CHAPITRE II

TRANSFOttUATlON DU UOOVEHENT RECTIUGNB CONTINU EN BEGnUGNE CONTINU.

5. Poulie fixe. ~ Lorsque l'on ne veut iransformer que la direction du mouvement et non sa vitesse, on emploie la poulie fixe (Jig. i^), qui consiste en une roue mobile dans une chape autour d'un axe fixé, tantôt à la roue, taalôl à la chape qui est accrochée en un point fixe.

FiR. 14.

La jante de la roue est creusée en gorge pour recevoir une corde KabU qui embrasse un certain arc ab. Si l'extrémité A de la corde s'éloigne de a d'une certaine longueur dans la direction de Aa, B se rapproche de b de la même longueur, de sorte que la direction seule du mouvement est changée.

Si P et Q sont les efforts moteur et résistant, dirigés sui~ vanl aA, ÔB, il faut pour l'équilibre, en vertu soil du principe du travail virtuel appliqué à la corde, soit du théorème des momenls appliqué à l'axe, que l'on ait P = Q, en négligeant toutefois le frottement de la poulie sur son axe.

Cette égalité n'est d'ailleurs qu'une vérification d'uD théorème plus général relatif à l'équilibre d'un Ql en contact avec une courbe Qxe (deuxième Partie, n" 86).

IZ QOATUBliB PAITIB. — CIIPITRB It.

Lorsque les deux cordons Aa, B6 soni parallèles, la corde embrasse la moitié de la circonférence, et les mouvemenis des deux cordons sont parallèles et de sens contraires.

On peut transformer l'un dans l'autre deux mouvements rectilignes ayant la même vitesse, dont les directions AB, CD ne sont pas comprises dans le même plan de la manière suivante : on joindra deux points B et C-de ces directions, on disposera ensuite deux poulies dont les gorges seront respectivement tangentes à AB et BC, BC et CD; on fera enfin passer sur ces deux poulies une corde dont les deux cordons extrêmes seront dirigés suivant AB et CD, et U est clair que la transformation sera opérée.

6. Lorsque l'on veut modifier à la fois la direction et la vitesse du mouvement, on emploie la poulie mobile ou les moujles.

Dans la poulie mobile {Jlg. i5) une des extrémités A de la

FIg. iS.

corde est attachée à un crochets la poulie repose sur la corde

et à sa chape se trouve ordinairement suspendu un poids Q,

■ qu'il s'agit d'élever en exerçant suivant 6B un certain effort P.

TRANSFORMATION BU MOUYBHKNT EBCTIUGNS CONTINU^ BTG. l3

Pour qu'il y ait équilibre de la corde sur la poulie, il faut que la tension T de Aa soit égale à P; et enfin, en négligeant les résistances passives, il faut^ pour que la poulie soit en équilibre, que Q soit égal et opposé à la résultante de ces deux forces^ et, par suite, que la bissectrice de l'angle formé par les deux cordons, ou de celui 20c formé par les rayons Oa, 06, soit verticale. On a ainsi la relation

Q = aP sina.

Soit dY le déplacement élémentaire que subit Q lorsque Bh s'allonge de Sa; le principe du travail virtuel donne

d'où, en vertu de la relation précédente.

sàsina

mais SY ne peut s'exprimer en fonction de a et de sa variation que si le cordon Bfr est assujetti à certaines conditions,

(') On éprouYe généralement quelques difficultés à établir directement cette relation, et par suite à vérifier le principe du travail virtuel sur la poulie mobile. Ces difficultés ne sont qu'apparentes, comme nous allons le voir.

Soient (yf^. i6)

Fig. 16.

B un point déterminé de la corde, correspondant à la longueur S = Aa3B mesurée à partir du point fixe A. Nous supposerons la force P appliquée au point b;

Ax, kjr l'horizontale et la verticale du point A;

^'X les coordonnées de B par rapport à ces axes ;

^"=01 l'ordonnée verticale du centre G de la poulie ;

l4 QCâTRIÈHB partis. — CHAPITRE II.

par exemple, comme celle de passer par un point fixe ou sur une poulie fixe. Lorsque les cordons sont parallèles ou que a = 90, on a

ce qui est visible a priori.

7. Une moufle se compose de deux systèmes, formés chacun de pouces réunies dans une même chape : la chape de l'un des systèmes est fixe; à celle de Tautre est accroché un poids Q qu'il s*agit d'élever au moyen d'une corde dont le

J et c les milieux de la corde et de Tare a^; R le rayon de la poulie; « = Aa, M'r= B^.

On a

aOc = cOb = xA.a = a.

L'angle aigu formé par Ax et B^ est aussi égal à a. La figure donne

(i) jri={u — u')8in9e.

(2) a: = (k-t- «')cosa-+- aRsina.

(3) S = tt-fM'-4-2Ra.

( 4 ) Y -+- R cos X = u sin a

Pour un déplacement infiniment petit du cordon, on a les variations

d^r = ( <?« — Jk' ) sin a -t- ( M — u') cos a ^k, ix=: {iu-h$u')cosec — - (« -T- u') sina Ja-f- aRcosa Ja. Le déplacement de B, suivant 6B, a par suite pour expression

ia = ix cos a — ^ sin a — Su (cos* a — sin* a) -+-(?«' — 2 M sin a cos a Ja -h 2 R cos* a Ja ;

mais, S restant constant, l'équation (3) donne

iu' = — Su — 2 R (Ta.

Portant cette valeur dans l'expression de So-f on trouve

S(x = — 2 sin a (^o sin a -h ucosoc «Ta -H R sîna^a), = — 2 sin a. (^(u sin a — Rcosa), ou, en vertu de l'équation (4),

Jff =1 - 2 sin a JY, ce qui n'est autre chose que Téquation (2) du texte.

TiiKSFOBaiTion DO ■oornnfT RBcriiifii» coirrintr, etc. iS brin libre, suivant lequel s'exerce l'effort P, correspond à une des poulies de la chape supérieure, passe de Ik sur une poulie de la chape inférieure, puis sur une poulie de la chape supérieure et ainsi de suite, et vient finalement se fixer en un point de la chape supérieure.

Lorsque les poulies de chaque système sont montées sur le même axe {fig. 17), comme dans le palan, elles sont toutes de même diamètre, et les cordons intermédiaires sont tous parallèles.

rig. i;. Fig. iB.

Dans le cas contraire [fig. 18), le parallélisme n'existe plus; mais comme, en général, les chapes sont éloignées l'une de l'autre, par rapport à la différence de diamètre de deux poulies correspondantes de l'un et de l'autre système, on peut encore sans grande erreur supposer que les cordons sont parallèles.

l6 QUITRIÈMB PÀETIB. — GHAP. II. — TRANSFORMATION, ETC.

Soit n le nombre des poulies de chaque système ; si Ton remarque que la tension du premier cordon intermédiaire est égale à P, pour qu'il y ait équilibre sur la première poulie supérieure» on voit qu'il en est de même de la tension de tous les autres cordons» de sorte que le poids Q fait équilibre à 271 forces égales à P dirigées suivant les cordons qui soutiennent la chape inférieure; on a donc

et, par conséquent, en vertu du principe du travail virtuel, la hauteur dont s'élève le poids Q est la fraction — de l'accrois-

sèment correspondant de la longueur du cordon libre ^ ce qu'il est facile de voir à priori; car, si le cordon libre s'allonge d'une certaine longueur s, le restant de la corde, composé de 2/1 cordons, se raccourcit de la même longueur; chacun

des cordons se raccourcit donc de -9 qui représente la hau-

teur dont la chape inférieure s'est élevée.

TllHSPOIMATlON DU lOnrumiT GIKCnuiBB COUTIIID, E