ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES AIRES PLANES

NOTE

SUR l'évaluation approximative des aires PLANES.

Formule de Simpson, — Proposons-nous d^évaluer approximativement [fis- 175) l'aire comprise entre un arc de courbe A, Aj„^,, tracé par points ou défini par une équation, une droite B,Bj„^, et les ordonnées A,B,, A*+,B„^, des extrémités de l'arc par rapport à cette droite.

Concevons que l'on divise la base B, B^,,^, en 2/î parties égales dont nous désignerons par h la longueur commune. Soit B^ le pied de l'ordonnée j,= A, B, correspondant à l'abscisse (/ — i)^.

Fiff. 175.

Si nous considérons, par exemple, l'aire mixtiligne A, B, A3B3, nous pourrons, par approximation, remplacer l'arc A, A^ A3 par celui de la parabole passant par les trois points A,, Aj, A,, ayant A^B^ pour diamètre; l'erreur commise sera d'autant plus faible que l'équidistance h sera plus petite. Soient ^,, a^ les intersections de la tangente en A, à la parabole avec la direction des ordonnées de A„ A3; I celle de A^B, avec la corde A, A3, parallèle, comme on le sait, à a^a^. On a, d'après un théorème connu,

aire Af A^ A3 = | aire A, /?, a^ A3 = | A^ I x 2/*

d'ailleurs

aireB.A,A,B,r=://(j,^^j,

•îij. -ajj);

38o par suite

On a de môme

QUATR1È3IE PARTIE. — GUAFITRE YI.

aire B, A, A, A3 B3 = - (7, 4- 4 J, -+- /a )•

aireB3A3A,A,B,= -(j^^4j^ + jj,

aire B,„, A",„,

■"2m -^2»+ 1 *^2«+l ~ O W 2/1-1 "^ ^XlH "^7*2/14-1 ) 1

d'où, pour l'aire totale,

r-in)']^

résultat qu'il est facile de traduire en langage ordinaire. Cette méthode offre l'inconvénient de ne pas donner une limite de l'erreur commise. Sous ce rapport et sous un autre que nous ferons connaître plus loin, la suivante lui paraît devoir être préférée.

II. Formule de Poncelet, — Quelle que soit la forme de la courbe qui limite l'aire, on peut toujours, par suite d'un mode convenable de décomposition de l'aire, ôlre ramené à considérer le cas où le sens de la courbure par rapport à Taxe des abscisses reste constamment le môme dans toute rétendue de l'arc. Supposons, en particulier, que l'arc A, A,„^, présente sa convexité à l'axe des abscisses; conservons les notations et le mode de division de la base de l'article précédent, en prenant, pour Gxer les idées,

Menons par les points A [fig, 176), d'indice pair, les tangentes à la

Fig. 176.

courbe, limitées aux ordonnées qui précèdent et suivent celle du point considéré ; menons les cordes des portions extrêmes de l'arc, et de deux en deux, à partir de A,, les droites qui joignent les autres points.