TRANSFORMATION DU MOUVEMENT RECTIUGNE CONTINU EN REGTIUGNE CONTINU

5. Poulie fixe. — Lorsque l'on ne veut transformer que la direction du mouvement et non sa vitesse, on emploie la poulie fixe [fig. i4), qui consiste en une roue mobile dans une chape autour d'un axe fixé, tantôt à la roue> tantôt à la chape qui est accrochée en un point fixe.

Fig. 14.

La jante de la roue est creusée en gorge pour recevoir une corde AafrB qui embrasse un certain arca6. Si l'extrémité A de la corde s'éloigne de a d'une certaine longueur dans la direction de ka, B se rapproche de 6 de la même longueur, de sorte que la direction seule du mouvement est changée.

Si P et Q sont les efforts moteur et résistant, dirigés suivant «A, 6B, il faut pour l'équilibre, en vertu soit du principe du travail virtuel appliqué à la corde, soit du théorème des moments appliqué à l'axe, que Ton ait P = Q, en négligeant toutefois le frottement de la poulie sur son axe.

Cette égalité n'est d'ailleurs qu'une vérification d'un théorème plus général relatif à l'équilibre d'un fil en contact avec une courbe fixe (deuxième Partie, n° 86).

12 QUATRiftMB PARTIE. — CHAPITRE II.

Lorsque les deux cordons ka^Bb sont parallèles, la corde embrasse la moitié de la circonférence, et les mouvements des deux cordons sont parallèles et de sens contraires.

On peut transformer l'un dans Taiitre deux mouvements rectilignes ayant la même vitesse, dont les directions AB, CD ne sont pas comprises dans le même plan de la manière suivante : on joindra deux points B et Cnle ces directions, on disposera ensuite deux poulies dont les gorges seront respectivement tangentes à AB et BC, BC et CD ; on fera enfin passer sur ces deux poulies une corde dont les deux cordons extrêmes seront dirigés suivant AB et CD, et il est clair que la transformation sera opérée.

6. Lorsque l'on veut modifier à la fois la direction et la vitesse du mouvement, on emploie la poulie mobile ou les mou/les.

Dans la poulie mobile {Jlg. i5) une des extrémités A de la

Fig. i5.

corde est attachée à un crochet; la poulie repose sur la corde et à sa chape se trouve ordinairement suspendu un poids Q, qu'il s'agit d'élever en exerçant suivant 6B un certain effort P.

TRANSPORKATION DU MOUYEMINT mSCTaiGNB GONTINUy ETC. iS

Pour qu'il y ait équilibre de la corde sur la poulie, il faut que la tension T de \a soit égale à P; et enfin» en négligeant les résistances passives, il faut, pour que la poulie soit en équilibre, que Q soit égal et opposé à la résultante de ces deux forces, et, par suite, que la bissectrice de l'angle formé par les deux cordons, ou de celui 2 a formé par les rayons Oa, 06, soit verticale. On a ainsi la relation

Q = aP sina.

Soit iY le déplacement élémentaire que subit Q lorsque B& s'allonge de do*; le principe du travail virtuel donne

d'où, en vertu de la relation précédente.

asina

mais dY ne peut s'exprimer en fonction de a et de sa variation que si le cordon Bfr est assujetti à certaines conditions.

(') On éprouve généralement quelques difficultés à établir directement cette relation, et par suite à vérifier le principe du travail virtuel sur la poulie mobile. Ces difficultés ne sont qu'apparentes, comme nous allons le voir. Soient (/g'. i6)

Fig. 16.

Bon point déterminé de la corde, correspondant à la longueur S = Aa6B mesurée à partir du point fixe A. Nous supposerons la force P appliquée au point b;

Ax, A/ Thorizontale et la verticale du point A;

'</ les coordonnées de B par rapport à ces axes ;

^ = 01 l'ordonnée verticale du centre G de la poulie ;

par exemple, comme celle de passer par un point fixe ou sur une poulie fixe.

Lorsque les cordons sont parallèles ou que a = 90, on a

ce qui est visible a priori.

7. Une moufle se compose de deux systèmes, formés chacun de pouces réunies dans une même chape : la chape de Tun des systèmes est fixe; à celle de l'autre est accroché un poids Q qu'il s'agit d'élever au moyen d'une corde dont le

J et c les milieux de la corde et de l'arc aè; R le rayon de la poulie; u=Aa, u'—Bb,

On a

aOc = cOb = xKa = a.

L'angle aigu formé par Ax et B5 est aussi égal à a. La figure donne

(i) jr —{u — u')sinx.

(2) j: r^ (tt-r- tt')cosa-t- aRsina.

(3) S — u-i-u'-h^KoL.

( 4 ) Y -t- R cos a — u sin a

Pour un déplacement infiniment petit du cordon, on a les variations $jr =:{^$u — ^tt' ) sin a H- ( « — «' ) cos a ^a, Jx = ( Jm -H $u' ) cos a — {ut-u') sin a ^a -+- 2 r cos a ^a. Le déplacement de B, suivant 6B, a par suite pour expression $Q z=z $x cos OC — Sysinat. — $u (cos* a — sin* a) H- $u' — 2 M sin a cos a ^a -h 2 R cos* a Sa. ; mais, S restant constant, l'équation (3) donne

Su' = — $u — 2R Sol»

Portant cette valeur dans l'expression de Sc^ on trouve

S9 —— isin a. {Su sin a H- ucosa Sa. -h RsinaJa), — — 2 sin a . ^ ( K sin a — R cos a), ou, en vertu de l'équation (4),

Sv —- - 1 sin a SY, ce qui n'est autre chose que l'équation ( 2 ) du texte.

TRANSFORMATION DU MOUVEMENT RECTILIGNE CONTINU, ETC. l5

brin libre, suivant lequel s'exerce l'effort P, correspond à une des poulies de la chape supérieure, passe de là sur une poulie de la chape inférieure, puis sur une poulie de la chape supérieure et ainsi de suite, et vient finalement se fixer en un point de la chape supérieure.

Lorsque les poulies de chaque système sont montées sur le même axe {fig. 17), comme dans le palan, elles sont toutes de même diamètre, et les cordons intermédiaires sont tous parallèles.

Fis. iT. Fis. 18.

Dans le cas contraire (Jig. 18), le parallélisme n'existe plus; mais comme, en général, les chapes sont éloignées l'une de l'autre, par rapport à la différence de diamètre de deux poulies correspondantes de l'un et de l'autre système, on peut encore sans grande erreur supposer que les cordons sont parallèles.

l6 QUATRIÈME PARTIS. — GHAP. II. — TRANSFORMATIONy ETC.

Soit n le nombre des poulies de chaque système ; si Ton remarque que la tension du premier cordon intermédiaire est égale à P, pour qu'il y ait équilibre sur la première poulie supérieure» on voit qu'il en est de même de la tension de tous les autres cordons» de sorte que le poids Q fait équilibre à 271 forces égales à P dirigées suivant les cordons qui soutiennent la chape inférieure; on a donc

et, par conséquent, en vertu du principe du travail virtuel, la

hauteur dont s'élève le poids Q est la fraction — de Taccrois-

sèment correspondant de la longueur du cordon libre ^ ce qu'il est facile de voir à priori; car, si le cordon libre s'allonge d'une certaine longueur j, le restant de la corde, composé de 2/1 cordons, se raccourcit de la même longueur; chacun

des cordons se raccourcit donc de -? qui représente la hau-

teur dont la chape inférieure s'est élevée.