MESURE DU TRAVAIL DÉVELOPPÉ PAR LBS MOTEURS, ETC
membre de la formule (i) soit plus petite que zéro, ou enfin que Ton ait
— Qasina — Q<Tf'sina'<o ou Q*A-hQ'A'>o.
Un frein est d'autant plus facile à manier et donne des indications d'autant plus précises que la pression normale exercée parles mâchoires sur la poulie est plus faible ou que le rayon de la poulie est plus grand. Soient
N la valeur de la pression normale paramètre carré exercée
par les mâchoires; e, D la largeur et le rayon de la poulie; / le coefficient du frottement développé.
Il est facile de voir que Ton a
45oo
Si Ni est la limite supérieure des valeurs que Ton peut attribuer à N„ S, la puissance maximum pour laquelle on se propose d'utiliser le frein et 112 la vitesse minimum de n, il faut que l'on ait
>^'DV/N,;> d'où DV<^=^.
' i" 4500 tt'/ N, n.^
On peut appliquer la formule
lorsque ^ ne dépasse pas 100 chevaux» ce qui correspond à
N = 33ii,
en prenant/— o, 65 (fonte sur chêne mouillé). Cette formule permettra de calculer D et e dans les limites assignées d'avance à leurs valeurs. La tension t des boulons est donnée par
expression qu'il est facile d'exprimer en fonction de © par rélimination de N.
137. Dxnamomètre de traction, — Cet appareil a pour objet de mesurer le travail produit dans un temps déterminé
334 QtllTBlfall PiRTIl. — CHAPITIIB VI.
par le moteur d'un véhicule. II se compose de deux lames d'acier parallèles (/g- 170), réunies à leurs exlrémîlés par des chapes en fer articulées au moyen de boulons. Au milieu de l'une des lames se trouve fixé l'anneau d'altache, tandis que l'effort de traction qu'il s'agit de mesurer est appliqué à un crochet fixé au milieu de l'autre lame. D'après ce que nous avons vu au Chapitre XI de la deuxième Partie de cet Ouvrage, la flèclie des lames Qécbies est proportionnelle
à cet effort, en tant que l'on ne dépasse pas la limite de l'élasticité, comme nous le supposerons; et il est facile, soit pat le calcul, soit par l'expérience, de déterminer le coefficient de proportionnalité.
Une bande de papier, enroulée sur un rouleau dont l'axe est perpendiculaire à la direction des lames à l'état naturel, se déroule sous le dynamomètre en s'enroulani sur un autre rouleau dont l'axe est parallèle a celui du premier, et qui est mis en mouvement par une corde a boyaux adaptée à l'un des essieux. Un crayon ou un pinceau sortant d'un tube conique en cuivre contenant de l'encre de Chine trace une courbe sur le papier. Le travail produit dans un temps déterminé est, en tenant compte des échelles, mesuré par l'aire comprise entre la courbe décrite et la droite que l'on obtiendrait si l'effort de traction était nul. Cette aire peut s'évaluer par l'une
MESURE Ut] TRAVAIL tlËVELOPFË PAR LES UOIEORS, ETC. 3^5
des mélhodes connues de quadrature par approximation ou mécaniquement au moyen d'un planimèire (0-
Un appareil compteur, sur la disposition duquel nous n'avons pas à insister, peut d'ailleurs être adapté à l'appareil pour faire connaître !e nombre de tours de roues ou le chemin parcouru par le véhicule dans un temps donné.
138. Dynamomètres de rotation. — Les appareils de ce genre ont pour objet de mesurer la portion du travail transmise à une machine par un arbre moteur qui en dessert plusieurs autres.
i" Dynamomètre de M. Marin. — Cet appareil se compose en principe de deux poulies A et B {fig. 171 et 173} montées
sur un même arbre CC; la première, fixe sur l'arbre, reçoit par une courroie le mouvement de rotation de l'arbre moteur; la seconde est folle sur l'arbre CC, mais lui est reliée par un
(■) Voir la Note placée à la Sn de m Chapitre.
couple de lames élastiques dirigées, à l'étatde repos, parallèlement au rayon moyen intermédiaire et encastrées dans l'arbre. L'autre extrémité de chacune des lames est engagée entre deux couteaux d'acier que porte la poulie B près de sa circonrérence. Cette poulie transmet, par une courroie, le mouvement à la machine dont on veut mesurer le travail résistant utile. Un crayon ou un pinceau, adapté au milieu du système des lames élastiques, trace une courbe sur une bande de papier qui se développe, par suite d'une disposition analogue à celle du dynamomètre de traction disposé à côté de la poulie B, et dont le mouvement est proportionnel à celui de l'arbre-
L'ordonnée de cette courbe par rapport à la droite qui serait tracée dans l'état naturel de l'appareil étant proportionnelle à l'elTort développé, l'aire comprise entre la droite et la courbe est aussi proportionnelle au travail transmis, que l'on peut ainsi évaluer.
2" Dynamomètre de M. Bourdon. — Cet appareil {fig- '73
Fig. igï.
et 174) se compose de deux arbres parallèles sur lesquels sont montées les poulies A, A'; la première reçoit, par une courroie, le mouvement de rotation de l'arbre moteur. Le mouvement est communiqué à A' par un engrenage sans frotlcmenl
niiSURE DU TRAVAIL DEVELOPPE PAR LES MOTEURS, ETC. 377
B, B' ; une courroie passant^sur A' transmet le travail à la macbioe dont on veut déterminer le travail résistant utile. Les poulies, comme les roues déniées, ont le même diamètre.
Fie. 174-
L'arbre de A' et B' a la fq,cuUé de glisser dans ses coussinets et vient buter contre le sommet C d'une lame élastique boulonnée à ses deux extrémités à un support fixe. La flexion de la lame est indiquée par une aiguille DE articulée en D à une pièce CD fixée au milieu de la lame.
Soient P l'effort mutuel normal aux dents en contact des roues B et B' ; i l'inclinaison de ces dents sur la direction des axes. L'effort P se décompose en deux autres : l'un P sin i, parallèle à la direction ci-dessus, l'autre P cosi, langent aux circonférences primitives de l'engrenage.
La composante Fsini produit la flexion de la lame et est proportionnelle à la variation de la flèche indiquée par l'ai-
guille CO; on peut donc déterminer la valeur K de cette composante après avoir préalablement taré l'instrument. On a par
suite
Pcos/ = Kcoti
pour l'effort tangentiel; si R est le rayon des roues dentées, n le nombre de tours par minute de chacun des arbres, le travail transmis parseconde, exprimé en chevaux, est
KcoU-
L'indicateur de Watt rentre également dans la catégorie des appareils dynamométriques; mais nous croyons devoir en reporter la description à la Section relative aux machines à vapeur, auxquelles il s'applique exclusivement.
ÉVALDlTIOir APPKOXIHATITB DES AIRES PLANES.
NOTE
SUR l'évaluation approximative des aires planes.
Formule de Simpson. — Proposons-nous d* évaluer approximativement [fis* 175) Taire comprise entre un arc de courbe A, A,„^,, tracé par points ou défini par une équation, une droite B^B^^^, et les ordonnées A,B,, A„^, B„^, des extrémités de l'arc par rapport à cette droite.
Concevons que Ton divise la base B^ B,^^^ en ^n parties égales dont nous désignerons par h la longueur commune. Soit B^ le pied de l'ordonnée Xi = A^B,. correspondant à l'abscisse (^ — i) h.
Fig. 175.
'âm\
za*ii
Si nous considérons, par exemple, Taire mixtiligne A, B, A3B3, nous pourrons, par approximation, remplacer Tare A, Aj A3 par celui de la parabole passant par les trois points A„ A,, A3, ayant A,B, pour diamètre; Terreur commise sera d'autant plus faible que Téquidistance h sera plus petite. Soient a^, a^ les intersections de la tangente en A, à la parabole avec la direction des ordonnées de Aj, A,; I celle de A^B, avec la corde A, A3, parallèle, comme on le sait, à a^a^. On a, d'après un théorème connu,
aire A, A, A3 = laireA^^j/ZjAa = |A,I x aA
d'ailleurs
aipeB.À,A,B, = AU-H:r,]i,
38o QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE TI.
par suite
aire B, A, A, A3 B, = - ( j, h- 4 j, -4- 73 ).
On a de même
aireB3A3A,A,B,= (j^-f. 4j^-t- jj,
aire i>2„, Aj„, Aj^ A,,,^, ^211+1 — 0 (^2/1-1 "^ ^Xm "''J^^ii+j ) i (1*011, pour Taire totale,
A = ~ [ r, -+-jr,„^, -+- 2 ( J3 -+-r, -H . . . -i-r,„, ) H- 4 (/î -^ . . . H- r2« )] ,
résultat qu'il est facile de traduire en langage ordinaire. Cette méthode offre r inconvénient de ne pas donner une limite de Terreur commise. Sous ce rapport et sous un autre que nous ferons connaître plus loin, la suivante lui parait devoir être préférée.
IL Formule de Poncelet. — Quelle que soit la forme de la courbe qui limite Taire, on peut toujours, par suite d'un mode convenable de décomposition de Taire, être ramené à considérer le cas où le sens de la courbure par rapport à Taxe des abscisses reste constamment le même dans toute Tétendue de Tare. Supposons, en particulier, que Tare A, A,^^, présente sa convexité à Taxe des abscisses ; conservons les notations et le mode de division de la base de Tarticle précédent, en prenant, pour fixer les idées, « = 6.
Menons par les points A (fig. 176), d'indice pair, les tangentes à la
Fig. 176.
courbe, limitées aux ordonnées qui précèdent et suivent celle du point considéré ; menons les cordes des portions extrêmes de Tare, et de deux en deux, à partir de A„ les droites qui joignent les autres points.
ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES AIRES PLANES. « 38l
Les tangentes et les cordes détermineront respectivement une aire circonscrite et une aire inscrite entre lesquelles sera comprise l'aire cherchée.
On a évidemment
aire inscrite = "^ — ^ h -h (j^ -h/^) h ■+■ {J^ -h/J h -h ^-^—^ /*,
aire circonscrite = a A (j^ h- j* -+- Je)*
En prenant approximativement pour Taire cherchée la demi-somme de ces limites, on obtient
résultat qu'il est facile d'énoncer en langage ordinaire. L'erreur commise sera moindre que la demi-différence des limites ou que
H et K étant les points de rencontre des cordes A, A., A^Ag avec Fordonnée du milieu A^H^.
Cette méthode offre, en outre de l'avantage de donner une limite de l'erreur, celui de n'exiger que le calcul de /? + 2 ordonnées, au lieu de 2/z H~ I comme l'exige celle de Simpson.
ni. Planimètre de M. Amsler, — Les planimètres, comme l'indique leur nom, sont des instruments destinés à mesurer mécaniquement des aires planes.
Le plus simple et en même temps le plus commode des planimètres imaginés jusqu'à ce jour est celui de M. Amsler, professeur de Mathématiques à Schaffausen (' ).
Cet instrument se compose de deux règles métalliques (Jîg, 177 et 178 ), représentées par leurs axes de figure OA, AB, et qui sont articulées en A ; la tige OA est munie en 0 d'une pointe que l'on fixe sur le plan (en la surmontant d'une masse pesante pour bien assurer la fixité) en un point extérieur au périmètre de l'aire à mesurer et de manière que l'on puisse faire décrire ce périmètre par une pointe projetée en B. Sur le prolonge-
(^ ) Le premier planimètre susceptible d'application paraît être celui de Ernst, dont on trouvera la description dans les Leçons de Mécanique pratique de M. le général Morin«
QUATEltHB PIETIB. — CHAPITES TI«
ment de ÂB au delà de A, se trouve une roulette C dont Taxe est parallèle à ÀB et dont la jante, qui doit rouler sur le plan, est graduée; l'axe de la roulette est fileté et forme vis sans fin avec une roue dentée dont
Fig. 177-
Taxe porte un plateau gradué; le déplacement du plateau fait connaître le nombre de tours effectués par la roulette dans son mouvement de roulement.
Fig. 178.
I^CàaamLdSl
Cherchons maintenant à établir la théorie de l'instrument. Soient
r^r\ a les longueurs constantes OA, AB, AC; R le rayon vecteur OB ;
J.pianaMse
ËYALUATION APPROXiMATIVE DES AIRES PLANES. 383
M, a les vitesses angulaires autour de 0, de OA et de OB, lorsque B tracé
le périmètre de Taire ; &>' la vitesse angulaire de ÂB autour de A.
Le mouvement de AB résulte de la rotation ta' et de la translation tar perpendiculaire à OA ; de sorte que la vitesse U du point B est la résultante des deux vitesses wV, wr respectivement perpendiculaires à AB età
OA ; or les composantes de U suivant R et sa perpendiculaire étant --t- t nR, on a, en appelant a, ex,' les angles AOB, ABO,
w r sina' — «r sma = — r- y
dt
wVcosa'-i- «rcosa = riR ou, en abaissant la perpendiculaire AI sur OB,
«' - w = -i^ l!i:, «'.BI - «.01 = ÛR; Al dt '
d'où Ton tire
r=^^ÂÏ7S-=="-^R^^^'«'
w = £1 — - -7- cota'.
R dt
La vitesse V du point G, estimée perpendiculairement à AB, égale à la vitesse de la roulette à sa circonférence, est la résultante de — ao/ et de
/\ la composante correspondante — wrcosOAB de la translation wr; la
composante longitudinale de cette translation ne produit qu^un glissement
de la roulette dont nous n'avons pas à nous occuper.
Or, dans le triangle AOB, on a
cosOAB = par suite
2 rr^
ou, en remplaçant w, w' par leurs valeurs (i),
(^' ^ = Z ? ^1U\—^ COtan-^cotaj.
Soient
R^, le rayon vecteur correspondant au point de départ de la pointe B, et 0J, l'angle qu'il forme avec Taxe fixe Ox;
384 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Yl«
A l'aire décrite par OB, lorsque le rayon vecteur et son inclinaison sont
devenus R et 0 ; (T le chemin parcouru par la circonférence de la roulette.
On a
et la relation (2) devient
dk = r^r/T-t- '"'-^'"-^'^'"''riO^ldVi (^'~ ^"- ^'%ota^-4> ^'cotaV
d'où
— I l COta-hfl/- cota) -ïT-.
Jk. \ '^ J ^
On déduit facilement du triangle AOB les valeurs de cota' et cota en fonctions de R ; mais, ces expressions renfermant en dénominateur des radicaux du second degré dans lesquels se trouve R au quatrième degré, rintégrale du second membre de Téquatîon (3) dépend des transcendantes elliptiques ; Tessentiel pour nous est de reconnaître que cette intégrale
est de la forme /(R) —/(Ro), de sorte que Ton a
S'il s'agit de l'aire d'une courbe fermée, d et R redevenant 9^ et R,,
(5) A = rV(').
Supposons que Ton veuille faire en sorte qu'à. un tour de la roulette corresponde l'unité de surface, soit le centimètre carré, pour fixer les
(*) On peut arriver immédiatement à Téquation (5) par les considérations suivantes :
Soient (/^. 179)
OABC, O' A'B'C deux positions infiniment voisines de la partie mobile de l'instrument ; K le milieu de AB;
I, L les points d'intersection des perpendiculaires élevées à AB aux points K et C avec la direction de A'B';
fiVALUÀTlON APPROXIMATIVE DBS AIRES PLANES* 385
idées ; appelons p le rayon de la roulette, nous aurons
I = 2Tr/*'p.
En se donnant le diamètre de la roulette, on déduira de cette relation la valeur de p. Chaque division de la jante divisée en loo parties correspondra à 10 millimètres carrés.
Supposons maintenant que Ton veuille changer Tunité de surface en conservant la même unité de longueur pour p et r', et soient m le rapport de la nouvelle unité à l'ancienne et /| ce que doit devenir r'; nous
aurons
m= 2irp/,, d'où /, = w/.
Pour que Ton puisse modifier la longueur de r', on forme AB de deux parties, dont Tune mobile autour du point A sert de gaine à l'autre, dont on fixe à volonté la longueur de la partie extérieure au moyen d'une vis de pression.
Nous ferons remarquer, pour terminer, que l'instrument peut aussi mesurer Faire d'un secteur curviligne B^OB ayant son sommet en 0. A cet
M rintersectiou à IK avec la parallèle à B'C menée par le point C;
doc l'angle MCK.
Fig. 179.
On a
dk ~ aire AA'BB' = AB X IK = r'(CL H- CK.rfa).
Or CL est Tare det dont la roulette a tourné ; on a donc
dX=r'dT-{-CK,r'dc,
d'où
A = r'c'h CK.r' (a — a,).
Si la courbe est fermée, le second terme s'annule, et Ton retombe sur la formule (5).
386 QUATllfeMB PARTIS. — CBAPITBB YK — EVALUATION, ETC.
effet, on fait parcourir l'arc B«B à la pointe de traçage, puis sur OB le chemin BB^ le point B. se trouvant à la même distance de 0 que B^ ; Taire décrite n'est en définitive que celle du secteur ; mais, comme R est redevenu R,, la formule (4) se réduit à la suivante:
qui est d'une facile application.
TROISIÈME SECTION. — CHAPITRE I. — GÉNtiRALlTÊS. 387
