CHAPITRE VI

§ L — Généralités,

169. U échappement y quel que soit le système auquel il appartient ('), est une pièce animée d'un mouvement circulaire oscillatoire qui lui a été communiqué par le balancier.

Les parties de Téchappement qui arrêtent les dents de la roue ou qui correspondent aux intermittences portent le nom de repos. Toutefois, dans certains échappements, la période du repos est remplacée, par suite d'une forme spéciale de la pièce, par un petit déplacement rétrograde de la roue, dans un but que nous ferons connaître plus loin, d'où la distinction entre un échappement à repos et un échappement à recul.

Le frottement, la résistance de l'air, etc., auraient bientôt anéanti le mouvement du régulateur, si ce mouvement n'était pas entretenu par la force motrice à l'aide de certaines dispositions. A cet effet, avant qu'un second repos ou recul commence, la dent qui vient de s'échapper va frapper, après que la roue a tourné d'un petit angle, une autre partie de l'échappement que Ton désigne sous le nom de lèvre ou éUncliné, et communique à cette pièce une petite impulsion dans le sens de son mouvement actuel, impulsion qui est transmise au régulateur.

( * ) Nous ne nous occuperons pas ici de réchappement dit à roue de reri'contre, qui par ses défauts est généralement proscrit, même dans les montres communes.

DES ËCHAPPSHENTS. 4^5

En principe, Taction du moteur sur le régulateur devrait se borner à cette Impulsion et cesser immédiatement» et, comme nous l'avons vu, l'isochronisme ne serait pas sensiblement modiGé par cette impulsion.

Mais, si la force motrice continue encore à agir sur le régulateur pendant un instant, quelque court qu'il soit, comme son action peut être comparable à celle de la force qui pro* duit Tisochronisme, et qu'elle suit une autre loi, il pourrait arriver que les durées des oscillations successives du régulateur fussent assez différentes les unes des autres pour altérer notablement la marche du chronomètre.

Les échappements qui se trouvent dans les conditions les plus rationnelles peuvent donc se diviser en deux catégories :

i^' Les échappements dans lesquels le dégagement entre une dent de la roue et la lèvre correspondante a lieu presque instantanément après l'impulsion communiquée à cette pièce. Dans ce cas, l'échappement peut être monté sur le même axe que le régulateur. Telles sont les différentes variétés de V échappement à détente, appliqué aux chronomètres de la marine et aux montres de prix, et qui rentrent dans la catégorie Aes échappements libres ou soustraits à l'action continue de la force motrice.

2^ Les échappements dans lesquels le contact a encore lieu entre une lèvre et une dent pendant l'impulsion» et qui sont montés sur un axe parallèle à celui du régulateur. L'impulsion est communiquée par l'échappement au régulateur, au moyen d'une disposition qui permet, presque instantanément, le dégagement de cette dernière pièce, devenue libre, pour toute l'étendue du contact de la lèvre et de la dent. Cette condition est remplie par Véchappement à ancre des montres, échappement qui, quoique libre, est moins sensible que le précédent, en raison de l'inertie, des pièces mises en mouvement et des frottements quelles développent.

Il y a en outre les échappements montés sur l'arbre du balancier, dont le mouvement se trouve influencé par la force motrice pendant to^te la durée du contact de la roue d'échappement et d'une lèvre : tel est Véchappement à cylindre, qui m. 3o

466 QUATRlkMB PARTIE. — CHAPITRE YI.

n*est libre sous aucun rapport; ce qui explique pourquoi, malgré la facilité avec laquelle on l'exécute» il n'est appliqué qu'aux montres ordinaires.

Les échappements à ancre de Graham pour les pendules et V échappement à chevilles des horloges sont soumis aux mêmes irrégularités que le précédent; mais ces irrégularités peuvent être notablement amoindries en donnant au balancier une masse convenable, ce que permet d'ailleurs le dispositif de l'appareil.

Chaque demi-oscillation, à partir du moment où le balancier est arrivé dans sa position moyenne, se décompose en deux parties. Dans' la première, la force motrice, par l'intermédiaire de la roue d'échappement et de l'échappement, agit sur le balancier, dont le déplacement angulaire est Varc de levée; dans la seconde, le balancier se meut librement sous l'influence du spiral ou du poids du pendule, et décrit, jusqu'au moment où la vitesse angulaire s'annule, Vangle ou arc complémentaire, c'est-à-dire la différence entre la demi-amplitude et Tare de levée. Le balancier revient ensuite sur ses pas en décrivant librement l'arc complémentaire ou la demi-oscillation selon les cas. Dans le premier cas, l'arc de levée suivant est parcouru sous l'action du rouage; la demi-oscillation suivante se reproduit de la même manière que la première, et ainsi de suite.

Avant d'étudier les propriétés des principaux types d'éctiappements, nous croyons devoir résoudre le problème suivant, dont la solution nous sera très-utile dans ce qui suit.

170. Lemme. — Déterminer le temps au bout duquel viennent se rencontrer, après avoir été en contact y deux corps tournant autour d'axes parallèles, lorsque le corps choquant part du repos.

Nous supposerons que les deux corpC sont de forme cylindrique, et que les génératrices de leurs surfaces sont parallèles à la direction des axés; le tout revient, par suite, à rai-^ sonner sur la figure résultant d'une section faite par un plan perpendiculaire aux axes.

DES fiCHAPPBMBNTS. 4^7

Soient [Jîg. 199)

(S), (S') les deux corps tournant autour des axes projetés en O et 0';

ac et ab les surfaces de ces corps à un instant tel que (S) est en repos et s'appuie en a contre (S'), sans qu'il y ait en ce point un plan tangent commun aux deux surfaces;

&)' la vitesse de (S') supposée constante, ayant lieu de la droite vers la gauche;

9 l'accélération angulaire de (S) également supposée constante, mais ayant lieu en sens inverse de w', c'esi-à-dire de la gauche vers la droite.

Fig. 199-

A l'instant qui suit celui que nous considérons, le corps (S'), en vertu de la rotation w', se sépare du corps (S), qui luimême prend un mouvement accéléré; mais, au bout d'un temps qui sera très-petit, si, comme nous le supposerons, 9 est très-grand par rapport à w', les deux corps se rencontreront en ayant, en leur point de contact, le même plan tangent.

Soient

a' b' la nouvelle position de «ft;

m le point de contact;

ai la nouvelle position du point de ac primitivement en a»

468 QUÀTRIÈHB PARTIE. — GHÀPITRB VI.

Posons

r'=0'fl, 0'/iî = r'H-^/^,

O'Ofl = a, 0'0/w r= a -h ^a,

00' a == a', dO^ïi = a'-+- ^a'.

Désignons respectivement par

les déplacements angulaires de (S), (S') au bout du temps qui s'est écoulé jusqu'au moment du choc.

Soient enfin

d la distance des centres 0, 0';

aT, aV les tangentes en a aux courbes ac et ab;

V, V les angles qu'elles font respectivement avec Oa, O'a.

Nous ne conserverons que les premières puissances des quantités affectées de la caractéristique d. On a évidemment

(i) r'cosa'-hrcosa = €/, r'sina'— rsina = o,

d'où

( cosa' Sr'-h cosa Sr — r' sina' ^a' — rsinxSx = o, (2) \

l sina'^r'— sina ^r -4- r'cosa'^a'— rcosa^a = o.

Nous rapporterons respectivement les deux courbes ab et ac aux centres 0, 0' et à l'axe polaire 00'. i

Si l'on conçoit que l'on ramène, par une rotation autour ' de O'y la courbe a'b' en ab, on voit que l'angle polaire de m,

dans sa nouvelle position, sera égal à x' diminué de l'angle 1

mO'a'=aO'a'^ mO'a = $n! — ^a'; |

on a, par suite,

(a) $r'=: ^V«'~ ^n') = r'(9oi'- 9n') cotV,

et de même

DBS ËGHàPPBMBNTS. 4^

Si Ton substitue ces valeurs dans les formules (2) et que Ton pose, pour abréger.

on trouve, en résolvant,

r'sinV rsinV

Sol Sol'

m sin V co^Y'Sn' -h cos*V sin (oL-hOL'-hY')Sn ~ sin(a-+.a'-*-VH-V')

wicosV'sin(aH- a'-hV) Sn'-^ sinVcosV^/i

/w sin ( a H- a' -I- Y H- V)

Soient maintenant {Jîg. 200)

A, A' les points où les directions des tangentes aT, aT

rencontrent le prolongement 0'^ de 00'; e l'angle formé par aT avec le prolongement de aT'; /, r les angles respectifs que font aT avec aO' et aT' avec Oa.

La figure donne

d'où par suite

xA^ = V4-a, 0'A'tf = V'-ha'-7r,

jr^=:a7r-V'-a',

e = 27r — ( V -H a -h V'-f- ol').

Pour que le point de contact m se trouve à droite du point at, comme le suppose la fig. 199, il faut évidemment que le point A soit situé entre A' et 0'; dans le ca$ contraire, il suffirait de changer le signe de e.

Si al est le prolongement de 0 a au delà de a, on voit que

a -H a' -h V = O'^J -h 0«P = O'flJ -h 27r — TflJ = 2 tt -h /,

d'où

{d) sin(«H- a'-i- V) = — sin/;

on trouverait de même

j^d') sin(a-i-a'-+-V') =-sin/'.

Les formules (3) deviennent, en ayant égard à ces valeurs et remplaçant m par son expression (6),

/ ^ r sii) t cos V . ^n — r' sin V cos V . ^n! \ rsins

( ~ r'sins

Ces deux déplacements étant exprimés en fonction de dn, d/i' ou du temps t qui est une inconnue de la question, il nous faut une nouvelle relation que nous obtiendrons en établissant la condition que les tangentes aux deux courbes coïncident au point m.

De la formule

(^) cotV = i~

on tire

pour la variation de V correspondant à celle (da — ô/i) de a, lorsque Ton va du point a de ac au point de cette courbe correspondant à sa position mai. Au moyen des valeurs (a) et (e),la formule précédente se met facilement sous la forme

(5) ^v=(cos^V~?i5p^g:)(^«-^/.).

DES ÉCaAPPKHBMTS* 4?'

On peut simplifier cette expression en remarquant que, si p

est le rayon de courbure de ac en a, rf ( V -+- a) est Tangle de

dr contingence, et rr Télément d'arc correspondant; de sorte

que l'on a

rfV d'où, en éliminant -r- au moyen de la formule (e).

(6) (ÎV=: fi-+-2C0s*V ^\($0L-^-$n)

et de même

(6') BY ^(^^1 cos^r- ^^,) {^r.' - 8n\

p' étant l'équivalent de p pour la courbe ab.

L'angle des deux tangentes en m n'est autre chose que ce que devient l'expression de e lorsqu'on augmente respectivement V, V, oc, a' de ôV, 5V', àa — on, àa— Sn\ En exprimant que cet angle est nul, on obtient la relation

j,^(^a-^«)[.(iH-COS'V)-^]

On voit ainsi que, pour que la collision ait lieu comme nous l'avons supposé, il faut que l'anglee soit très-petit, ce qui est visible a priori, et l'on peut alors, dans les valeurs (4), remplacer e par sinsavantd'en faire la substitution dans la formule (7). £n remplaçant dans le résultat ainsi obtenu Sn et dn' par leurs valeurs, on obtiendra une équation du second degré qui permettra de calculer le temps t. Mais nous ne résoudrons complètement le problème que dans le cas où l'angle O'aO est égal à 90 degrés, le seul qui puisse nous intéresser dans la suite. Soient y, / les angles aigus que forment les directions des tangentes ai, aV avec la perpendiculaire au rayon Oa, au

47 2 QDATRlftHS PARTIS* — CHAPITRE VI.

point a, menée dans le sens du mouvement de ce rayon. Nous

avons

par suite, en vertu de la formule (c),

Si nous désignons par t\ l'angle que forme Oa avec 00% qui est défini par la relation

tangîf3= -7?

et si nous substituons dans les équations (4) et (5) les valeurs, en fonction de y, déduites des relations précédentes, des angles qui y entrent, nous trouvons, en ne conservant que la première puissance de e,

/' ^ ^ cos7(sin7— 60087)^/? — tangîfjsin 7(0057— 6 sin 7)^/1'

na — on ^= )

, C0S7(sin7 — €0087)^/2' — cot>jsin 7(003 7-1- s sin 7)^/2

$oc'--Sn'=^

6 = (^«-^«)[2(i-4-sin'7)-^]

Si l'on élimine Sa et ôa' entre ces équations, puis que Ton fasse

dn=-^—^ dn'=(ù't, on obtiendra une équation du second

degré en t dont la plus petite des racines, dans le cas où elles seraient toutes deux positives, sera celle qui correspond au choc.

Cas particuliers.

I® La partie du corps choquant qui vient frapper l'autre corps est une pointe aiguë. — Celte hypothèse revient à supposer que la courbe ac se réduit au point qui termine le rayon Oa. Dans les formules {2) il faut supposer dr = o.

DIS ÉGHAPPEHBNTS. 4?^

S(x== dn, et en ayant égard à la valeur (n'), on trouve

j r'cos(V'H- a')^a' — r'cosV'cosa'^/i' — rsinasinV'^/î = 0, ^^^ I r'sm(V'-+-a')(ya'-r'cosV'sina'^«'— rcosasinV'^/î = o;

d'où, par l'élimination de 8a',

(9') r'cosV'J/î' = rcos(V'H-a'-i-a)^/i = — rcosi'$n

et enfin

ar' w'cosV

~ r cp cosi'

Si les deux rayons Où, C'a sont perpendiculaires entre eux, on a, en appelant/ l'inclinaison sur 0' fit de la tangente au point de contact,

et par suite, pour le rapport des vitesses normales au point de contact,

^ ' r w COS7

résultat qui est indépendant de la forme de la surface du corps (S').

Si dans l'hypothèse actuelle on divise les équations (9) l'une par l'autre, après avoir fait passer les termes en Sn dans

r' le second membre, on trouve, en remarquant que tanga= -j

^/2'(i-- tanga'") (lo') ^/= ^ '' ^

I ■+■ tanga'tangY' (tanga'— lang7')

2^ La partie du corps choqué qui vient en contact avec le corps choquant est une pointe aiguë. — Pour obtenir l'équivalent de l'équation (9'), il suffit de changer l'accentuation des lettres, ce qui donne

r cos V . ^/? = — r'cosiSn\

/•'w'cos/

r<f cosV

et enfin, dans le cas où l'angle O'aO est droit, on obtient éga-

lement pour le rapport de^ vitesses norinales au contact

(ïi -h — ■ =2-

w'rcos7

Revenons au cas généra], en supposant que les rayons de courbure soient assez grands pour que l'on puisse négliger

les rapports -» -, devant Tunité. Si Ton élimine ôa, $a' entre

les équations (8), que Ton néglige les termes en e dans les coefficients de dn=-^—f d/i'=û)'/, on obtient un résultat que

Ton peut mettre sous la forme

w'cosy tangjQ [(i-Hsin*7) cos7tang>j -f-(i-hcos'7)sm7]f

Si Ton remplace dans le second membre t par la valeur

awcos7 tang>î t = . »

résultant d'une première approximation, on trouve '

(ft smy w'cos7tangïî

?*(psin7 w'cos7 tangr)[(n- sin^7) C0S7 langîn- (i h-cos'7) siny]

Mais on pourra, en général, se contenter de la formule approximative

y^sin7 ^^ w'cos7 taug>î '

formule qui est celle que nous avons obtenue dans les cas particuliers étudiés plus haut.

§ IL — Échappement a ancre.

171. Cette dénomination est due à la forme, se rapprochant de celle d'une ancre marine, affectée par la pièce oscillante qui arrête et laisse échapper successivement les dents de la roue d'échappement. Il existe, pour les chronomètres fixes

DES ÉGHAPPBMBNT8. 4?^

et portatifs, plusieurs variétés d'échappements à ancre. Nous noua bornerons à en indiquer les principaux types.

172. Échappements des pendules. — i" Échappement à repos. — Soient (fig* 201)

Fig. 201.

0 Taxe de rotation de la roue d'échappement dont les dents sont pointues et qui est censée se mouvoir de la gauche vers la droite;

O' celui de l'ancre;

é, a' deux points de la circonférence décrite par les extrémités des dents, pris à égale distance et de part et d'autre du point de contact de Tune des tangentes menées du point 0' à celte circonférence.

Nous supposerons que l'arc a'fr est assez petit pour qu'on puisse le considérer comme se confondant avec la tangente ci-dessus.

Les circonférences de centre 0\ passant par les points h et a', rencontreront la circonférence 0 en deux autres points c et d'y équidistants du point de contact de la seconde tangente menée du point 0".

Faisons les angles bO' a au-dessus de O'b et cO'd' au-dessous de O'c égaux à l'angle de levée qui est au plus égal à 5 degrés.

Soient a eld les points des droites O'a et O'c déterminés par les circonférences de centre 0', passant par les points a' et d'. Les lèvres de l'échappement seront formées par les droites ab et cd. Deux arcs de cercle ef^ gh de centre 0, com-

47^ QUÀTRifcHB PAETIE. — CHAPITRE VI.

prenant entre eux le point 0' et limités respectivement aux deux circonférences ci-dessus, compléteront l'échappement dont ae et ch seront les repos extérieur et intérieur.

h^ fourchette qui établit entre l'échappement et le balancier la relation voulue est une tige légère fixée à Tarbre de l'ancre, parallèlement à la ligne des centres 00', et portant à son autre extrémité une pièce fendue dans laquelle s'engage, sans jeu ni frottement, la tige du balancier.

hà Jig. 101 représente la position qu'occupe l'ancre lorsque le balancier, arrivé dans sa position naturelle ou verticale, est sur le point de commencer sa demi-oscillation ascendante de droite; la dent dont la pointe est eu c, arrêtée en ce point, se dégage, puis vient frapper la lèvre en communiquant une impulsion à l'ancre, et par suite au balancier; elle exerce ensuite une pression sur celte lèvre, et se dégage en dH : tout le corps de rouages se meut alors librement sous l'action de la force motrice, mais pour un très-petit déplacement angulaire de la roue 0, limité par la rencontre de la dent a^ qui précède a' avec le repos ae sur lequel elle s'appuie pendant tout le temps que s'achève la demi-oscillation ascendante. Lorsque commence la demi-oscillation descendante suivante, le repos ae glisse sur la pointe ai, puis bientôt a et ai coïncident, et enfin la dent ai se dégage et vient frapper afr, etc.

Soient

r' le rayon bO' de la circonférence extérieure de l'ancre; X l'angle de levée supposé très-petit; e l'épaisseur de l'ancre;

/, /i les inclinaisons des lèvres d'entrée ab et de sortie cd sur les rayons O'a et O'c.

On voit facilement que

tang7 j = A î lang7 = a - •

Dans le cas usuel où

on trouve

DBS ÉCHAPPEMENTS. 4??

Nous allons nous proposer maintenant de déterminer l'influence que peut avoir Téchappement sur Tisochronisme du pendule, en examinant» comme si elle était seule, chacune des causes qui peut apporter une perturbation dans la loi du mouvement du pendule.

En premier lieu, occupons-nous du choc qui termine la période de la chute. La vitesse angulaire du pendule ou de l'ancre peut être considérée, à peu de chose près, comme étstnt la même au moment où le choc a lieu et lorsque la levée commence, puisqu'à ce dernier instant elle atteint son maximum et que, pendant la chute, l'angle décrit par l'échappement est très-petit.

Reportons-nous à la formule (lo) dun® 170, dont nous conserverons les notations à quelques variantes près.

Soient eoo == 9/, &)', les vitesses angulaires de la roue et de l'ancre au moment où le choc commence; rie rayon de la circonférence formée par l'extrémité des dents. Nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le point de la ièvre où le choc a lieu se trouve à la même distance du point 0' que son extrémité intérieure ou extérieure, selon qu'il s'agit de la lèvre de sortie ou d'entrée. Considérons le premier cas, le second pouvant s'en déduire en changeant r' en r' -f- e et attribuant une autre valeur à /. £n vertu de la formule précitée,

(.) ^^ = ^cotv'.

Les déplacements que nous avons supposés très-petits pendant la chute sont respectivement pour l'ancre et la roue

d'où

(2) iz=^«'^^'-

Désignons par a' l'angle 00' 0 et par da' Tangle que forme

478 QUATRIËHB PÂftTlB. — CHAPITRE VI.

Oc avec le rayon qui joint O au point de la lèvre où le choc a lieu, angle que Ton déterminera au moyen de la formule (10') du n"* 171, après y avoir remplacé dn' par la valeur trouvée plus haut.

Soient maintenant

0), û)', après le choc, les vitesses angulaires de la roue d'échappement et de l'ancre;

r le moment d'inertie par rapport à 0' du système formé par l'échappement et le régulateur;

I le moment d'inertie, par rapport à l'axe 0, que l'on doit attribuer à la roue d'échappement pour qu'il soit permis de faire abstraction du corps de rouages;

/?=: rsin /,/>'= K cosy' les distances des points 0 et 0' de la normale à la lèvre;

q = r cosy', 5' = /siny' celles des mêmes points à la direction de la lèvre;

/ le coefficient du frottement développé pendant le choc entre la lèvre et la dent de la roue d'échappement,

La seconde des formules (4) du n*» 151 (première Partie, t. II) s'applique ici et donne, après la substitution de la valeur de wa déduite de l'équation (i) et de celles dep, Qt p', q\

IH- jy-^5 .

i-h/tangv'-^ Y pj (tang7'-+-/)tang7' J

Comme le rapport j a une valeur très-notable, à plus forte

raison lorsqu'il est multiplié par -7-^ on voit que le rapport —r

ne diffère de l'uniié que d'une petite fraclion, comme nous l'avons supposé au n° 162.

Nous allons maintenant chercher à nous rendre compte de l'influence que peut avoir, sur l'isochronisme.la pression continue exercée sur les lèvres, de l'échappement par les dents de la roue.

Pour simplifier, nous négligerons le frottement, et cela avec d'autant plus de raison qu'il n'est que de 7V environ de la

DES ÉGHAPPBMElfTS. 479

pression normale, et que, d'après le tracé adopté en général» son bras de levier par rapport à 0' est inférieur à celui de cette presion.

Soient (fig^ 202)

Fig. 2oa.

0', 0 les axes de Tancre et de la roue ;

a la naissance intérieure de la lèvre de sortie;

m le point de contact, à un instant quelconque, de cette lèvre

et d'une dent; n le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur 00'; d la distance 00' ; e, ^J;' les angles O'Om et 00' a ; p' le rayon vecteur O'm ; Q' l'angle polaire mO'a; mN la portion dé la normale à la lèvre, comprise dans l'angle

O'mO;

Nous rappellerons que l'angle O'am est égal à tt — y', et nous désignerons par do» ^'0 l^s valeurs de Q et de ^' qui se rapportent à la position verticale du pendule. La force motrice, qui varie relativement avec une grande lenteur, peut être considérée comme constante dans une période assez longue. Il en est de même, par suite, du moment de la force tangente à la roue qui lui ferait équilibre ainsi qu'au frottement dans la transmission. Nous désignerons ce moment par /x.

4^0 QUATRlftHB PABTIB. — GHAPltRE VI.

Le moment du poids du pendule par rapport au point 0', en négligeant l'angle de chute, peut être représenté par f' (+' "- +'a )* f*' étant une constante.

Le principe des forces vives donne la relation

On a

O'mO = TT — G — mO'O = tt — G — >[/' h- 0', 0/wN = O'/nO - O'wN = - — G — ^^V V.

Si Ton exprime que les composantes des vitesses normales en m sont égales pour la foue et Tancre, on a

(a) wV 008(7'— G') = wrcO9(0-+->|'' — 7')

et de même

(2') w;r'cOS7'= «a''C08(G„-Hy,— 7').

L'équation (i) devient ainsi, par Télimination dect), &)«,

a>'Yr , i^^ cos^(/-Q') 1 2 L r' cos»(ô -+->!*'- 7')J

A réquation de la lèvre

^^^ ^ 6in{7'— G')'

nous joindrons les relations

• (p'8in(f-0') = rsinG,

^ ' I p'cos(>|/'— G')-+-rcosG = rf,

pour déterminer les valeurs de 0 et de 0' en fonction de ip' et

D£S fiCHAPPBMBMTS. 4^1

substituer ensuite ces valeurs dans l'équation (i). Ce calcul quiy dans toute sa généralité» présente des difficultés insurmontables, se simplifie considérablement si Ton remarque que les angles vj;'— ij^', = â^p, 6 — 6,=ifl et 6' sont toujours assez petits pour que Ton puisse sans grande erreur en négliger les puissances supérieures à la première. L'équation (4) se réduit alors à la suivante :

(4') p' = /'(i-^e'cot7');

les équations (5], en se rappelant que (};', + d«= -9 donnent

ô' = ^f, oÔ=-cot7'^V.

Comme le rapport ,-7— est toujours une petite fraction, on

peut négliger 6' et d^ dans le coefficient du terme en &>'' <le réquation (3). Cette équation devient ainsi

(r^ 1 5 cot^y) ^^^ = - ^ ^f " -^^ f^ 7 ^WH'i

d'où, en différentiant par rapport au temps. Si nous posons

nous aurons

Comme nous analysons séparément, ainsi que nous l'avons dit plus haut, les effets des causes perturbatrices, nous ferons abstraction de la chute, et en plaçant l'origine du temps à l'instant où le pendule se trouve dans sa position moyenne, nous aurons

"^ o» -^ = «0 pour r = o;