VALEUR

DE « RÊPOXDAVT AUX DIAMÈTRES Oü PLUS PETITES OUVERTURES DES ORIFICES CIRCULAIRES.

section.

OBSERVATIONS

Pour les gaz . la charge génératrice est toujours supé-j ; à 2 m , et on prendra le multiplicateur 0,6, ou 0,61 dans tous les cas.

Pour des orifices au-dessus de 0»» ,20 d’ouverture , on prendra la valeur de « comme pour 0^,20. Pour les orifices au-dessous de 0 m 9 01, on agira comme pour ceux de 0 m ,01.

Enfin pour les orifices intermédiaires entre ceux de la table.on prendra des moyennes relatives aux ouvertures et charges voisines immédiatement au-dessus et au-dessous.

Ce tableau est déduit des résultats des expériences de ïï. le capitaine du génie Lesbros, et il s’accorde avec le résultat des expériences faites antérieurement par Bossut, Michelotti et d’autres physiciens habiles; il n’v a de douteux que les résultats qui concernent les très-petits orifices et les trèsfortes charges; mais l’incertitude n’est que de 0,001 sur les dernières décimales, et ce cas n’est pas celui de la pratique.

Il arrive souvent que l’orifice est près d’une face du réservoir; la contraction devient alors nulle sur ce côté, et le multiplicateur est rendu un peu plus grand que ne l’indique le tableau. S’il est près de deux faces du réservoir, contraction est nulle sur deux côtés de l’orifice, et le coefficient augmente encore. Voici comme on tiendra compte de ces circonstances :

Si la contraction est nulle sur un côté seulement, on prendra, au lieu de«

donné par la table, 06*

Si elle est nulle sur deux côtés • ’ . “

Si elle est nulle sur trois côtés 1 ’ "*

Il n’arrive point dans la pratique que la contraction soit nulle , surtout e pourtour de l’orifice; ces derniers résultats sont déduits de ceux de H. Bidone; mais ils ont besoin d’être vérifiés en grand.

Enfin nous terminerons ce paragraphe par une dernière observation .

DES MACHINES ET DES MOTEURS

c’est que tout ce qui précède est seulement applicable toutes les fois que le fluide sort librement du réservoir sans toucher le pourtour des parois ou des bords de cet orifice; car il n’v a pas plus d’obstacles que si la paroi était mince.

110. Ce qui précède est seulement applicable au cas où l’orifice est fermé de toutes parts (fig. 478), et il arrive dans la pratique que quelques orifices rectangulaires n’ont pas de bords supérieurs. L’orifice se nomme alors épanchoir 1 déversoir, réservoir; il est placé vers le niveau supérieur AB (fig. 479) de l’eau du réservoir. On peut encore ici calculer la dépense, comme dans ce qui précède, pourvu qu’on change le multiplicateur de la formule, selon ce qu’apprend l’expérience pour les cas divers. Soit Ha largeur horizontale de cet orifice, et supposons ce dernier rempli jusqu’en B, prolongement du niveau dans le réservoir; nous aurons toujours h comme représentant la hauteur de AB sur le centre ou milieu I de BC; mais H représentera la hauteur totale de B ou A au-dessus du seuil C , de sorte que h = -i-H.La vitesse moyenne étant V, on aura

et, par suite, V = 0,707 . \/^2ÿH.

La dépense théorique ou hypothétique sera

*XHXV = 0,71 .1. H.v^hT

Quant à\/~ 2g\i, on en trouvera à l’ordinaire les valeurs dans les tables. Mais la dépense ainsi obtenue est trop forte, et il conviendra de la multiplier par un coefficient qui est environ 0,57 pour les cas ordinaires delà pratique, c’est-à-dire que la véritable dépense est donnée par la formule 0,405 . I . H . j/sp/H;

H étant la charge totale au-dessus du seuil.

Les expériences connues de Dubuat, Bidone, Evtelwein, et celles de M. Lesbros, ontappris que la valeur du coefficient 0,405 doit être réduite à 0,S9 environ pour H plus grand ou égal à 0 m ,20, et qu’elle s’élève à 0,415 pour H très-petit ou de 1 à 2 centimètres, mais qu’elle demeure sensiblement la même , quelle que soit la contraction totale ou la position de l’orifice par rapport aux côtés verticaux du réservoir, pourvu qu’on mesure la hauteur H du niveau dans le réservoir au-dessus de la base ou du seuil C de 1 orifice, en un point A assez éloigné de B ou C pour que le fluide y ait peu de vitesse ; cette distance est environ une à deux fois la largeur de l’orifice, lorsque cette largeur est très-petite par rapport à celle du réservoir, et deux à trois fois si elle lui est égale.

Quandle fond C est au niveau du fond du réservoir, la vitesse est partout -enfib.e, et la formule ci-dessus donnerait trop peu ; peut-être que , dans ce

cas, la valeur du coefficient s'élèverait à 0,-13. Elle donnera, au contraire, trop, quand l’orifice sera prolongé par un bout de canal ou coursier qui aurait peu de pente et où il occasionnerait des remous par suite de la résistance du canal. Ces cas se présentent trop rarement dans la pratique, pour nous en occuper.

Nos raisonnements ci-dessus supposent que l’orifice est plein jusqu’au niveau général dans le réservoir. Le fait est que l’eau se déprime un peu en arrière de l’orifice à partir de B (fig. 480), et que sa surface suit une courbe dans le genre de la trajectoire parabolique. Ainsi, 1 orifice n’est pas rempli sur toute la hauteur H. L’expérience prouve que le rapport de H à l’épaisseur moyenne CK de la tranche à l’orifice demeure compris entre I et 1,40 (1 étant relatif aux fortes valeurs de H, et 1,40 aux petites valeurs de 1 à 2 centimètres), de sorte que, moyennement,

H= 1,23. CK, ou CK = 0.80.H = ^ H.

Néanmoins, on prendra toujours H en amont de l’orifice dans la formule ci-dessus , parce que le coefficient 0,405 corrige Terreur commise en supposant l’orifice plein jusqu’en AB prolongé.

Si on considère CK comme véritable orifice et qu’on prenne pour charge de vitesse la hauteur de H au-dessus du centre de CK, la dépense théorique sera

/.CK. y/ a, (H -Ici);

mais il faudrait multiplier par 0,38 pour H = 20 à 30 centimètres, par 0,60 pour H = 10 cent., par 0,63 pourH = 3 cent., et par 0,70 pour H = 1 centimètre (ce qui est à peu près conforme au tableau du n° 109.Cepen" dant la règle qui a été donnée au préalable est plus facile à retenir.

111. Dépense par une paroi épaisse, on par un tuijaude très-petitelongueur . — Toute la théorie exposée jusqu’ici est seulement relative au cas où l’orifice par lequel le fluide s’échappe est mince , ou à celui où le fluide sort li brement, sans toucher les parois de l’orifice; en un mot il faut que la paroi ait une épaisseur qui ne dépasse pas une fois à une fois et demie la plus petite dimension de l’ouverture. Voyons maintenant ce qui arrive quand l’orifice est pratiqué en parois planes très-épaisses, ou qu’il est prolongé par un bout de tuyau prismatique ou cylindrique (fig. 481) d’une longueur égale à deux ou trois fois cette plus petite dimension de l’ouverture. Les circonstances seront d’ailleurs supposées les mêmes , si ce n’est que l’eau est censée toucher exactement les bords ou côtés du conduit dans tout son pourtour intérieur; c’est ce qu’on nomme écoulement à gueule bée. Les filets extérieurs suivent ici une marche parallèle. Les expériences n’ont été faites que pour les orifices de 1 à 20 centimètres sous de très- fortes charges; elles

DES MACHINES ET DES MOTEURS. ]7l

ont donné, moyennement, pour multiplicateur de la dépense, 0.81a pour des circonstances identiques à celles où, l’orifice étant en minces parois on obtient « = 0,619. Nous verrons plus loin (3 e partie, 11S) comment on peut trouver la valeur du multiplicateur pour les cas où « serait différent.

Supposons que le tuyau soit une buse ou tuyau additionnel conique on pyramidal. Si a'b' (fig. -482) est semblable à l’orifice ab, que ses côtés soient les 0,8 ou les f de ceux de ab, et que ces deux sections soient distantes entre elles d’une à deux fois la largeur ab, on prend a'b' pour orifice dans le calcul de la dépense, et le multiplicateur 0,82 , qui s’applique entièrement à la vitesse dans Je cas des tuyaux cylindriques, s’élève ici à 0,95. Quand la forme de la buse différé plus de la précédente, laquelle est à peu près celle de la veine contractée , le multiplicateur devient 0,90.

Le phénomène de l’écoulementà plein tuyau (fig. 483) est dû à ce que le fluide, après s’ètre contracté, se dilate, et rencontre les parois. On explique l’augmentation de la dépense en ce que les filets sortent parallèlement aux parois du tuyau , ou remplissent sa section. Mais la vitesse est réellement moindre que la vitesse théorique V; elle en est les 0,812 dans le cas ci-dessus des tuyaux ou buses cylindriques , et les 0,9 pour les buses coniques. La force vive acquise par l’eau à sa sortie du tuyau est simplement proportion-

n eHe à (0,812) 2 Y 2 ou à V 2 pour les uns, et à (0,9) 2 Y 2 ou à 0,81 . Y 2 pour

les autres. La perte de la force vive ou du travail de la gravité, ou le déchet dans la chute h 5 est par conséquent d’un tiers pour les tuyaux cylindriques etd un cinquième pour les tuyaux coniques. De telles dispositions sont évidemment vicieuses , puisque la force vive est rendue moindre que celle qui est due à la chute ou que deux fois le produit de la dépense multipliée par h. Ce résultat, en apparence contraire aux principes ci-devant, est justifié en ce que la résistance le long du tuyau additionnel , et le choc des molécules qui affluent du réservoir contre l’eau en avant de la section contracte font perdre une partie du travail moteur. Nous montrerons plus loin (“' partie, 115) comment on peut mesurer ces pertes. La même raison fait qa à mesure que le tuyau s’allonge , la vitesse de sortie V diminue ; car les résistances de ce tuyau augmentent.

112. Dépense par un canal découvert de très-petite longueur. — Souvent il -rrive que l’ouverture d’un orifice est prolongée du côté d’aval par des eaj x <* G ditionneIs découverts, nommés coursiers. L’orifice rectangulaire par q tel 1 eau se rend dans un tel canal , est fermé ou ouvert au moyen d’une T anne dont 1 épaisseur est toujours fort petite. Ici la contraction s’opère complètement comme pour un orifice en mince paroi , l’eau est libre à sa , aCe SL1 P®rieure quand elle est sortie. Le calcul s’établit comme si le canal (fi 1S , la ' ; t ° U en ‘ ev ®, et que le fluide tombât librement dans l’air

-184) , pourvu cependant que la pente du canal soit assez forte pour

laisser échapper librement le fluide à mesure qu il s écoule, ou que ce canal soit très-court.

Quand des obstacles s’opposent au libre écoulement dans le coursier, l’eau gonfle en avant de l’orifice, ou forme ce qu'on appelle un remous (fig. 4So), qui souvent s’étend jusque près de l’orifice et couvre la veine contractée. La contraction n’est plus alors apparente, et il s établit une pression extérieure contre l'orifice. La vitesse et la dépense sont à la fois altérées. Conformément à ce qui a été dit plus haut, il faudra dans le calcul de V diminuer A de la charge moyenne immédiatement en avant de 1 orifice, c’est-à-dire prendre

h r est la hauteur du remous au-dessus du centre de l’orifice de la vanne qui laisse passer l’eau dans le coursier; A — A' est la différence du niveau supérieur au-dessus de la surface d’eau qui couvre la veine ; puis on corrigera la dépense calculée en la multipliant par le coefficient pris dans la table du

Dans tous les cas, la veine venant choquer le fluide au delà de la section contractée , c’est-à-dire à deux ou trois fois la largeur horizontale de l’orifice, la vitesse est altérée à l’endroit où elle choque le canal, et, comme pour les tuyaux fermés, elle est réduite à environ 0,82 de ce qu’indique le calcul. On l’obtient directement en chaque endroit, en prenant le profil de la surface du fluide par des ordonnées rapportées à une horizontale supérieure, en calculant l’aire de la section d’eau, et en divisant par cette aire la dépense calculée : ce dernier quotient donnera précisément la vitesse moyenne de l’eau en cet endroit.

ÉCOULEMENT DES FLUIDES PAR DES TUYAUX DE CONDUITE ET CANAUX DÉCOUVERTS.

lis Perte de force vive d'un fluide tombant dans un vase en repos ou qui marche dans la direction du mouvement du fluide. - Jusqu’ici nous avons principalement étudié le cas où le fluide s’écoule sans obstacle par un orifice pratiqué à la paroi mince d’un vase , ou dont l’épaisseur n’est pas telle que le fluide rejoigne ou rencontre les parois de manière à être force de couler à plein tuyau ou a gueule bée. Nous avons aussi indiqué ce qui arrive quand le contraire a lieu et que le tuyau est fort court : la vitesse au sortir du tuyau a diminué par les chocs et par les frottements; cette dernier cause.' peu influente pour une petite longueur de tuyau , amène une mod fieation d’autant plus sensible, que le tuya» est plus long.

DES MACHINES ET DES MOTEURS. j

On a cherché à évaluer ces influences et à en tenir compte; voici à „u ■ on est parvenu pour estimer les pertes de travail ou de force vive occasion ‘ nées par le choc et par les résistances qu’éprouve le fluide :

Soit ABDC (fig.486) un vase rempli de liquide jusqu’en AB. Imaginez qu’un filet fluide KL. animé d’une vitesse Y en I. ou en AB, parvienne dans ce vase supposé au repos. Le fluide, ne pouvant s’échapper du vase, tourbil lonne dans son intérieur, et, en vertu du frottement et du choc des molécules , il sera lui-même, comme le vase , bientôt réduit au repos. Si H = 5

est la masse du fluide qui arrive dans un certain temps, dans l’unité de

temps, par exemple , MV 2 exprimera la force vive que le filet aura perdue pendant ce temps. 1

Supposons maintenant que le vase, au lieu d’être immobile , fuie devant la gerbe d’eau avec une vitesse V' et dans la direction de V, la gerbe affluante attendra le vase avec une vitesse relative V — V', c’est-à-dire que ses molé cules y entreront avec la vitesse V - Y', et perdront cet excès de leur vitese par les tourbillonnements et les chocs; par conséquent, la force vive

! , Sera Perdüe dans runité de te ™PS et employée tout entière à

vaincre les résistances a.

On suppose ici que le vase chemine dans la direction des filets • c’est le cas pratique de presque toutes les applications. Cependant , on aurait pu le dedu lre immédiatement de ce qui a été dit, dans le Cours de la 1™ année ( e suivants), sur le choc de deux masses m et «' animées de vitesses ngees dans le même sens est égale à V et V' ; on a vu que la perte de force

vive résultant du choc était égale à-

m m > ( V — • Seulement ici la

se choquante m de fluide, qni tombe dans chaque petit temps sur la

masse totale du fluide contenu dans le vase, est très-petite par rapport

m , e sorte que l’expression précédente, qui peut se mettre sous cette

autre forme m 1 ^ f . .....

- , se réduit, en définitive, à m (V — V') 2 , et, par

SQ Ae, à M (V — V') 2 pour la perte pendant l’unité de temps.

ll-i. Perte de force vive due aux étranglements. — On concevra actuellement sans peine comment il est possible d’avoir égard à des pertes ana- °gues dans le mouvement général des fluides. Supposons que ABCD (fig. A87) sou un vase renfermant un liquide dont AB est le niveau, ab l’orifice de sortie, et que ce vase soit en outre traversé en A'B'par une paroi solide ou ^aphragme , percé aussi d’un orifice a b' dont l’aire est a', celle de ab étant

lès C flUlde ’ 0bligé de P asser P ar a’b', se contracte; puis il vient choquer , es en avant et perd de sa force vive une portion mesurée par ^ sa vitesse SQr ce jj e q ue reprennent les molécules un peu plus

S 12 ' PABIÎE. „„

loin. Si ab est assez distant de ah' pour que les tourbillonnements soient éteints en A"B", par exemple, ou pour que les filets marchent parallèlement et avec la même vitesse en A"B", comme cela a lieu en AB et aux sections contractées de ab et de a b', il sera facile de calculer les vitesses en ces différents endroits au moyen de l’une d’entre elles. Nous négligerons d’ailleurs encore la force vive du fluide en AB.

Soit V la vitesse inconnue du fluide à la section contractée de l’orifice ab, V' celle qui correspond à la section contractée de a b , et A la vitesse du fluide à la section A" B" du vase, m la valeur du multiplicateur de la dépense en ab, iri le multiplicateur de la dépense en ab’ , multiplicateurs qui sont donnés par la table du n° 109 ; la dépense en ah sera égale à maV . Mais il doit passer la même quantité de fluide par la tranche A" B" et par la section contractée de a b'. Le fluide qui passe en A" B" sera mesuré par surf. A" B" X V" = AV".

La dépense en a'b' vaudra mW'. Donc, on aura

„„ maV

maX = AV", et, par suite, V = —

De même , màV-=m'a V , ou \ '= —, —, ^ •

La vitesse relative avec laquelle le fluide qui sort de a'b' vient choquer celui de A"B" est donc

maV maV ( I 1 \ v

V — V 7-7 = ma ; — —, V .

Y A ma' \A. maj

La perte de force vive qui se fait au delà de a' est donc la masse ï du fluide

écoulé dans le petit instant que l’on considère multiplié par (V' — V") 2 , ou

par m-ar ( —

peut u I i i y

\ V 2 . Si on nomme K la quantité mV — —r~ r I ,

facile à calculer , la perte de force vive en question sera ?.K.V% quicorres pond à un travail perdu représenté par J|-K.V*. Le travail de lagravité

ah produit pendant la durée du petit temps, est doue diminué de cette

dernière quantité de travail. Mais la force vive acquise pendant ce même petit temps est | V 3 . On aura, par conséquent,

i.vi;--* „ tous les termes de cette égalité , et

Divisant par q et multipliant par g mus 8

, mpmhrp tons les termes qui contiennent V-, on

réunissant dans un meme memDre mus u

trouve

On voit que

V 3 (l + K)=%à7 ou

la vitesse est ici moindre que ^ 9gk, ou que celle qui est due

DES MACHINES ET DES MOTEURS. 17S

à la charge, et qu’ainsi elle est diminuée par l’étranglement intérieur a' b’ 115. Perte de force vive dans les tuyaux de petite longueur. — Appliquons ce calcul aux tuyaux additionnels coulant à gueule bée. Ici l’étranglement provient de la contraction intérieure dans le tuyau, s’il n’y a pas d’obstacles dans le réservoir, comme on le suppose. Le fluide, après s’être contracté en m (fig. 488), se dilate en a'I' . Soit Via vitesse moyenne effective en a/h', dont l’aire est égale à a. Les filets sortant parallèles par l’orifice extérieur o la dépense est

V X a'V — aY.

Quant à la vitesse V' dans la section contractée m, elle peut se trouver, en observant que si a' est l’aire de l’orifice intérieur ah, et m le coefificient de contraction relatif à cet orifice, la dépense est encore ma'Y'. D’où

a Y = ma'Y' , ou V’ — ° V.

ma'

La perte de force vive est

ou 1

9 g [ma'

Telle serait la manière de procéder si les orifices ah et a'h’ étaient réelle-

ment inégaux $ mais, dans le cas d’un tuyau additionnel cylindrique ? on a

a = a' , de sorte que la perte de force vive devient — ( — V 2 . Faisant

K = ( — — î ) , on arrive encore à la formule

Ordinairement, lorsque la contraction est complète en met pour des charges un peu fortes de T à 2 mètres, on a m = 0,62 ; d’où

l/TTK

et V=0,85.j/ ilgh.

L expérience a donnédansîe fait le multiplicateur 0,82; mais cela peut tenir a ce que nous n’avons pas tenu compte du frottement du fluide le long du tuyau, lequel diminue encore le travail qh de la gravité.

vec la formuteci-dessus, on pourra donc calculer la vitesse dans les petits tuyaux , puis J a dépense.

g e reser ' oir portait un diaphragme comme ci-dessus, percé d’un orimince, on agirait en outre comme plus haut. Enfin, si le diaphragme g . *^ S ®P a * s ; manière à former un tuyau d’une longueur d’uneà deux

d.amètre , il faudrait calculer en conséquence la vitesse au sortir de tuyau, qui serait moindre que dans le cas ci-dessus.

116. Dépenses des liquides ou fluides qui s' écoulent par un tuyau d’une longueur quelconque. — Les résistances du frottement sont nuisibles quand la vitesse dans le tuyau est forte et quand la surface mouillée par le liquide l’est aussi. Soit donc aha’b’ (fig, 489) un tuyau de grosseur uniforme, joignant deux vases remplis de liquide jusqu’en A'B' et AB, H la différence totale entre ces niveaux, ou la charge génératrice, ol’aire du tuyau, ou des orifices , L la longueur développée du tuyau, C le contour ou périmètre de la section uniforme du tuyau, V la vitesse constante dans ce dernier. Les expériences connues , et les calculs de Coulomb, de Mest, Girard , Prony, Eytelwein et Navier, ont appris que la perte de travail occasionnée par le frottement ou la résistance d’un tuyau est proportionnelle dans le très-petit temps pendant lequel s’écoule le poids q du liquide, à

ce travail est une certaine fraction n de ce produit; en un mot, il est représenté par

q LXCXV J

Si donc il n’y a pas d’étranglements, de coudes brusques qui occasionnent des chocs, les résistances se réduiront à celle dont il s’agit et à la perte de force vive qui a lieu après la contraction en ah. On aura donc, en considérant a’V comme orifice de sortie,

^ V 2 - 2gH

V 3 =2 ÿll — K.V 2 -

2mLC . V 2

2«LC\

Ile là on tire aisément V, puis la dépense oV, quand on connaîtra n et la valeur 1-~K, qui, calculée comme précédemment, est environ 1,515. Quant à n, les expériences apprennent qu’il est 0,0035'pour l’eau, et 0,00324 pour l’air et les gaz. On remarquera ques’il s’agitdel’écoulement de ces derniers, on doit remplacer ( 3 e partie, 103 et 106) la charge génératrice H par

P ZL, lorsque les pressions extérieure et intérieure ne diffèrent pas entre

elles d’un dixième , ou par si cette différence est plus grande (T est le

travail de la dilatation du gaz sous l’unité de volume primitif en passant de la pression p à la pression p 1 .)

Soit D le diamètre du tuyau 3- D sera le contour C de la section transver- "rB 2

saie et son aire a ’ en sorte <l ue

DES MACHINES ET DES MOTEURS

a TdC p '

S, maintenant , dans la valeur de V, on fait ces diverses substitutions on trouvera , ’

pour l'eau, et , pour l’air,

V = 27,48. y / DH

On pourra même adopter la première formule pour l’air et les gaz parce que* est très-peu différent, pourvu toutefois qu’à l’égard de ces derniers on remplace H comme on vient de le dire.

Enfin, si l’orifice de sortie a' b' (fig. 490) est plus petit que la section « du tuyau, V étant la vitesse intérieure de ce tuyau, «V n’en serait pas moins la dépense. Si on appelle V' la vitesse de sortie , a' l’aire de a’hr et m' son coefficient de contraction , on aura

«V = m'a'\' , ou

La force vive acquise par le fluide serait donc