AH
CCS f
et d'après la relation (4) les points H et H' coïncident.
Donc, pour trouver le centre de courbure de l'enveloppe^ on joindra les points 0 e^ C par une droite jusqu'à sa rencontre H avec la perpendiculaire en A à la normale en m, et l'intersection de cette normale avec la droite qui joint les points H et O' sera le centre de courbure cherché.
Ce théorème permet de construire l'enveloppe par une succession d'arcs de cercle osculateurs; à cet effet, à partir de A portons des divisions équidistantes> suffisamment rapprochées, I, 2, 3,. . . sur (S), et i', a', 3', . . . sur (S'); déterminons les centres de courbure Ci, Cs,..., correspondant aux divisions ci-dessus (S) et aux points mt, m^,... de am; la position du point m étant supposée connue, on construira C et l'on décrira l'arc de cercle osculateur mm\, limité à la normale Cl'; sur le prolongement de cette droite, et à partir de m'i, on portera une longueur m\ Di = i .Ci et le point Dt permettra, de même que C pour C, de trouver le centre de courbure C, de l'enveloppe correspondant à m',, d'où un second arc de cercle osculateur qu'on limitera comme mm\ et ainsi de suite; mais cette construction, quoique basée sur un principe éminemment rationnel, est assez compliquée, et dans la pratique celle de Poncelet est bien préférable.
La construction du centre de courbure donnée ci-dessus s'applique à tous les cas, que les courbes (S) et (S') opposent leurs convexités, comme le suppose la figure, ou que le contraire ait lieu; mais, si l'on veut faire une application numérique de la formule (4)» il faudra, dans ce dernier cas, considérer R comme négatif; et si le sens de la courbure de ma change, par rapport à celle de (S'), il faudra également remplacer p par — p dans la même formule, et le signe de p' donnera le sens de la courbure de l'enveloppe; enfin si le point m, au lieu de se trouver à l'extérieur de (S'), est à l'intérieur, il faudra changer le signe de p.
TRAIfSFOBHATION DU MOOTEIISNT CIRCULAIRE GONTIlfU, ETC. 25
Nous allons étudier quelques cas particuliers lorsque les courbes (S), (S') sont des circonférences.
(«). Enveloppe d'un point, — Nous considérerons d'abord le cas où les circonférences sont extérieures Tune à l'autre» et nous supposerons que le point générateur m se trouve sur la circonférence (S); nous construirons l'enveloppe comme nous l'avons indiqué plus haut. L'épicycloTde se composera d'arceaux successifs identiques, en nombre fini ou infini, selon
que le rapport ^ sera commensurable ou non. Chaque arceau
sera aplati ou allongé, selon que R sera plus petit ou plus grand que R', correspondra à une révolution complète de la circonférence (S), et son sommet à une demi-révolution. Deux arceaux consécutifs se rencontreront sur la circonférence (S') et y formeront un point de rebroussement où la tangente sera le rayon correspondant de celte circonférence. Soient (Jig. 28) L, H les secondes extrémités des diamètres
Fig. 28.
de la circonférence (S) partant des points A et m; menons les droites HL, HO'; cette dernière rencontrera la direction de Ato en un point C! qui, d'après le théorème de Savary, sera le centre de courbure au point m de l'épicycloïde. Si J est le point de rencontre avec 00' de la parallèle à ÂH menée par le
26 QUATRlfiMB PARTIE. — CHAPITRE III.
point G, on a, d'après la figure»
AJ xa AO^ AL "" HL "" O'L'
d'où
AJ=-4^ et 0'J = R'-AJ:- ^"
aK-f-K' - aR + R^^'^^^'
aRH-R' 2Rh-R'
Ainsi le point J reste à une distance constante du centre 0% et, pour l'obtenir, il suffit de projeter sur 00' le point d'intersection de la circonférence (S') avec une demi-circonférence décrite sur O'L comme diamètre.
Soient S le sommet de l'arceau considéré ; M, N les points de rencontre des circonférences de centre 0' et de rayons G' J, 0' A avec la droite O'S. Décrivons sur AJ comme diamètre une circonférence qui évidemment passera par le point C ; on a
arcC J = AJ X Ê^ = -^ ( îî - ^ V -5^ "°NA.
2R-»-R'\2 a / aR-i-R
arcMI = O'J X SÎO^ = -5!!^ = -^
d'où
arcC'J = arcMJ.
Il suit de là que le lieu des points G' ou la développée de l'épicycloïde est elle-même une épicycloïde résultant du roulement de la circonférence AJ sur la circonférence O'J, et dont les sommets et les points de rebroussement correspondent respectivement aux points de rebroussement et aux sommets de l'épicycloïde proposée.
Lorsque la circonférence mobile çst intérieure à la circonférence fixe, l'enveloppe est une épicycloïde intérieure ou hj-pocycloïde qui jouit des mêmes propriétés que la courbe que nous venons d'étudier.
L'enveloppe devient une cycloïde si R' est infini, c'est-à-dire si la circonférence (S') est remplacée par une ligne droite.
(fc). Enveloppe d'une épicycloïde. — Soient [fig> 29)
P le centre d'une circonférence tangente en A extérieurement à (S') et intérieurement à (S);
TRANSFORMATION DU MOUVEMBI^GIRGULAIRB CONTINU, BTG. 27
m Al, mk\ rbypocycloïde et répicycloîde décrites par un point m de cette circonférence roulant respectivement
sur (S) et (S');
Fîg. ag.
Ai, A', les positions correspondantes du point décrivant sur les deux circonférences.
U est clair que
arcAÂi = arcA/w = arcAA',,
et, comme la normale en m passe par le point À, on a ce théorème:
V enveloppe d'une épicyclotde est Vhypocyclolde décrite par «B point du même cercle générateur roulant dans V intérieur ie la circonférence mobile, et inversement,
(c). Enveloppe d'un rayon, — Soient (Jig* 3o)
OAi, dans une position quelconque, le rayon dont on veut
terminer l'enveloppe; A', le point de la circonférence (S') correspondant au point A,
de S; A le point de contact actuel des deux circonférences; '"le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur OAi, et qui
est le point de l'enveloppe correspondant à la disposition
de la figure.
Le point m se trouve sur la circonférence décrite sur OA
28 QUATBllniB PA^IE. — CHAPITRE III.
comme diamètre ayant son centre en P; mais on a
AP/w = aAOw, d'où AP/w.P/w = AO//1.2P/11 = AO/n.OA. Il suit de là que l'arc A m est égal à Tare A Ai et, par suite, à
Fig. 3o.
Tare AA'j : donc le lieu cherché est Vépicjrclolde engendrée par un point d'une circonférence décrite sur un rayon de la circonférence mobile.
On déduit de là et du théorème énoncé à l'article précédent que V hypocyclotde décrite par un point de la circonférence d'un diamètre moitié de celui de la circonférence mobile est un rayon de cette dernière; car le rayon OA,, enveloppe des positions del'épicycloïde A'j m, n'est autre chose que Thypocycloïde engendrée par le point m de la circonférence P roulant dans l'intérieur de (S). Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette propriété (').
Si le rayon OA est infini ou si la circonférence 0 devient une droite, la normale A m est tangente en A à ( S' ], 6t, comme
(*) C'est sur cette même propriété qu'est basé le mécanisme connu sous le nom è!engren£tge de Delahire, qui a pour objet de transformer un mouvement de rotation continu en mouvement rectiligne alternatif. Les deux circonférences correspondant à deux roues dentées engrènent Tune dans l'autre, dont Tune est fixe et l'autre mobile. L'axe de cette dernière est maintenue dans un coussinet engagé dans une manivelle tournant autour de Taxe de figure de la roue
TRANSFORMATION DU MOUYBMBNT CIRGULAIRB CONTINU^ ETC. 29
elle est égale à A A'^ y Tenveloppe est la développante de la circonférence 0'.
(rf). Enveloppe d'une circonférence. — Proposons-nous de déterminer Tenveloppe d'une circonférence ayant son centre Al (^g'.Si) sur le périmètre de (S), que nous suppose-
Fig. 3i.
rons extérieur à (S'), comme l'indique la figure; on verra sans peine que les raisonnements qui suivent et les conséquences qu'on en déduit s'appliquent sans aucune restriction au cas où Tinverse aurait lieu. On obtiendra deux points m de l'enveloppe par l'intersection de la droite AAi avec la circonférence enveloppe, et, par suite, on construira cette enveloppe, en augmentant ou diminuant du rayon de la circonférence génératrice la normale de l'épicycloYde décrite par son centre, et dont A', est un point de rebroussement«
L'enveloppe se composera ainsi de deux courbes, l'une intérieure, qui seule nous servira plus loin, et l'autre extérieure. Ces courbes, étant toutes deux parallèles à l'épicycloïde Ai A', , auront la même développée que cette dernière.
âxe, et au moyen de laquelle on produit le mouvement. Si une tige verticale "st articulée en un point de la circonférence de la roue mobile, elle obéira à QQ mouvement oscillatoire dont Tamplitude sera le diamètre de la circonférence fixe, et pourra être utilisée par exemple pour faire fonctionner des pompes.
3o QUATRlfiME PARTIE. — CHAPITRE III.
Ces deux courbes auront chacune un point de rebrousse^ ment K situé sur la circonférence (S'], et qui sera détermina par la condition que la nornnale K/i, abaissée de ce point sui répicycloïde, soit égale à A| m. En supposant que la circonfé< rence mobile 0 se trouve en contact avec l'un des points E de la circonférence fixe 0^ on voit que la corde de l'arc K/i de la première circonférence est égale à Ai/n, et que par suite l'arc K A', est égal à l'arc A, I de 0, dont la corde est égale ai rayon Ai m; de sorte que les deux points de rebroussemeni s'obtiendront en portant de part et d'autre de A% sur la circonférence 0', des arcs égaux à l'arc AJ.
(e). Enveloppe d'une développante de cercle. — Soit wB {fig. 32) la développante d'un cercle OIK concentrique
Fîg. 32.
avec (S), et dont on se propose de trouver l'enveloppe. L point de cette enveloppe est l'intersection m de la dévelop pée avec la tangente AI menée du point A à sa circonférenc génératrice; mais cette droite est aussi tangente à une circon férence de centre 0', et dont le rayon a pour valeur
OLO^A,
TEANSFORMATIOIV DU MOUYEMBlfT CIRGUL4IRB CONTINU, ETC. 3l
par suite, l'enveloppe cherchée n'est autre chose que la développée de cette même circonférence.
Il est facile de voir que Ton arriverait à un pareil résultat si, au lieu de se placer dans le cas de la Ggure, on supposait que les circonférences (S) et (S') fussent intérieures Tune à l'autre.
On sait d'ailleurs que, pour construire une développante de cercle, il suffit de tracer sur la circonférence des points équidistants o, i, a, 3,. . . , assez rapprochés pour que l'on puisse considérer les arcs interceptés comme rectilignes, puis des points I, 2, 3,... avec des rayons égaux à une fois, deux fois, trois fois,... l'équidistance, de décrire des arcs de cercle tangentiellement auxquels on tracera une courbe continue passant par le point o, et qui sera la courbe cherchée.
13. Généralités sur les engrenages. — Pour transformer un mouvement de rotation qui a lieu autour d'un axe en un autre autour d'un autre axe parallèle au premier, on s'arrange de manière que les deux corps (S) et (S'), qui tournent respectivement autour de ces axes, soient munis de saillies ou dents agissant de l'un de ces corps sur l'autre. Pour obtenir une stabilité convenable dans le mode d'action de (S) sur (S'), on donne à ces saillies une forme cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la direction des axes, et Ton réalise ainsi ce qu'on appelle un engrenage cylindriquey qui n'est autre chose qu'un couple de roues dentées.
Nous pourrons substituer, dans le raisonnement, aux corps (S) et (S') leurs sections faites par le plan de la figure, censé perpendiculaire aux axes, et considérées comme tournant autour des traces 0, 0' de ces axes.
On exige qu'un engrenage soit construit de telle manière que le rapport des vitesses angulaires &>, &>' autour des points 0, 0' reste constant, et, pour qu'il en soit ainsi, il est évident qu'il doit exister entre les profils de deux dents correspondantes une relation que nous déterminerons un peu plus loin. >
La roue menante est celle qui reçoit directement ou indirectement l'action de la force motrice, et qui engendre le mouve-
ment de la roue menée, laquelle correspond à la résistance utile à vaincre.
Du profil des dents. — Les /Ig. 33 et 34 sont respectivement relatives aux cas où les vitesses angulaires (ù, &)' sont de sens
contraire ou de même sens, en supposant, par exemple, que co ait lieu de la droite vers la gauche.
Le raisonnement suivant s'appliquera simultanément aux deux figures, dont les points correspondants sont représentés par les mêmes lettres.
Soient, à un instant quelconque, ma, ma' les profils des dents de (S), (S') en contact au point m; concevons que Ton imprime à ces deux figures invariables et autour de 0' une rotation égale et contraire à &)', de manière à ramener (S^) au repos; le centre instantané de (S) dans le mouvement résultant se trouvera en un point A de la direction de la ligne des centres déterminée par la relation
;^ = -, d'où OA.« = 0'A.«',
et comme — est constant par hypothèse, il en est de même
de OA et O'A; d'où il suit que le lieu géométrique du centre instantané de (S) sera la circonférence de centre 0 et de rayon OA = R sur le plan mobile de cette figure, et la circonférence de centre 0' et de rayon O'A = R' sur le plan fixe de
