DES VOLANTS
66. Généralités. — Lorsque, dans la composition d'une machine, il entre des pièces oscillantes, ces pièces ne correspondent généralement qu'à un ensemble d'organes à rotation continue dont les vitesses angulaires restent dans un rapport constant. Si, par exception, il y a d'autres organes gyratoires, leur force vive est toujours assez faible par rapport à la force vive de l'ensemble ci-dessus pour qu'on puisse en faire abstraction; de sorte que l'on peut considérer une machine à pièces oscillantes comme ne renfermant qu'un seul système d'organes à rotation continue.
On s'arrange toujours de manière à réduire autant que possible la masse et la vitesse des pièces oscillantes, de sorte que leur force vive reste toujours une petite fraction de celle des pièces tournantes.
Pour restreindre dans certaines limites les variations des vitesses angulaires des organes gyratoires, on établit sur l'un des arbres une roue appelée volant {fig. io5 et io6).
Afin de ne pas donner à un volant, pour un moment d'inertie déterminé, un poids trop considérable, on dispose les éléments de sa masse à la plus grande distance possible de l'axe de rotation, et c'est ainsi que l'on est conduit à donner à la pièce la forme d'une couronne circulaire reliée à l'arbre par des bras dont l'axe de figure est généralement rectiligne.
On monte généralement le volant sur l'arbre animé du mouvement le plus rapide, afin que, pour une valeur donnée de sa force vive, son moment d'inertie et par suite sa masse soient portés à leur plus faible valeur.
Dans son Cours de Mécanique appliquée aux machines,
VBB TOLAHTB.
Poncelel fait remarquer que les résislances ont pour effet, en général, de diminuer les plus grands écarts de la vitesse ou la valeur qu'il serait nécessaire de donner au moment d'inertie
du volant si elles n'existaient pas, et par conséquent, en les négligeant, on doit être certain d'obtenir pour le volant des dimensions plus que suffisantes.
l66 QUATRIÈME PARTIR. — CHAPITRE II.
Soient
ci),9 (ùi les vitesses angulaires minimum et maicimum de l'arbre du volant;
Q :rz: -^ la vitesse angulaire moyenne de cet arbre {vitesse
de régime), qui est une donnée de la question ;
- une fraction également donnée, et qui sera d'autant plus
petite que l'on voudra obtenir une plus grande régularité dans le mouvement (').
La condition que l'on se propose de remplir est que Técarl maximum de la vitesse angulaire soit au plus égal à la fraction - de la vitesse angulaire moyenne ou que
d'oùy en prenant le signe inférieur,
Soient
0 l'angle décrit par un rayon de l'arbre à partir d'une position déterminée de ce rayon ;
w = -7T la vitesse angulaire correspondante;
0), la valeur de cette vitesse pour 0 = o ; S le travail des forces extérieures motrices et résistantes développé à partir de 6 = o ;
1 le moment d'inertie du volant, qu'il faut déterminer de manière à satisfaire aux conditions (i).
La force vive des pièces tournantes est de la forme a(ù\ a étant une quantité connue, et, en posant
( ' ) Les limites entre lesquelles n est généralement compris dans la pratique sont 3o et 8o.
DBS VOLANTS. 167
la force vive des pièces tournantes et du volant est
On peut maintenant considérer A comme Tinconnue de la question, puisque sa détermination entraîne celle de L
La force vive des pièces oscillantes sera de la forme B(p(e)û)% B étant l'équivalent d'un momenu d'inertie» qui est une quantité connue, et 9(6) une fonction également connue, ne renfermant que des constantes sans dimension.
Nous supposerons que la force motrice et les résistances utiles, par suite ^, sont des fonctions continues ou discontinues de d.
On a, d'après le principe des forces vives, en faisant abstraction des résistances passives, comme nous en sommes convenus,
(2) ^'[A-|.By(0)]-^[A + By(o)]=6.
Le mouvement de la machine devant être périodique, il faut qu'au bout d'un nombre déterminé 1 de tours 6 ait la même valeur pour 6 = ini et 6 =^0, ce qui détermine une certaine relation entre les forces qui agissent sur la machine.
67. Première approximation du calcul d'un volant. — Lorsqu'une pièce oscillante, telle qu'un balancier de machine à vapeur, a une masse considérable, on s'arrange de manière que la vitesse maximum de chacun de ses éléments matériels soit relativement faible; de sorte que, dans tous les cas, le maximum de 69(6) est toujours une très-petite fraction du moment d'inertie A qu'il s'agit de calculer. On peut donc, dans une première approximation, négliger les termes en B dans l'équation (2), qui devient
Soient ^2» ^1 la plus grande et la plus petite valeur de @ dans la période de i révolutions; 0a, 0i les valeurs correspon-
l68 QUÂTRltm PAETIB. — CHÂPITIB II.
dantes de 0; nous aurons
d'où, par soustraction,
ety en vertu des relations (i),
En substituant cette valeur dans Tune ou l'autre des équations (3), la première par exemple, en ayant égard à la valeur (i) de 6)3, on déterminera la vitesse angulaire &)•.
Si 6 est une fonction continue de 6, les angles 6% et Bt seront donnés par l'équation
dB
Supposons que de9 = oà9=:a, 6 soit une fonction continue/(ô), et de ô=a à 6 = iin une autre fonction /(0). Traçons deux courbes Oa, cp, ayant 6 pour abscisse, et respectivement/(ô),/,(0) pour ordonnées, et soit m leur point
Fig. 107.
d*intersection qui correspond à Tabsçisse a. Dans le cas de la /Ig' 107, le point maximum n de Oa se trouve en deçà, et le
DBS TOLAHTS. 169
point minimum p de cp au delà de m; les valeurs de di et 0, seront, par suite, respectivement données par les équations
Dans le cas de la^îg*. loS, où n et p sont au delà de m, S| sera
Fig. io8.
évidemment l'ordonnée de m, c'est-à-dire que l'on aura ôa = a, et Qt sera donné par l'équation f^{9) = o.
Si le cas de la^g^. 109 se présente, on aura 6, = a et /|(9) =z o pour déterminer dt, etc.
Fig. 109.
Ainsi donc, lorsque 6 sera une fonction discontinue de 6, il faudra se livrer à une discussion appuyée sur des tracés de courbes pour déterminer les valeurs qu'il faut attribuer à 62 et 01.
Remarque, — Supposons, comme on le fait d'habitude dans cette première approximation, que l'on donne au volant le moment d'inertie A, supérieur à celui I, qui est nécessaire pour
assurer le degré de régularité proposé; l'écart relatif -^-tt — •*
170 QUATRIÈME PÂlTIB. — CHAPlTftB II.
sera réduit à moins de -9 et Ton se trouvera dans des condi-
tions très-favorables. Pour le même motif, nous ferons encore abstraction des bras du volant, de sorte que, si P est le poids de Tanneau, p son rayon moyen, et si Ton remarque que l'épaisseur de l'anneau dans le sens du rayon est toujours une petite fraction de p, on a a très-peu près
En désignant par Y la vitesse Op du volant à sa circonférence moyenne, la formule (4) devient
(5) VT = ng[^,^^,Y
68. Deuxième approximation. — Proposons-nous maintenant de calculer le moment d'inertie du volant en tenani compte delà première puissance de B. Supposons que Ton ait obtenu une première valeur approchée de A au moyen de la formule (4); soient A(i 4- x)y cwj -4- dwj les valeurs corrigées
de A et wj ; posons y = -^ et négligeons les termes du second
ordre en x, y et dcû^. Au lieu de l'équation (2), nous aurons la suivante :
A[i-f-jr-h7(p(Q)]&)^-^A[i-f-^-f-7(p(o)](&); -!-^ft);) -.
d'où
(6) "'^";""^"V=|[i-^--yyW]-^7[y(Q)-?(o)].
Nous ne considérerons que le cas qui se présente le plus généralement où ^3 est le maximum d'une fonction de d, et ^1 le minimum de la même fonction ou d'une fonction différente,
de sorte que nous aurons ^ = o pour 0 = 02, w = 0i.
La valeur de Q qui rendra minimum tù sera donnée par l'équation
BBS TOLâNTS. 171
el sera de la forme 0 = 0, -i- d6i, 36, étant de Tordre de y et a?; mais on a
l'équation ci-dessus devient par suite
et permettra de déterminer S6i; mais il nous est complètement inutile de connaître cette valeur, car le minimum du second membre de l'équation (6) sera le même que pour 9 = 9i, puisque ^ conserve la même valeur, aux termes du second ordre près. On a donc
mais la seconde des équations (3) peut se mettre sous la forme
d'où, par soustraction,
SK
on a de même
d'où, en égalant ces deux valeurs de — -9
puis, en substituant à A sa valeur (4),
(7] *--7J ^irg; + ^.[?(9,)-T{e,)]|.
17^ QUÂTRitHB PAITII. — CHAPITRE U.
Des équations (3) on tire
d'où, en remplaçant &>}, a>i par leurs valeurs (i}> négligeant le carré de -9 qui est toujours une petite fraction, et ayant égard à la valeur (4) de A,
réquation (7) donne par suite
Dans les cas où le système oscillant est une simple bielle ou l'ensemble du balancier, parallélogramme, etc., de Watt, (p(d), en négligeant l'obliquité de la bielle, est de la forme sin'^, et Ton a alors
H i[5, (/2 -i) - s, (/n-i)] (sin»9, -sin^ô.) !.
69. Application aux manivelles dans l* hypothèse d'une puissance et d'une résistance constantes. — Nous négligerons l'obliquité de la bielle, qui sera ainsi censée se mouvoir pa-
Fig. iio.
rallèlement à une droite déterminée Ox {fig. 110) passant par 1 e centre de rotation 0 de la manivelle *
BBS YOLâNTS. 173
Soient
R le rayon OA de la manivelle; .
Q la résistance constante, supposée tangente à la circonférence de rayon OA ; S Teffort moteur, parallèle à Ox, agissant en A; A«, A\ les points morts extérieur et intérieur;
e rangle AOA».
I" Manivelle simple à simple effet. — Pendant la durée d'une révolution, la force S n'agit que de Ao en A'«, de sorte que, pour exprimer que le mouvement est périodique ou que le travail total est nul dans la période considérée, on a
SxaR = Qxa7rR, d'où S = 7rQ.
On a évidemment
G = SR(i--cos0) — QRÔ = QR[7r(i — cosô) —0].
Le maximum et le minimum de @ correspondent aux valeurs de 6 données par l'équation
dB d'où
-jT^ = QR(n sinô — i) = o,
sinG = -)
TT
On déduit de la formule (9) ^ = — y; de sorte que l'on peut s'en tenir à la première approximation, puisqu'elle donne pour A une valeur un peu trop forte, ce qui est avantageux à la régularité en mouvement.
L'équation (5) donne maintenant, en vertu des valeurs ci* dessus,
(10) PV'= i7,a8o2 X aTrRQ/z.
On appelle cheval-vapeur un travail de 7S kilogrammètres exécuté dans une seconde. Si N est le nombre de tours de
174 QUÀTRlkMB PâBTIB. — CHAPITIB II.
l'arbre par minute, le travail effectué par seconde est, en kilo-
grammètres,
et en chevaux
27rRQN
En remplaçant, dans l'équation (10), QR par sa valeur tirée de cette relation, on arrive finalement à la formule pratique
(il) PV»= 24300 —?.
2® Manivelle simple à double effet, — Lorsque A est arrivé en Aj, S en conservant son intensité change de sens, de manière à rester une force motrice, de sorte que son travail est double de ce qu'il était précédemment pour une révolution entière. On a donc
S.4R = Q.27rR, d^où S = -Q;
par suite,
S = QRr^(i-cos9)-ô1.
De l'équation -7^ = o on tire
de
sinô = -î
d'où
L'équation (9) donne, comme dans le cas précédent, ^=: — y, de sorte qu'il suffit encore de s'en tenir à la première approximation.
£n opérant comme plus haut, on trouve
(12) PV'=4645^.
Le moment d'inertie du volant, toutes choses égales d'ailleurs, est ainsi inférieur au \ de ce qu'il doit être dans le cas du simple effet.
BES TOLàNTS. 175
3° Manivelle double à angle droit et à double effet* — Sup* posons que l'angle 9 se rapporte à la manivelle OA; pour avoir les termes correspondants relatifs à la manivelle OB, il faudra changer 6 en 9 -h go*», et l'on a ainsi
©=r S(i— cos0)R-+-S(n-sin0) — QR0.
Le travail des deux forces S pour une révolution étant P X 8R, on a, pour la condition de périodicité,
8RS = a7rRQ, d'où S = 7r5,
par suite,
OR
g= ^ f(2--cos0H-sinÔ)7r--4©], •
L'équation
-^ ~ o ou smô -f- COS0 = -
donne
En se reportant au n"» 67, il est facile de voir que dans le
cas actuel
(p(ô) = sin*0 H- cos'0 = I,
et l'équation (8) donne encore, comme plus haut, ^ == — y, de sorte que l'on n'a pas non plus à se préoccuper de la deuxième approximation, et l'on a
PV'-468^.
On pourrait multiplier ces exemples et reprendre notamment les précédents, en supposant que l'on établisse sur le prolongement de chaque manivelle de l'autre côté de l'axe de rotation un contre-poids maintenu à une distance constante de cet axe.
70. Calcul du volant d'une manivelle à double effet dans un cas particulier oà la force motrice est variable. — Supposons que la force motrice S soit constante à partir de 9 = 0 jusqu'à une valeur déterminée a de l'angle 6; que de9 = aà6=7r
176 QOATRiftHB PARTH. — CHAPITRB II.
la force motrice suive la loi exprimée par S et que la
■^ *^ 1 — cosa ^
même chose se reproduise dans Toscillation inverse : nous
nous trouverons dans les conditions d'une machine à vapeur
à détente, en admettant que la détente ait lieu suivant la loi
de Mariotte et que Ton néglige la contre-pression, ce qui ne
peut être qu'avantageux au point de vue de la régularité du
mouvement (65).
Nous aurons
6 = SR (i - cosô) — QR9, pour e < a, et, en accentuant @ pour éviter toute confusion,
G'=SR(i-C0Sa)H-SR(i~C08a) Ç Jlîi^ — QR0 = SR(i-cosa)-+-SRlogi^=-^^-QR0, pour e^"".
Pour que le mouvement soit périodique il faut que S' = 0 pour 6 = TT, ce qui donne
jj — ^ .
(l — COSa)( I 4-log )
^ ' \ ° I — COSa /
On a, par suite,
S T — cosQ B
27rQR "" - \ / 1 2 \ 27r
^ 2(1 — COSa) ( I -H log )
^ ' \ ^ I — COSa/
(i — COSa) I H-log )
^ 'V ^ I— COSa/
(la')
27rQR
(i— COSa) ( I -hlog )
^ \ i—COSa/
Le minimum 6 correspondra à la valeur <p de 9 donnée par
(i3) sincp= —, — r(n-log — - — j)
^ '. ^ 7r(i— COSa)\ ®1— COSa/
et son maximum à $ = tt — 9.
BBS VOLANTS. I57
On peut maintenant écrire
, ,, S I — cosO Ô
fl4) -^~ri= •
^ ' aTrQ 27r sin^ air
En désignant, par des indices, les valeurs de ^ correspondant aux valeurs <p el $ de 6, on a
I ^ I — COS<p <p
rr C» = : )
aTry " 27rsm9 27r
nrcQ 27rsinf 2 27r
La seconde des équations (i) peut se mettre sous la forme
/ «X I -, I — COS<p/ , I — COSÔ\ 0
(16) H^ = = — ^(i-+-log )
^ ' 27rQ 27rsin<j» \ "i — COSa/ 27r
La fonction @' n'est susceptible que d'un maximum correspondant à la valeur ^ de 0 donnée par
(17) tang— =— -: ,
^ ' ° 2 sin<p
et, en désignant par @^ ce maximum, on a
(18) — 7^S*'= ■• ( i+alog I
2TrQ * 27rsin<p \ ° . a I 27r
En faisant croître a de 10 en 10 degrés à partir de « = lo"" jusqu'à 180 degrés, et dressant un tableau, nous avons reconnu que Ton a constamment S, = S^, et 6a=5J^, entre a =rr 10® et a = i4o'*> et ^2 = ©i» entre a = i4o** et a = 180° (^ ).
En appelant A V admission et posant PV' = fx -r^y
(') Voir, pour plus de détails, mon Mémoire sur les volants des machines à vapeur à détente et à condensation, inséré au tome P** des Annales des Mines,
