ÉVALUATION AI»PR0X1MATIVE DES AIRES PLANES

6), a les vitesses angulaires autour de 0, de OA et de OB, lorsque B trace

le périmètre de l'aire ; w' la vitesse angulaire de AB autour de A.

Le mouvement de AB résulte de la rotation w' et de la translation wr perpendiculaire à OA ; de sorte que la vitesse U du point B est la résultante des deux vitesses w' r', wr respectivement perpendiculaires à AB et à

OA ; or les composantes de U suivant R et sa perpendiculaire étant -r- ) aR, on a, en appelant a, a' les angles AOB, ABO,

, , . , . dR

w r sma' — ursma = —j-y at

oiVcosa' -h wr cosa = nR OU, en abaissant la perpendiculaire AI sur OB,

«' - w = ;, ^ , «'.BI - w.OI = HR; Al (U

d'où Ton tire

La vitesse Y du point G, estimée perpendiculairement à AB, égale à la vitesse de la roulette à sa circonférence, est la résultante de —atàf et de

la composante correspondante —wrcosOAB de la translation wr; la composante longitudinale de cette translation ne produit qu'un glissement de la roulette dont nous n'avons pas à nous occuper. Or, dans le triangle AOB, on a

cosOAB =

in'

rtw'

par suite

OU, en remplaçant w, w^ par leurs valeurs (i),

2 V = -, ô-^rl 1 C0ta'-4-ârC0ta).

Soient

Rj le rayon vecteur correspondant au point de départ de la pointe B, et 9^ l'angle qu'il forme avec Taxe fixe Ox\

384 QUATRIÈME PARTIE. — CBAI»lTttB VI.

A l*aire décrite par OB, lorsque le rayon vecteur et son inclinaison sont

devenus R et 0 ; (T le chemin parcouru par la circonférence de la roulette.

On a

et la relation (2] devient

,/A = ^d.-^'^±^^lp^S^ld\^ (^'-:^-^"cot.-H. ^r'cota),

d*où

— / l COta-Hû/- cota) -:^»

On déduit facilement du triangle AOB les valeurs de cota' et cota en fonctions de R ; mais, ces expressions renfermant en dénominateur des radicaux du second degré dans lesquels se trouve R au quatrième degré, rintégrale du second membre de Téquation ( 3 ) dépend des transcendantes elliptiques ; Tessentiel pour nous est de reconnaître que cette intégrale est de la forme /(R) — /(R,), de sorte que l'on a

(4) A = r'aH-^^±^^^îl^'{e-9.)-/(R)+/(R,).

S'il s'agit de Taire d'une courbe fermée, d et R redevenant 0^ et R,, on a

Supposons que l'on veuille faire en sorte qu'à un tour de la roulette corresponde l'unité de surface, soit le centimètre carré, pour fixer les

(*) On peut arriver immédiatement à Téquation (5) par les considérations suivantes :

Soient {fig. 179)

OABC, 0' A'B'C deux positions infiniment voisines de la partie mobile de l'instrument ;

K le milieu de AB;

I, L les points d'intersection des perpendiculaires élevées à AB aux points K et C avec la direction de A'B';

ÉVALUATION APPROXIMATIVE BBS AIRBS PLANES. 385

idées ; appelons p le rayon de la roulette , nous aurons

En se donnant le diamètre de la roulette, on déduira de cette relation la valeur de p. Chaque division de la jante divisée en loo parties correspondra à lo millimètres carrés.

Supposons maintenant que Ton veuille changer l'unité de surface en conservant la même unité de longueur pour p et r^, et soient m le rapport de la nouvelle unité à l'ancienne et /| ce que doit devenir r'; nous aurons ,

m = 2 Trp/, , d'où r', = w/.

Pour que Ton puisse modifier la longueur de r', on forme AB de deux parties, dont l'une mobile autour du point A sert de gaine à l'autre, dont on fixe à volonté la longueur de la partie extérieure au moyen d'une vis de pression.

Nous ferons remarquer, pour terminer, que Finstrument peut aussi mesurer l'aire d'un secteur curviligne B^OB ayant son sommet en 0. A cet

M l'intersectiou à IK avec la parallèle à B'C menée par le point C; dv. l'angle MCK.

Fig. 179»

On a

^A = aire AA'BB' = AB X IK = r'CCL -+- CK.<£a).

Or CL est Tare dv. dont la roulette a tourné ; on a donc

JA=rVr-^CK.r'J(r,

d'où

A = r'^-HCK.r'(a-ao).

Si la courbe est fermée, le second terme s'annule, et l'on retombe sur la formule (5).

386 QUATRIÈME PARTII. — CHAPITRE VI. — tVALUATlON, ETC.

^ffet) on fait parcourir Tare B«B à la pointe de traçage, puis sur OB le chemin BB., le point B^ se trouvant à la même distance de 0 que B. ; Taire décrite n'est en définitive que celle du secteur; mais, comme R est redevenu R^, la formule (4) se réduit à la suivante:

qui est d'une facile application.

TROISIÈMB SIGTION. — CHAPITRE 1. — GÉHÉRAL1TB6. 887