CHAPITRE lY
159. Généralités, — A une ou deux exceptions près, le régulateur d'un chronomètre est en principe un solide animé, autour d'un axe fixe, d'un mouvement oscillatoire isochrone. Si, par des dispositions spéciales sur lesquelles nous reviendrons plus loin, le régulateur, dans chaque oscillation et pendant un temps plus ou moins long, arrête soit une fois, soit deux fois le dernier organe de la transmission pour le rendre libre ensuite, que les arrêts aient toujours lieu pour les mêmes positions du régulateur, le mouvement des aiguilles sera intermittent; mais, leurs périodes de repos et de mouvement étant respectivement égales, leur mouvement moyen sera uniforme, et le chronomètre atteindra le but proposé.
La condition de Tisochronisme doit être remplie, ou du moins à très-peu près, selon la régularité que l'on veut obtenir dans les indications; car l'amplitude des oscillations éprouve des variations par suite des inégalités de la force motrice, des frottements, de la résistance de l'air et des chocs que l'on doit faire recevoir au régulateur de la part du dernier organe de la transmission, pour compenser plus ou moins les effets des résistances ci-dessus et empêcher qu'au bout d'un certain temps le mouvement oscillatoire soit anéanti.
Le pendule à faibles écarts remplit d'une manière trèssatisfaisante> comme régulateur, les conditions ci-dessus; mais il ne peut être appliqué qu'aux chronomètres fixes.
Dans les chronomètres portatifs ou pouvant occuper diverses positions par rapport à la verticale, on est obligé d'avoir recours à un véritable volant, obéissant à l'action d'un ressort dit spiral réglant, dont les deux extrémités sont respective- 111. 28
ment encastrées dans la platine et le régulateur, ressort qui doit être établi de manière que, abstraction faite des résistances passives, il produise Tisochronisme.
Dans les montres ordinaires on emploie un balancier en laiton, d'un diamètre généralement égal à celui du barillet, et le réglage s'obtient en essayant plusieurs spiraux plus ou moins longs, jusqu'au moment où Ton arrive au résultat voulu.
Dans les montres marines, au contraire, on se donne le spiral. Pour régler le moment d'inertie du balancier, on enfonce des visa têtes massives dans l'anneau du balancier, qui est également une donnée (*).
Qu'il s'agisse d'un pendule ou d'un balancier de chronomètres portatifs ou amovibles, la loi du mouvement du régulateur, toujours abstraction faite des résistances passives, satisfaisant à la condition de l'isochronisme, sera déterminée par une équation de la forme
k étant une constante connue, Q l'angle que forme la distance à l'axe de rotation d'un point de la masse avec la position de ce rayon correspondant au maximum de la vitesse angulaire. On déduit de là
(b) 0= M cosX/ -f- Nsin^/,
(0 5=-*(MsinX/-Ncos>tO.
M et N étant deux constantes arbitraires que l'on déterminera d'après les conditions initiales du mouvement.
Ce que nous avons dit pour le pendule simple ou composé (n""* 24< et 102 de la deuxième Partie), au point de vue des résistances du frottement sur les axes et de l'air, est appii-
( ^ ) Pour la compensation des pendules, nous renverrons aux Traités de Physique, et, pour celle des balanciers des montres marines, au Mémoire de M. Yvon Villarceau, inséré au tome Vil des Annales de l'Observatoire.
DBS RÉGULATEURS. 4^^
cable aux régulateurs des montres marines et ordinaires, et nous nous bornerons à rappeler que, si elles réduisent les amplitudes, elles n'atteignent pas Tisochronisme.
160. Des différents modes de suspension adoptés pour le pendule, — i® Suspension à couteau. — Cette suspension, semblable à celle des fléaux de balances, qui a été très-employée autrefois, est maintenant presque abandonnée à cause des difficultés d'exécution et de conservation, et parce que, la position du couteau dans la gouttière n'étant pas rigoureusement invariable, le pendule n'oscille pas réellement autour d'un axe fixe. En raison des faibles écarts du pendule de part et d'autre de la verticale, le moment du frottement du couteau doit être considéré comme constant, et, d'après ce que l'on a dit ci-dessus, il n'y a pas lieu de s'en occuper.
Pour régler le pendule ou pour faire subir à son moment d'inertie les petites variations nécessaires en vue d'arriver à une bonne marche, on emploie une masse additionnelle ou curseur, que l'on peut fixer par une vis aux différents points du prolongement de la tige au-dessus de la masse principale ou lentille.
2** Suspension par un fil de soie, — Celte suspension ne s'applique qu'à quelques pendules d'appartement. Le réglage s'obtient en modifiant en, conséquence la longueur du fil de soie au moyen d'un mécanisme très-simple à concevoir.
3° Suspension à lames, et de son influence sur le mouvement du pendule. — Cette suspension, qui est la plus usitée, consiste en deux lames élastiques identiques, parallèles, dont les fibres moyennes sont situées dans le plan d'oscillation, encastrées d'une part dans la partie supérieure de la masse oscillante, et de l'autre dans une chape ou monture. Chacune des lames traverse, entre la chape et le pendule, une rainure dont la largeur est, autant que possible, strictement égale à leur épaisseur. Cette rainure détermine, dans le mouvement oscillatoire, un encastrement des lames qui sont placées à une faible distance l'une de l'autre en vue d'éviter les efTels de torsion. On emploie diverses dispositions, sur lesquelles nous n'insisterons pas, pour faire varier la longueur
QUATRlfeSB PARTIE. — CHAPITRE IV.
de la portion des lames comprise entre la rainure et le pendule que l'on règle par ce moyen.
Pour éviter des effets permanents de flexion qui seraient préjudiciables à la marche et à la solidité du pendule, on fait en sorte que, lorsqu'il est au repos, le plan moyen des deux lames passe par le centre de gravité de la masse. On peot aussi supposer que les deux lames font l'effet d'une seule dont le plan moyen coïncide avec le précédent.
Soient {fig. 193)
Fig. 193.
A Tencastrement de suspension^
AB la forme rectiligne de la lame fictive quand elle est au repos, B étant l'encastrement dans la masse du régulateur;
ABi la forme infléchie de la fibre moyenne correspondant à une position quelconque du pendule, Bi étant la position que prend le point B;
B l'inclinaison de la tangente au point B. de ABt sur la direction A^ de AB;
kf la perpendiculaire en A à Aj?;
X, y les coordonnées d'un point m de AB»;
a le moment d'élasticité de la lame;
M la masse du corps suspendu à la lame;
I son moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal projeté en Bi ou B;
/ la dislance de cet axe au centre de gravité G de M;
e la longueur de la lame dont le rapport à / est une petite fraction.
Nous négligerons : i** les termes d'ordres supérieurs au troisième en 0 et e; 2° l'allongement de la lame, en supposant AB = AB,, de sorte que BB„ que nous désignerons par/, sera considéré comme perpendiculaire à kxy et que la vitesse du
point Bi aura pour valeur ~ ; 3® la masse, relativement trèsfaible, de la lame.
Le mouvement du corps peut être considéré comme se
composant d'une translation -^ parallèle à ky et d'une rotation autour de l'axe projeté en Bi.
Le moment du poids Mg'par rapport au point m est
-Mg^(/sinÔ-+-/-j) = -M^(/Ô+/-r).
Le moment de la force d'inertie, due au mouvement de translation par rapport au même point, est
~ M ^ (/COSO -h s — a:),
ou tout simplement
dt'
Le moment des quantités de mouvement dues à la rotation par rapport au point m, étant du premier ordre, peut être considéré comme égal au même moment par rapport au point B; ce qui donne pour le terme correspondant dû à l'inertie
D'autre part, le moment des forces élastiques développées
en m est /^ j-t> en négligeant ~-y devant l'unité. Il vient donc
438 QCATRIÈHB PARTIE. — CHAPITRE lY.
OU, en remarquant que ' . est toujours une petite fraction,
En intégrant celte équation par rapport à Xy en se rappelant
dv que -~- =0 et ^ = o pour x = Oy on trouve
Comme on doit avoir -—- = 6, /=/ pour x =.t, on trouve
d'où
et la première de ces équations devient
Ih
On voit ainsi que l'isochronisme subsiste toujours, mais que la durée des oscillations est modifiée par l'élasticité delà lame.
Si l'on considère le pendule comme tournant effectivemeni autour d'un axe projeté au milieu de AB, l'influence de Télasticité sera représentée par le terme en ^ de l'expression précédente.
La longueur du pendule synchrone sera
et variera plus rapidement avec e que si, la lame étant rigide, le pendule oscillait autour de Taxe projeté en A ; de sorte que Ton doit arriver au réglage par des variations de longueur du pendule, moindres que lors des suspensions par couteau et fil de soie.
Si e = o, X est nul ainsi que la durée des oscillations, ce qui devait être, puisque la masse M est invariablement encastrée et qu'elle n'est plus susceptible d'aucun mouvement.
161. De V influence des chocs dans le mouvement d'un régulateur. — Comme nous l'avons déjà dit, on s'arrange de manière que, pendant une oscillation du régulateur, le dernier organe du corps de rouages, c'est-à-dire la roue d'échappement, obéissant à l'action de la force motrice, produise une percussion sur un appendice faisant corps avec le régulateur, pour venir en compensation des effets du frottement et de la résistance de Tair; ce qui nous conduit à étudier les effets d'un choc sur le mouvement oscillatoire du balancier.
a. Hypothèse d* une percussion pendant une oscillation, abstraction faite des résistances passives. — Il nous suffira évidemment de considérer l'oscillation dont l'origine correspond à celle du temps.
Soient
— a la valeur initiale de l'angle d'écart 6;
t' le temps au bout duquel le choc a lieu;
d9 Q'y tv' les valeurs correspondantes de 0 et ^ •
On a, en vertu des équations [b) et (c) du n" 160,
(i) 0' = — a cos/y', w'= dk ûnk'.
Nous rappellerons que, pendant le choc, la position des éléments matériels des corps qui se rencontrent ne change pas d'une manière appréciable; que, après une percussion, la vitesse angulaire du corps choqué supposé mobile autour d'un axe est égale à celle qu'il avait avant le choc, multipliée par un coefficient plus grand que l'unité, qui ne dépend que
de la position relative des corps lors du choc, et que nous déterminerons plus loin, en nous occupant des échappements. Or on s'arrange toujours de manière que la position relative des corps reste constamment ou à très-peu près la même. D'autre part la fusée élimine les variations de la force motrice, ou, quand on ne l'emploie pas, l'intensité de celte force varie entre des limites assez restreintes pour que, dans le calcul du coefficient dont il s'agit, elle puisse être considérée comme constante et égale à sa valeur moyenne; enfin, par la force des choses, la vitesse angulaire du régulateur ne peut éprouver que de faibles variations; de sorte qu'on peut, sans grande erreur, considérer ce coefficient comme constant.
Nous devons donc supposer, dans les deux équations (i) et (c) du n* 160,
0=0', —= (!-+-£)«'', pour i = t\
g étant une constante que nous supposerons très-petite. Ces deux conditions permettent de déterminer M et N, et l'équation {b) devient
fi2C
(a) 9 == a(n- g sin*//') cosAi -h — sinîiX7'sinX-/.
Soient T le temps qu'emploierait le balancier à exécuter
une oscillation s'il n'y avait pas de choc; Ti la durée réelle de
l'oscillation que nous considérons, ou la première valeur qui
de annule la valeur de -j- donnée par l'équation précédente;
nous aurohs*
(3) tongXr, ^ —
Si 6' < o, on a si 9' = o, on a
si B' > o, on a
a(i -r- esm^Ât'}
/T, <7r OU T, <T; XT, ::=7r ou T, =:T;
itT, > TT ou T, > T ; en d'autres termes, le choc diminue ou augmente ou n'altère
pas la durée de Voscillation selon qu'il se produit avant ou après le milieu de Voscillation ou en ce milieu lui-même.
Pour mieux voir de quelle manière Ti varie avec 6', nous négligerons le carré de e, et nous obtiendrons, en ayant égard à la première des équations (i),
^.-(-■-^)-(-iïv'-S)-
Il suit de là que le maximum et le minimum de Ti correspondent respectivement à B'=z - sji et à 6' = v/2, c'està-dire à deux positions du régulateur symétriques par rapport à sa position moyenne, et qu'ils sont compris dans la formule
Pour trouver Tamplitude a» de la demi-oscillation descendante qui suit celle que nous considérons, il suffit de poser /=:T| et 0 = a„ dans Téquation (2), ce qui donne, en ayant égard à la relation (3), et continuant à négliger le carré de 6,
ttj = a(i-f- ssin*/-/').
Si Toscillaiion suivante ne comporte pas de choc (comme dans réchappement libre à ressort), sa durée sera T, et la différence T — Ti entre les durées de deux oscillations successives ou de deux ia//em^ii/5 consécutifs (') sera du premier ordre; si, au contraire, elle est accompagnée d'un choc (échappements à ancre et à cylindre) correspondant très-sensiblement aux mêmes valeurs de B' et e, la durée Tj de cette oscil* lation, qui se déduira de la formule (4)> en y remplaçant a par «1, ne différera de T| que d'une quantité du second ordre, puisque a— a, est du premier ordre, et la différence entre
(*) Le bruit sec ou battement qui se produit à intervalles égaux dans les cfaronomètres n'est pas dû aux chocs que nous étudions, mais à celui de la roue d'échappement , lorsque, après avoir choqué le régulateur, elle perd sa force vi?e, ainsi que celle de tout le corps de rouages, en butant contre Tarrêt que Ton appelle repos.
44^ QUATRlfcMB PARTIB. — CHAPITRE IT.
les durées de deux battements consécutifs sera du second ordre { ' )•
6. Hypothèse d'un choc et d'une résistance constante, — Au lieu de Téquation (a) du n**159, nous aurons une équation de
P étant une constante; mais on voit alors que les formules relatives au cas actuel se déduisent de celles du précédent, en ajoutant ^ k 6', — a, a. ; on obtient ainsi
/ Ô'-t-p = — (a — p)cOsXr,
( a, =(a-pj(i-+-sin»Xr)— p.
Si l'on s'arrange de manière que Ton ait
sin'XV= 7— ^^zrr'
(^) Il nous a paru intéressant d'eiaminer Thypothèse de deuï chocs pendant une même oscillation, quoiqu'elle ne se présente pas en horlogerie. Soient t" le temps au bout duquel se produit le nouveau choc ; M", 'H" ce que deviennent M et N après ce choc, et admettons que le coefficient e ait la même valeur pour les deux chocs.
En faisant le même raisonnement que dans le texte, nous aurons
M co8Âf''-h N sin kt''= M" coskt" -h ^'' cosAr", ( , -t- e ) [ M sin Âf " -H N cos Ar" ] = -- M" sin Ar'' -K N" cos Ar .
Si nous désignons par T" la durée de Toscillation, nous aurons, en ayant égard aux valeurs de M et N, à celles que l'on déduit pour M" et H" et négligeant le carré en c,
tangAT''= — ^ = (sinaA^'-Hsin^A^"),
d'où
T''=Tri ~ (sinaA^'-^-sinaA^)!.
On voit, d'après cela, que par le second choc on peut atténuer l'influence du premier ou la rendre du second ordre. Il suffît pour cela que les deux chocs aient lieu symétriquement par rapport au milieu de l'oscillation; car alors kt'-i-kt" ne différera de n que d'une quantité de l'ordre e, et par suite T" — T sera du second ordre.
Tamplitude des oscillations ne ^variera pas, et, si les oscillations successives sont accompagnées chacune d'un choc d'un côté ou de l'autre^ mais à égale distance du milieu, leurs durées seront toutes égales, etle chronomètre atteindra très-sensiblement son but.
c. Hypothèse d'un choc et d'une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, — Reportons-nous aux considérations du n** 24 (IP Partie, t. 1), et conservons les mêmes notations. Nous aurons
"27 = — I a^>^^ 7 sin kt' H ^ sin à ^^ ' h- a sin kd.
Un écart quelconque après le choc étant désigné par 0, il faut que Ton ait pour t=zV
Si nous posons, comme au numéro précité,
nous aurons, en substituant dans les formules précédentes, et identifiant les termes semblables en y, et faisant t = t'y
i dB (a) %= — (x.coskt*, -— ? = a(i-he)sin^/',
I ;f ^ = (n-0-3-" (-2SinX'f'-4-smaXr), (7) 0,= o, §=o.
Il est évident que 0» n'est autre chose que la valeur de 9 dans rhypothèse y = o, et que sa valeur est fournie par l'équation (2), soit
(7) 0^= — a(i-f-6sin'X-f')cos^f H sinaX-f'siuX/.
Les conditions, (y) jointes à la troisième des équations (8) du
444 QUATRltag PAETIB. — CHAPITRE IV.
n^ 2&> de la première Partie, donnent 9»= o; il ne nous reste donc qu'à déterminer Bt au moyen de la deuxième de ces mêmes équations, qui devient* en vertu de la formule (7) et de l'approximation adoptée,
-^ = — X'1 9, H [(i -h aesin*//) — (i-f- aesin'X/'jcosaX/ ■+- e sin2X7' sina//]:)
équation dont l'intégrale générale est
0, = M'cos//-H N'sin//
ft'X' r , . *, .» i-f-2ssin*Xy , ssin^Â-/'
[I • 5f /x i-f-2ssin*Xy - ssin^Â-/' . ,1 — (1-4- 2«8in'/r) • C0S2A-/ H smaA/ h
M' et N' étant des constantes déterminées par les conditions (|3) qui donnent
M'=K^-Mi-^esra^^ï'), N' = fa»A»sin/rsin' ~. Il vient donc
(8) / -f-isin/ff — ^ h|aX-^7SinXï'sin' — ) — J7(i-i-as sitfXO
3t A'' "V CÛC /■' "V
^ (iH- a«8iiiX^/')cosaX*/'H T7— ^ sinaX/'sinaX'/,
d'où
HA
—T ^ = — sin/-^(— I— S sin^^/' -+-|aX''7 -t-|aX-'7S sin^Xr')
i — îaX'7(i -f-atsin^Xr')8ina^/-t- |s7aX^3iii2X^'cosaA-^
Pour trouver la durée T, de l'oscillation, ou la première des
dO valeurs de / qui annule -7-9 il suffit de poser
t - T„ XT, = XT -f- X - TT -f. x,
X étant une quantité du premier ordre, et en opérant ainsi on trouve
( ro) T, = T J iH- ^ [ (i - e ^vanU) sinaXy h- fay^'y sin^f'] |.
ATexamen de cette formule, on reconnaît que la résistance de Tair ne modifie pas les conclusions du premier cas examiné. Enfin les formules (8) et (lo) donnent pour la valeur de la demi-oscillation suivante a^
a, = a(i H-esin-^-f'— |a/^7 — -ja^'^Vfe).
Si l'on fait intervenir le choc dans des conditions telles que Ton ait
ce qui sera toujours possible lorsque s sera supérieur à \cLh^'^y les amplitudes successives n'éprouveront que des variations du second ordre et par conséquent très-petites.
d. De V influence du choc en tenant compte simultanément des deux résistances. — Les formules relatives au cas général s'obtiendront en retranchant (3 de 0 et — a, et comme dans la formule (lo) a n'entre que dans un terme du second ordre, il s'ensuit que la résistance constante ne modifie pas la durée de l'oscillation résultant de l'hypothèse d'un choc et de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, aux termes du troisième ordre près.
En résumé : i** lorsqu'un choc intervient pendant une os-^ cillation, la durée de lamplitude du balancier éprouve des variations du premier et du second ordre, et la variation du premier ordre de l'amplitude vient plus ou moins en compensation des effets des résistances passives.
2*» Si,chaque oscillation est accompagnée d'un choc, la différence entre deux battements consécutifs est du second ordre.
3® La suspension à lames du pendule n'altère pas l'isochronisme, mais modifie la longueur du pendule synchrone.
