ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES AIBES PLANES

Lee tangentes et les cordes détermineront respectivement une aire circonscrite et une aire inscrite entre lesquelles sera comprise Faire chercbée.

On a évidemment

aire inscrite = ^ — ^ h -+- {j\ -h/J h -h {j^ -h j.) h ■+• ^-^ — ^ A,

aire circonscrite = a A (/, -h j^ -^Xe)"

En prenant approximativement pour Taire cherchée la demi-somme de ces limites, on obtient

A = [-^^ - ^^ H- a (jr, + r, H-/.)],

résultat qu'il est facile d'énoncer en langage ordinaire. L'erreur commise sera moindre que la demi-différence des limites ou que

«= ^ rra-*-r6- (r« -^77)1 = ^* — »

H et K étant les points de rencontre des cordes A^Â., A, A, avec Fordonnée du milieu A^H^.

Cette méthode offre, en outre de l'avantage de donner une limite de l'erreur, celui de n'exiger que le calcul de /i h- a ordonnées, au lieu de an H- 1 comme l'exige celle de Simpson.

m. Planimètre de M, Amsler. — Les planimètres, comme l'indique leur nom, sont des instruments destinés à mesurer mécaniquement des aires planes.

Le plus simple et en même temps le plus tommode des planimètres imaginés jusqu'à ce jour est celui de M. Amsler, professeur de Mathématiques à Schaffausen (* ).

Cet instrument se compose de deux règles métalliques (Jig. 177 et 178 ), représentées par leurs axes de figure OA, AB, et qui sont articulées en A ; la tige OA est munie en 0 d'une pointe que Ton fixe sur le plan (en la surmontant d'une masse pesante pour bien assurer la fixité) en un point extérieur au périmètre de Taire à mesurer et de manière que Ton puisse faire décrire ce périmètre par une pointe projetée en B. Sur le prolonge-

(' ) Le premier planimètre susceptible d'application parait être celui de Emst, dont on trouTera la description dans les Leeons de Mécanique pratique de M. le général Morin.

QUATRlftHB PABTIB. — CBaPITRB VI.

ment de AB au delà de A, se trouve une roulette C dont Taxe est parallèle à AB et dont la jante, qui doit rouler sur le plan, est graduée; Taxe de la roulette est fileté et forme vis sans fin avec une roue dentée dont

Fig. 177.

fur

Taxé porte un plateau gradué; le déplacement du plateau lait connaître le nombre de tours effectués par la roulette dans son mouvement de roulement.

Fig. 178.

ZCJummLdd

J.pianadttu

Cherchons maintenant à établir la théorie de l'instrument. Soient

r, /•', a les longueurs consUntes OA, AB, AC; R le rayon vecteur OB ;

tTÀLOATIOlf APPROXIMATITB DBS AIRES PLANES. 383

M, a les vitesses angulaires autour de 0, de OÂ et de OB, lorsque B trace

le périmètre de Taire ; u' la vitesse angulaire de AB autour de A.

Le mouvement de AB résulte de la rotation w' et de la translation wr perpendiculaire à OA ; de. sorte que la vitesse U du point B est la résultante des deux vitesses &>' r', &>r respectivement perpendiculaires à AB et à

OA ; or les composantes de U suivant R et sa perpendiculaire étant -7-9 ûR, on a, en appelant a, a' les angles AOB, ABO,

» rsma' — «rsma = -r-j

ai

wVcosa' -h «rcosa = nR OU, en abaissant la perpendiculaire AI sur OB,

«'— « = -j-, -;-, w'.BI — «.01 = ûR; Ai at '

d'où l'on tire

, ^ 01 rfR ,, I rfR , /=^-^AI^="^R5r^*"'

La vitesse V du point C, estimée perpendiculairement à AB, égale à la vitesse de la roulette à sa circonférence, est la résultante de — a^/ et de

la composante correspondante — «rcosOAB de la translation «r; la composante longitudinale de cette translation ne produit qu'un glissement de la roulette dont nous n'avons pas à nous occuper. Or, dans le triangle AOB, on a

iOAB = ; »

par suite

cosL«^ — -

2 rr

ar

OU, en remplaçant «, c^ par leurs valeurs ( i ),

(aï V=: — î î7-7-( -} COta'-hflCOta).

^ ' a r'- R di \ ar' /

Soient

R^ le rayon vecteur correspondant au point de départ de la pointe B, et ô, l'angle qu'il forme avec Taxe fixe Ox;

384 QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE YK

A Taire décrite par OB, lorsque le rayon vecteur et son inclinaison sont

devenus R et 0 ; a le chemin parcouru par la circonférence de la roulette.

On a •

(U a dt dl

et la relation (2) devient d'où

— ~ ^R / cota' -+- or'cota ]

"jR.i— ^i cota ^ «.'cota) f

On déduit facilement du triangle AOB les valeurs de cota' et cota eo fonctions de R ; mais, ces expressions renfermant en dénominateur des radicaux du second degré dans lesquels se trouve R au quatrième degrà 1 intégrale du second membre de l'équation ( 3 ) dépend des transcendante^ elliptiques; 1 essentiel pour nous est de reconnaître que cette intémle est de la forme /(R) - /{Rj, de sorte que Ton a

(4) A = r'<rH-

r^-t-r'Vaflr'

S*a 8'agit de l'aire d'une courbe fermée, fi et R redevenant 0 et IL

on a

Suppo80,w que l'on veuille faire en sorte qu'à un tour de la roulette corresponde l'umlé de surface, soit le centimètre carré, pour fiwr te

J«n^ r' ■"''*' '^^^--^ k l'^tion (5) PI, le. coB.ldé«Uon. Soient (/^. 179)

K le milieu de AB;

I, L les points d'intersection de. perpendiculdre, éleyée. i AB «ux Doinl. K et C avec la direction de A'B'j pointa K

ÉVALUATION APPROXIMATIVE DBS AIRB6 PLANES. 385

idées ; appelons p le rayon de la rouletle, nous aurons

• I = airr'p.

En se donnant le diamètre de la roulette, on déduira de cette relation la valeur de p. Chaque division de la jante divisée en loo parties correspondra à lo millimètres carrés.

Supposons maintenant que Ton veuille changer Tunité de surface en conservant la même unité de longueur pour p et r', et soient m le rapport de la nouvelle unité à Tancienne et r'^ ce que doit devenir r'\ nous

aurons

m = iwpf',, d'où /, = w/.

Pour que Ton puisse modifier la longueur de r', on forme ÂB de deux parties, dont l'une mobile autour du point A sert de gaine à Tautre, dont on fixe à volonté la longueur delà partie extérieure au moyen d'une vis de pression.

Nous ferons remarquer, pour terminer, que l'instrument peut aussi mesurer Faire d'un secteur curviligne fi^OB ayant son sommet en 0. Â cet

M rintenectioii à IK avec la parallèle à WC menée par le point C;

tfm l'angle MCK.

Fig. 179.

On a

i/A « aire AA'BB' =. AB X IK = r'CCL H- CK.rfot).

Or CL est Tare da dont la roulette a tourné ; on a donc

d'où

A = r'r-+-CK.r'(a — «,).

Si la courbe est fermée, le second terme s'annule, et Ton retombe sur la formule (6).

386 QUATRlfiMB PARTIS. — CHAPITRB YI. — ÉTALUATlOIf, ETC.

effet, on fail parcourir Parc B«B à la pointe de traçage, puis sar OB le chemin BBp le point B^ se trouvant à la même distance de 0 que B^; Taire décrite n'est en déOnitive que celle du secteur-; mais, comme R est redevenu R^, la formule (4) se réduit à la suivante:

qui est d'une facile application.

TBOISIÈHB SECTION. — CBAPITRB I. — GÉNÉRALlTtS. 387