité et en ayant égard à la formule (3),

îina - a V«

sina — ai/- cosa < - >

sina -+- 2

4 /-COSa > -

La considération de l'échappement donnera des conditions analogues, et l'on devra prendre les limites qui satisfont aux quatre conditions que l'on obtient de cette manière.

86. Représentation graphique du jeu de la distribution. — Dans ce qui suit, nous négligerons l'obliquité de la barre de l'excentrique, qui, comme nous l'avons vu plus haut, ne joue qu'un rôle très-secondaire dans la distribution. Nous aurons ainsi

(1) Ç = rsin(0 -h a).

i° Diagramme polaire de M. Zeuner. — Si l'on considère Ç, en valeur absolue, comme un rayon vecteur correspondant à l'angle polaire 0, l'équation (i) représente deux cercles d'un rayon égal à r, passant par le pôle [fig. i34) où ils sont

tangents, dont la ligne qui joint les centres C et C fait un angle égal à 90 — a avec la direction Ox du mouvement du piston.

Pour fixer les idées, nous supposerons que Ç représente la distance de l'extrémité extérieure du recouvrement de gauche à la position moyenne de cette extrémité, qui est celle pour laquelle le tiroir recouvre également les deux lumières d'admission.

On aura Z>==s lorsque la lumière sera sur le point d'être

2g4 SIXIÈME PARTIE. CHAPITRE Y.

démasquée, et Ç — s sera, pour une valeur plus grande de 0, l'ouverture de la lumière. Si donc m a> m a sont les intersections de la circonférence G avec la circonférence décrite du point comme centre avec un rayon égal à s, la portion m a mrri a de celte dernière correspondra à l'ouverture de la lumière; la longueur dont la lumière sera ouverte pour l'angle mOx = sera la portion mq du rayon vecteur comprise entre les deux cercles.

Comme nous l'avons fait remarquer, on peut sans inconvénient négliger l'obliquité de la bielle dans la détermination des points principaux de la détente, quoique pour des points intermédiaires celte hypothèse puisse conduire à des erreurs appréciables sur la position du piston, dont la détermination n'offre d'ailleurs aucun intérêt.

Si donc, du point comme centre avec un rayon égal à la manivelle R, on décrit une circonférence, que du point M où cette circonférence est rencontrée par le prolongement de O/n on abaisse une perpendiculaire MP sur Ox, le pied P de cette perpendiculaire représentera la position du piston correspondant à celle du tiroir définie par le point m.

Soient M le point mort situé sur la partie positive de Ox; m le point de la circonférence C situé sur la même droite; les angles w fl Ow , m Om a correspondent respectivement à l'avance d'admission et à la pleine pression.

La détente commence donc à partir du point rri a , ou, si l'on veut, de la position M^du bouton de la manivelle située sur le prolongement de Om' u . Lorsque Ç deviendra négatif, le point m se trouvera sur le cercle C.

Supposons maintenant que Ç soit la distance de l'extrémité du recouvrement intérieur à sa position moyenne ; l'ouverture Ç — s' de la lumière d'échappement est représentée par la portion du rayon vecteur déterminée parla circonférence C et la circonférence ayant pour centre et s' pour rayon; si donc n et ri e sont les intersections de ces circonférences, M„ M c les points correspondants de la circonférence de rayon R, la détente aura lieu entre M d et M«, l'échappement entre M tf et M f , et la compression entre M« et la position M« de M située sur la direction de Om«.

DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE DISTRIBUTION. 2g5

Les différentes phases que présentent l'ouverture et la fermeture de la lumière d'échappement de droite peuvent se représenter sur la même épure; ainsi l'échappement a lieu de On" à O/i^', la compression de On™ à Om", l'avance d'admission et l'admission de Om" à Om' fl , et la détente de Om" d à On' e .

2° Diagramme circulaire de Reulaux. — Nous avons, pour les ouvertures contemporaines d'admission et d'échappement,

l — s — r sin ( -h a) — s , Ç — s' = rsin{B -+- a) — $'.

Désignons par e la largeur des lumières d'admission. Du centre de rotation de la manivelle [fig. i35) décrivons

Fig. i35.

avec un rayon égal à r une circonférence, et soit m le point où elle rencontre la direction Ox de la lige du piston; menons le diamètre B'OB", qui fait avec Ox, en sens inverse de la marche de 0, un angle égal à a; portons à partir du point 0, sur le rayon perpendiculaire à ce diamètre, les longueurs OA = s, OE = s', puis prenons AL = EM = e, et enfin, par les points A, E, M, L, menons les parallèles A' A", E' E", M' M", L'L" à la droite B' B".

Soient a, e les pieds des perpendiculaires abaissées d'un

2g6 SIXIÈME PABT1E. — CHAPITRE Y.

point m de la demi-circonférence B'm B" correspondant à

l'angle 6 = mOm 9 sur les droites À' À", E'E"; on a

ma = ram{Q -+- a) — s 1 me = rsin(0 -+- a) — /,

et ces deux longueurs représentent respectivement les ouvertures d'admission et d'échappement.

Si m est en m„ les avances linéaires à l'admission et à l'échappement sont m o a , m 9 e 9 ; ces avances commencent respectivement lorsque m se trouve en A' et E'.

De L' en L" la lumière d'admission, et de M' en M" la lumière d'échappement sont complètement ouvertes; la détente commence en A" sous la face gauche du piston, et sous l'autre face l'échappement commence en E', se termine en E".

On complétera l'étude de la distribution pour.0> i8o°, en répétant les mêmes constructions sur l'autre demi-circonférence.

La position du piston correspondant à celle du point m du tiroir est représentée par la projection de ce point sur Ox.

3° Diagramme orthogonal de Faave.au. — Soient (Jig. i36)

Fig. i36.

le centre de la manivelle;

Ox la direction du mouvement du piston;

x — Rcos0, y = rsin (0 -h a) la dislance de la projection sur Ox du bouton de la manivelle et la distance correspondante de chaque point du tiroir à sa position moyenne.

Par l'élimination de entre les valeurs de x et de j, on obtient

Rîj 2 2Rrjx sina h- r-x 2 — RV C0S 2 a = o ,

équation qui représente une ellipse rapportée à son centre, dont le tracé donne une représentation graphique du déplacement du tiroir comparé à celui du piston.

L'inclinaison 9 du grand axe sur Ox, le demi-grand axe a et le demi-petit axe b sont donnés par les formules

aRrsina aRVcos 2 a

tang 1 cp = -^2 zr , a 2 = 5 r2 -,— — : : - — ,

R' — r R 2 sin^-— Rrsinasin2ip -j-r-cos'f

.,-__ aRVcos'a

R 2 cos 2 y-t-Rrsinasin 2 cp -r- r l sin a y

Pour a? = =LR, on a j = ±rsina, et les tangentes aux points correspondants I, F sont perpendiculaires à Ox.

Porlons, à partir de 0, les longueurs QE = s', 0A = $, AM = e, et menons par les points E, A, M les cordes E'E", A' A", M'M". Si nous remarquons que les ouvertures d'admission et d'échappement sont y — s, y— s', nous reconnaîtrons, comme dans l'épure précédente, que l'échappement, sous la face de droite du piston, a lieu pour la position du bouton de la manivelle donnée par la projection horizontale de E', tandis que le commencement de l'admission sous l'autre face correspond au point A'; l'avance d'admission a lieu de A' en I, la pleine pression de I en A", la lumière d'introduction étant complètement ouverte de M' en M", etc.

Pour compléter l'épure, il faudrait mener, dans la deuxième moitié de l'ellipse, les mêmes cordes que dans la première.

Nous n'insistons pas davantage sur cette épure qui est maintenant abandonnée d'une manière générale, attendu qu'elle comporte un tracé plus long et moins précis que les deux précédentes.

4° Diagramme de Maller.— Soient Oa [fig. 137) la position de l'excentricité correspondant à un passage de la manivelle au point mort extérieur; Ox la direction de la tige du tiroir; concevons qu'à cet instant on imprime au système du récepteur et de la distribution, autour de l'axe 0, une rotation égale et contraire à celle de l'excentricité ainsi ramenée au repos; la tige du tiroir tournera de la droite vers la gauche et prendra, au bout du temps / correspondant à l'angle réelle-

298 sixièmb partie. — chapitre y.

ment décrit par Oa», la position Ox, faisant avec Ox 9 un angle égal au précédent.

Fig. 137.

Il est clair que Ton peut supposer que le centre du tiroir coïncide avec l'extrémité de la barre d'excentrique, puisque la loi du mouvement de ces deux points est la même.

Soient b 09 b X9 b les intersections de Oar 9> de son prolongement, au delà du point et de Ox 9 avec le cercle décrit du point a comme centre avec un rayon égal à la longueur / de la barre d'excentrique; Ob , 06,, 06 seront les distances du milieu du tiroir à Taxe de rotation correspondant aux points morts intérieur, extérieur et à l'angle décrit 0.

Soient de plus I, k, h les intersections de Ox avec les cer-

11 r\ - bib b^bn b t b , clés de centre O ayant pour rayons — > — \-s 9 rs';

I sera le centre d'oscillation; par suite, bh représentera l'ouverture d'admission et lie l'ouverture d'échappement.

Si h et /r sont les intersections du deuxième et du troisième des cercles ci-dessus avec Ox 09 les longueurs b h , b t k seront respectivement les avances linéaires d'introduction et d'échappement lorsque le piston sera au point mort de gauche.

Cette épure, quoique donnant rigoureusement les positions du tiroir pour les valeurs successives de 9, présente, dans la

pratique, de sérieux inconvénients; car, en général, comme, pour obtenir une exactitude suffisante, elle doit être exécutée en grandeur naturelle, et que presque toujours les barres d'excentriques sont très-grandes par rapport à l'excentricité, l'épure exige un espace démesuré ; d'autre part, les intersections des cercles ayant lieu à angle aigu ne peuvent être obtenues avec toute la précision nécessaire.

La méthode de Mûller ne peut être employée avec avantage que lorsque les barres d'excentrique sont très-courtes, ce qui rend la distribution défectueuse, ou lorsqu'on veut déterminer, pour une position donnée de la manivelle, la position correspondante du piston.

Cette dernière s'obtiendra en employant la même méthode que ci-dessus, en opérant sur la manivelle OA placée suivant 06, et la longueur L de la bielle, comme on l'a fait sur Oa et /.

87. De la distribution dans les machines à balancier. — La seule différence qui existe entre la disposition adoptée dans les machines et la précédente consiste en ce que la tige du tiroir n'est pas reliée directement à la barre d'excentrique, mais bien à l'une des extrémités d'un levier coudé mobile autour d'un axe fixe dont l'autre est articulée à celle de la barre. Le mouvement du tiroir suit donc, ou à très-peu de chose près, la même loi que dans le cas précédent, et les formules ci-dessus sont applicables, en supposant que r représente l'excentricité réduite dans le rapport des bras de levier.

§ II. — De la distribution dans les machines oscillantes.

Renversement de la marche.

88. Coulisse ordinaire. — La distribution s'opère toujours au moyen d'un tiroir à coquille. Les tourillons du cylindre sont creux; la vapeur arrive dans la boîte de distribution par l'un d'eux et s'échappe par l'autre.

Si l'on effectue l'intégration de la formule (i) du n° 43 de la

IV e Partie, qui donne le déplacement du tiroir, en ne conser-

R 2 vant que la première puissance du rapport — j- = e\ on

3oo sixifeME partie. — chapitre y.

trouve, en attribuant à o>, a, &>', a! la même signification qu'au n°80,

« — a ou — (»' — a') = rj[sin(0-+-a) — sina]

(i) ' -+- ^[sin (G - a) - sin (9 -+- a)

— £sin(30-+-a)-+-sin(0-i-a)cosa6]j.

Pour w==o, c'est-à-dire pour le commencement de la détente et pour l'avance d'introduction, on peut supposer respectivement 9 — tï— ia et 6 = un dans le terme en e 2 , ce qui donne

sin(Ô-j-a) — sina = (sin3a — sina-h isinSa-i-sinacosi*),

sin (0 -+- a) — sina = h ^ sina :

d'où

0, — * — 2a h h- (sin3a — sina h- ^sin5a-t-sinacos4a),

1 rcosa 4cosa v J

0, — 27r h - tanga.

1 rcosa 3 °

Ainsi donc, l'obliquité de la tige du piston modifie un peu l'angle correspondant à la détente et non celui pour lequel l'introduction commence.

Pour déterminer les angles relatifs à l'avance de l'échappement et au commencement de la contre-pression, il faudra supposer, dans le terme en e 5 , = 7:, = 27r — 2«, et l'on obtient ainsi

sin(0 -+-a) — sinaa = — h ^ s 2 tanga,

sin(0-f-a) — sina — -(sina — sin3a -t-^sin5a — sinacos4«),

d'où

0, = 7r h|s 2 tanga,

3 rcosa d ° '

0, — 27T— aan (sina — sin3a-h|sin5a- sinacos4*)-

rCOSa 2COSa x

Le sens de la rotation de l'arbre changera évidemment si,

DBS DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE DISTRIBUTION. 3oi

par un moyen quelconque, on augmente de i: l'angle formé par la bielle avec la direction de la tige du piston, et Ton obtiendra ainsi la marche en arrière.

Les épures que nous avons indiquées plus haut s'appliquent évidemment dans le cas actuel, pourvu que s 2 soit assez petit pour que Ton puisse négliger sans inconvénient le terme complémentaire de l'équation (i).

89. Coulisse des bateaux à vapeur des lacs suisses. — Chaque tiroir n'est relatif qu'à une lumière d'introduction et correspond à une lumière spéciale d'échappement. En supprimant la partie pleine opposée au recouvrement, les deux tiroirs réunis suivant les deux sections ne formeront qu'un seul tiroir à coquille.

En nous reportant au n° 54 de la IV e Partie, nous aurons

— «du — (&) ; — a')= ^ . . -[sinfQH-a) — sina] ( i — ^sin 3 © )

v ' rsinA L v ' J V ia 2 -+-J{ 2 )

formule que l'on discutera comme plus haut.

§ III. — Distribution à un seul tiroir, à renversement

et à détente variable.

90. Coulisse de Steplienson. — La manivelle fait des angles égaux avec les deux excentriques, et, d'après la signification donnée à a au n° 43 (') de la IV e Partie, chacun de ces angles est égal à 90 — a, de sorte que <p = 90 -f- 9 4- a.

Nous ne considérerons que la coulisse à barres ouvertes, en faisant connaître à mesure les modifications qu'il faut apporter dans les résultats obtenus pour qu'ils s'appliquent au cas des barres croisées.

Si nous faisons <p = 90° -+- 9 -t- a, dans la formule (4) du numéro précité, l x continuant à représenter la distance du

milieu du tiroir à l'extrémité de la barre d'excentrique, nous

(*) Par suite d'une première faute de correction, on a ajouté à f les angles a et 2 a, au lieu de les en retrancher, et il est nécessaire de faire préalablement cette correction.

aurons, pour la distance de ce milieu à Taxe de rotation 0,

( — sina h — cosa ) cos0 •+■ y cosa sin9

— — [(c-+-a)cos 2 (0 — a) -i- (c — a)cos 2 0] $e£ m

-Ac 3 — H 2 )cos 2 asin 2 0;

d'où, pour la distance du tiroir à son centre d'oscillation,

y / c 7 — u 7 \ ni

Ç = r ( — sina h — cosa J cos0 H cosa sin0

r 7 — t- ^[(c-+-tt)cos 2 (ô — a) H-(c — a)cos 2 0]

r 7 H r-.(c* — « 2 )cos 2 asin 2 0.

Si nous posons

tanga' = c

^ = ri/l Sina H - — cosa J •+- — C0S 2 a,

il vient

(i) Ç = w h- 5 = — («' -h s') = r'sin (0 -f- a')

— j-^ [(C -f- «) C03 2 (0 — a) -H (<? — u) COS 2 0]

r 2 -(c 2 — a 2 )cos 2 asin 2 0.

ie

Si Ton s'en tient au premier terme de Ç, le mouvement du tiroir, pour chaque valeur de « , sera le même que s'il était produit par un excentrique r' dont l'angle de calage serait a', et les épures indiquées plus haut seront encore applicables ici. On voit maintenant pourquoi, au Chapitre VI de la IV e Partie, nous nous sommes imposé la condition que la valeur moyenne de OE soit indépendante de «.

Les valeurs positives de u et a' correspondent à la marche en avant, et les valeurs négatives à la marche en arrière; car, dans ce dernier cas, on obtient les mêmes formules que dans le

DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE DISTRIBUTION. 3o3

premier, en prenant u en valeur absolue, et changeant 9 en — 9. L'inverse aurait lieu si les barres étaient croisées, puisqu'il suffit de changer le signe de c pour passer de l'un à l'autre cas.

Le point milieu de la coulisse ne correspondant à aucun mouvement, c'est avec raison qu'on lui a donné le nom de point mort. La région environnante de ce point, déterminée par les valeurs extrêmes a = 6o° et a = i^o° 9 ne peut pas être utilisée.

Les formules qui donneraient avec une approximation suffisante pour toutes les valeurs admissibles de u, surtout pour les plus faibles, celles de 0,, 2 , 3 , 9 A , sont très-compliquées. Il est facile de dresser un tableau des valeurs de ces angles pour des valeurs suffisamment rapprochées de u, en opérant par approximations successives.

91. Coulisse renversée ou de Gooch. — Au moyen de la formule (4) du n° 47 (') de la IV e Partie, dans laquelle on supposera •

ç = qo° + ô + a,

on trouve, en opérant comme ci-dessus, pour la coulisse renversée à barres ouvertes,

Ç = ri — sina-+-yCOSx JcosÔH — ( cosa-f- ysina jsinô

— 2~}[( CH " ")COS 2 (0 — a) -+- (c — w)cos*(8-t-a)]

i r 2 n ï-cos^sin'Ô.

Dans le cas des barres croisées, il faut changer c en — c.

La discussion de cette équation est identiquement la même que celle de la coulisse droite, et Ton en tirera le même parti en appliquant la méthode semi-géométrique que nous avons indiquée plus haut.

(') Après y avoir remplacé ç>-H*, <? •+- 2 a par p — a et <p — 2a pour le motif donné dans la note du numéro précédent.

3o4 SIXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Y.