I -+- tanga lang/' h — tanga
d'où
tangi (i-f-- tanga) tang/'= ^^ yJ-
I — a tanga tang/ h — tanga
r 35 Dans le cas usuel où — = ^-> / = i2«, « == 6", on trouve r 02
/'=ia°i2', « = 42'.
§ IIL -— Échappement à cylindre.
175. Cet échappement, qui est le plus généralement adopté pour les montres, n'est au fond que l'échappement à repos des pendules dont il dérive, par suite des modifications suivantes :
I® La traverse de l'ancre est remplacée par les surfaces des repos prolongés en conséquence. Il résulte de là une portion de cylindre annulaire à laquelle on donne le nom A'écorce.
2' L'écorce est montée directement sur l'arbre du balancier dont l'axe coïncide avec celui des surfaces cylindriques, ce qui supprime la fourchette.
3» Les dents de la roue d'échappement sont déterminées de manière que chacune d'elles occupe seule et complète* ment, à un faible jeu près, Tintervalle cylindrique intérieur.
490 QUATRlfeMB PARTIE. — GHAPITRI YI.
L'écorce se compose d'un demi-cylindre augmenté de pan et d'autre d'une partie correspondant à lo degrés. Cet angle complémentaire détermine complètement la lèvre de sortie qui est droite ou légèrement convexe [fig* 208). La lèvre
Fiç. 208.
d'entrée ne résulte que du raccordement des surfaces interne et externe de l'écorce par une surface cylindrique plus ou moins convexe.
Nous n'insisterons pas sur le jeu de l'échappement, qui est pour ainsi dire identique, au point de vue descriptif, à celui de l'échappement à ancre des pendules, et que la^^. 209 fera
Fig. 209.
mieux comprendre que toute explication. La porlion du profil
des dents qui agit sur les lèvres est rectiligne ou légèrement
convexe.
• L'épaisseur de l'écorce étant assez faible pour qu'on puisse
DES fiCHÀPPBHBNTS. 49 ■
en faire abstraction, on calculera la vitesse angulaire de la roue au moment où le choc a lieu, par la formule (ii) du n» 171.
La vitesse angulaire du balancier, après le choc, se calculera de la même manière que pour Téchappement des pendules.
Dans le. cas d'un profil rectiligne pour les dents, on déterminera rinfluence de la force motrice en suivant une marche à peu près identique à celle du n*» 173. Si le profil est légèrement convexe, on peut le supposer circulaire sans grand in> convénient, mais alors la solution du problème se complique notablement.
Les horlogers auteurs ne sont pas bien d'accord sur les conditions que doit remplir le profil des dents. D'après Bodin, il devrait être tel :
i^ Ou qu'il fasse parcourir au cylindre des angles égaux pour des parties égales de son arc ( * ) ;
2** Ou qu'il éprouve toujours la même résistance de la part du spiral.
Moinet ne se prononce pas catégoriquement à ce sujet, ei nous avons autant de raisons que lui d'user de la même circonspection.
Nous ne nous occuperons pas des échappements à virgule, de Dupleix, à chevilles, etc., qui sont plus ou moins employés et dont les théories respectives rentrent dans les principes que nous avons exposés. '
§ IV. -- Échappements à détente.
176. De Véchappement à bascule. — Il existe plusieurs types d'échappement à bascule, pour la description desquels nous, renverrons aux Traités spéciaux d'horlogerie. Nous ne
(*) 11 est hors de doute que cet auteur a voulu dire que les angles décrits par la roue. et par l'ancre doivent être proportionnels. Alors le profil de la dent serait un arc d'épicycloïde intérieure, et il serait concave au lieu d'être convexe. Parmi tous les profils admissibles, ce serait donc la ligne droite qui satisferait le plus approximativement à la condition énoncée. M. Saunier, en partant d'autres considérations, arrive au même résultat.
49^ QUÂTRlftMK PARTIB. — CHAPITRE TI.
considérerons que le suivant. 11 se compose {Jlg.^io): I® d'une pièce appelée bascule; mobile autour d'un pivot, et bien équilibrée» afin d'éliminer les effets de la pesanteur sur sa masse, quelle que soit la position que Ton donne au chronomètre; 2<> d*une lame flexible et rectiligne encastrée dans cette pièce à une petite disunce de son pivot, et éublie
Fig. 310.
de manière à toucher l'extrémité de la même pièce en exerçant en ce point une faible pression ; cette lame se prolonge très-peu au delà de l'extrémité ci-dessus; 3*» d'une roue d'échappementy dont les dénis sont pointues et inclinées d'un petit angle sur le rayon parlant du centre précédent et aboutissant à leur extrémité ; 4"" d'un ressort spiral plat dont le
cenire se trouve sur Taxe du pivot, qui a pour effet de ramener contre un obstacle disposé à cet effet la bascule dans son état naturel ou de repos, lorsque, après l'avoir fait tourner, on vient à l'abandonner à elle-même ; 5° d'un repos en rubis implanté dans la bascule et taillé de manière à présenter un plan incliné qui fasse avec le rayon mené au centre de la roue le nnême angle que les dents de la roue avec les rayons semblables.
L'axe du balancier est muni de deux doigts rectilignes dont nous ferons connaître l'objet un peu plus loin.
Lorsque la roue d'échappement est immobile, une de ses dents vient s'appuyer contre le repos ; mais, quand le balancier tourne de la droite vers la gauche, un des doigts du balancier finit par rencontrer l'extrémité de la lame, la soulève en entraînant avec elle la bascule dans un mouvement de gauche à droite autour de son pivot; bientôt la dent considérée se dégage du repos, et pour que le doigt abandonne la lame élastique, on s'arrange de manière que, avant que la bascule ne soit revenue dans sa position naturelle sous l'action du spiral, l'une des dents de la roue d'échappement vienne choquer le second doigt du balancier pour s'en dégager presque immédiatement. Il résulte de ce choc une communication de force vive au balancier pour neutraliser, ou à très-peu près, les effets des résistances passives. Il faut que la bascule arrive à son état de repos en temps voulu pour arrêter au passage de la dent qui précède immédiatement celle qui vient de passer. Lorsque le balancier revient sur lui-même ou de la gauche vers la droite, le premier doigt abaisse légèrement la lame, et s'en dégage ensuite, sans modifier l'état de repos de la bascule. On voit ainsi que la roue d'échappement ne tourne que de l'intervalle d'une dent pour chaque oscillation complète du balancier.
L'échappement est libre, parce que la dent qui a frappé le second doigt s'en dégage immédiatement, et que l'action de la force motrice ne peut, dans un temps aussi court, modifier la loi du mouvement du balancier.
Si un chronomètre muni d'un pareil échappement s'est arrêté, il ne peut de lui-même se remettre en marche après le
494 QUATRIÈME PARTIE. — GBAPITRE YI.
remontage: il faut lui imprimer une secousse capable de dégager la dent du repos contre lequel elle s'appuie.
177. Du tirage. — Mais cette faculté, que possède Téchappement, peut devenir un inconvénient et engendrer des irrégularités dans la marche du chronomètre à la suite de secousses accidentelles que Ton ne peut pas toujours éviter : c'est pourquoi Ton a donné une inclinaison du repos sur le rayon de la roue pour produire du tirage, et c'est ce dont nous allons maintenant chercher à nous rendre compte.
Soient (Jig, 211)
0, 0' les pivots de la roue d'échappement et de la bascule;
r le repos ;
e l'inclinaison dont il s'agit;
^ le moment par rapport au point 0 de la force équivalente à la force motrice et aux frottements, tangente à la circonférence de la roue d'échappement ;
N la pression normale exercée sur le repos par la dent g;
/ le coefficient de frottement qui en résulte lorsque le dégagement de la dent se produit ou tend à se produire;
R le rayon rO.
Le moment des forces N et N/ par rapport à 0 devant être égal à |ui, on a
R(cos£— -/sins)
PBS ÉCHAPPEMENTS. 49^
Les composantes de ces mêmes forces suivant la direction de R et celle qui lui est perpendiculaire ont respectivement pour valeurs
N sms -f- N/co8s = g- ^ — ^>
•' Ri— /tang«
Ncose — N/sine = ^*
La distance d du'point 0' à la première de ces composantes ne variera pas d'une manière appréciable pendant toute la durée du dégagement de la dent; il n'en sera pas de même des distances des points d'application de N et N/ à la perpendiculaire abaissée du point 0' sur R, au-dessus de laquelle est situé ce point; cette distance, quoique toujours très-pelite, peut varier relativement d'une manière appréciable, suivant les relations des positions adoptées, et nous y substituerons sa valeur moyenne d\ Les forces N et N/ donneront donc lieu, par rapport au point 0', à un moment résistant ou qui s'opposera au seul déplacement possible dç la bascule, ayant pour expression
^^tangsH-/H-~ R i-/tangs
ou approximativement, en remarquant que f^^-j ^^^^ ^® petites fractions,
d' Si l'on fait abstraction du terme en --r qui est indépendant de
l'angle e, l'expression ci-dessus devient
g-ltangs-^/), et son rapport à ce qu'il serait si e était nul
Ce rapport ayant pour valeur 3,23 dans le cas usuel dee = i2",
49^ QUATRIÈMB PART». — CHAPITRE YI.
/=o,i, on voit Tinfluence que peut avoir une faible inclinaison de douze des dents» relativement à la stabilité de l'échappement.
178. Du tracé de V échappement et des relations entre ses éléments linéaires et angulaires, — Supposons {fig* 212) que l'on se donne la position des centres 0 et O'^ de la roue
d'échappement et du balancier, dont nous prendrons la distance pourunitéi et que la bascule soit au repos; on détermine l'extrémité k de la dent qui doit frapper le second doigt du balancier par l'intersection de deux droites 0/r, O^k partant des points 0 et 0* et faisant respectivement avec O'^O les angles donnés a et p. La naissance A de la même dent résultera de la rencontre de deux droites, l'une 0" h faisant avec C A* l'angle y, l'autre kh faisant avec 0 A* l'angle e. On reconnaît très-facilement que l'on a
■sin(a-t-p)
OA
hh =
smasin7
sin(a -h p — fi — 7) sm(a-+- {5 — fi — 7)8in(a-H (i)
Pour trouver le rayon 0 A de la circonférence intérieure de la roue, il suffit de résoudre le triangle OArA, dont on connaît
deux côtés 0/r et M et l'angle compris a; mais» comme cet angle est généralement petit, on peut prendre tout simplement
M« Martens suppose douze dents à la roue; il s'arrange de manière que les dents soient symétriquement situées par rapport à 0"0 lors du repos, et l'on a par suite a = 12°. Il prend en outre (3 = 3=: 25', e = 12°, y = 5*», et en vertu des formules ci-dessus on trouve
0^ = 0,7019, 0"/' = 0,3452, /A = 0,0880, OA=:o,6i56.
On choisit la troisième des dents qui suit la dent kh, de manière qu'elle s'appuie sur le repos; l'angle formé par 00" avec le rayon mené à la naissance de cette dent est égal à 60 degrés. Le repos se trouve à peu près à égale distance du pivot et de Texirémité libre de la bascule. L'étendue du repos correspond à un angle de 3 degrés, ayant son sommet au point 0'.
179. Du jeu de l'échappement en ayant égard à l'élasticité de la lame de levée. — L'encastrement de la lame étant trèsvoisin de l'axe de rotation de la bascule, on peut, sans erreur appréciable et en vue de simplifier les formules, supposer qu'il coïncide avec le point 0'; d'ailleurs, la fibre moyenne de la lame à l'état naturel peut être considérée comme se confondant avec la direction de O'O".
Soient (^g-. 21 3)
Fig. 2i3.
fr« le point d'appui de la bascule sur la lame à Tétat naturel;
(ybx la position de la tangente à l'encastrement lorsque la bascule tourne d'un petit angle ^0'0" = 9 dont nous ne conserverons que la première puissance, b étant la nouvelle position du point de la bascule primitivement en («, qui en est la projection sur 0^;
49^ QUATRlftHl PARTIE. — CHAPITRE YI.
c le point de contact du doigt de détente avec la lame, dont la position sur la lame varie très-peu avec Qy de sorte que Ton peut considérer la distance c& = X comme constante;
c„ /?, les projections de c sur 0' x et O'O'^;
/ la longueur 0' c = 0' c, = 0' d ;
py q les réactions, très-sensiblement perpendiculaires à (y x, du doigt de détente et de la bascule sur la lame;
c la longueur ce, ;
juL le moment d'élasticité de la lame;
y l'ordonnée par rapport à l'axe O'x d'un point quelconque de la lame dont l'abscisse est x.
On a» pour l'équation différentielle^ de la courbe bcy
On intégrera cette équation en exprimant que la courbe passe par les points c et b, et négligeant le carré de la petite fraction j\ puis on déterminera l'inclinaison de la tangente en q sur O'xy qui sera donnée par [a) tanga=r-
Pour la courbe 0'6, on a
Si l'on intègre cette équation, que l'on exprime que la courbe passe par le point 0', qu'elle est tangente en ce point à Wx, et enfin qu'elle passe par le point 6, on trouve les deux relations
(h) Il tanga = - ^p-q (i- y)]'
enfin des équations {a), (6), (c) on tire
4fic ificf 3 1\
DES ÊGHAPPEMBirrS. 499
3 X Mais, comme - j est encore une très-petite fraction, nous pourrons nous borner à prendre
Soient maintenant
r" le rayon 0"c» que nous pouvons considérer comme égal
à O^'c; z, Zt les ordonnées des points c, c, par rapporta O'O'^; ly V les moments d'inertie de la bascule et du balancier par
rapport à leurs axes respectifs; r le moment résistant par rapport au point 0' dû au tirage; ô" l'angle supposé très-petit que forme Ce avec CO'; k^'B" le moment dû à Faction du spiral réglant sur le balancier.
Le déplacement de Textrémité intérieure du ressort spiral plat placé en 0' étant très-petit, le moment du couple auquel il donne lieu est de la forme k6, quoique le spiral ne soit pas isochrone.
Si nous remarquons que l'on a c = z — Z|, et si nous posons
nous aurons
puis, pour les équations du mouvement de l'échappement et du balancier,
^ dF =^(«-2.)-^o-T,
mais nous avons
et par suite
V dPz h, , k' „,
5oO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE YI. — DES ÉCHAPPEMENTS.
On intégrera facilement ces deux équations en déterminant les constantes par les conditions que, pour/ = o, on a z = o,
z, = 0, et que^j -T^ ont des valeurs donnéestv,(v,;maisnous
ne croyons pas devoir nous arrêter à ce calcul, qui ne conduit pas à des résultats bien saillants.
