NATURE DES SUBSTANCES

Coefficient d’élasticité E, par miüim.

carré.

Valeurs moyennes ou réduites.

Fil de cuivre, N° 1

Fil de Laiton

— d’acier

| — de fer

Tigede verre, No 1. .....

jr

Pour le laiton , le fer et l’acier, ces nombres s’accordent très-bien avec les moyennes insérées dans la table du N° 298 ; et , ce qu’il y a de remarquable , le fer en fil continue (292) à donner ici un coefficient d’élasticité 17900 ki1 , un peu inférieur à celui qui se conelut des expériences sur les prismes non étirés ou passés à la filière.

Quant aux valeurs de E, relatives aux tiges de verre, elles sont, tout au plus , les | de celles , qui ont été déduites , au N° 267, du résultat des expériences de MM. Sturm et Coliadon, expériences que ce dernier physicien se propose, au surplus , de répéter. Cette grande différence ne peut tenir évidemment qu’à des erreurs d’observation ou de mesure, à moins qu’on n’admette , entre les verres, une différence de constitution élastique

DES RÉSISTANCES

ÎS' foT,Z \T mS'Sfe ‘Æîî" * F 93) ’ •» «*», «h.

« expériences répétées "de Si s fisamment bien avec la moyenne d’entrp P1 ,v ™ fil ’ acc ?‘dent sufadopter, pour le verre, cet fe moyenne^Æ^ (ÎS^T‘

T900 k = 0,00000175 = *, et à f- 0,00000173= 0,00000263 == f

£ “ n . et Cl,biqi!e

Ç “ e4 ' i0HS Particulières relatives à la résistance des matériaux.

Lt^StrtSdf ' ï -■ ™ “ S "°“ S ”T“ beMC0 " p «tendu ,

corps à l’extension ctTré SUr ce q concerne la résistance directe des

îenrenffo me” T» ba ,e des'ïfSf f arCe T Ms ” ollons "»»-««-

à 1. science des machines AT., appllca " 011s de k mécanique

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tinssent mm lu - de 1 expenence, par des tableaux résumés oui ne con

kI

les résultats 77 une ,? aus ré sécurité , une confiance trop aveugle dans h sniiftii - S ’ qm ne serait P as m oins dangereuse sous le point de vue dp dépense H S0US ce Ü7 de î’exagératioa même des dimensions et de la epsrPinn’éû- s ^ da * ls un but semblable que nous croyons devoir fairesuivre

mêmes fort «imffieTTf 3 - leS ’ ^ que!q j! es applications particulières, en elles- | . -impies, mais qui nous offriront l’occasion d’appeler l’attention £ml d’nnT ?' VerS faits d ’expérience ou de théorie , P q£i ne sont un^exposé génSab ' ’ Ct qUi eUSSeM difficilement trouvé place dans

Demandons ifaire su PP orter aux PM™™ en maçonnerie.

Possible de üon d abord quel est le maximum de la hauteur qu’il serait

pierres de table de* Z P ‘ *7’ cyImdri< Pf 011 prismatique , appareillé en

detre assuré mî’il Z ’ en Usage daos Ia vdIe de Metz (239) , afin

Tl pst 17? 7 ne , s affa issera pas sous sa propre charge.

dans fn7 V!de 7 que es sections horizontales du pilier étant censées égales n Z de' î Ï4? hauteur , il suffira de considérer <238) ce qui a l7u po£ ’u

dans la ZZitl™ r ^ sa ,7 ensuite ( 2 64 ) à réduire les résultats existant?» Or nno md!quee P ar I usage ou l’exemple des constructions IV» 259 ( ,neL 7 v °y 0I1 f.’P ar Ia dernière des colonnes du tableau du Porter ’^nt n7 Caire oolltIlique de Jaumont, de 1™ qualité, peut suppar l’avant a . ic> mpre, une pression de lSOfai par centimètre carré ; et, ce «ni Znn ?-~ re col onne on trouve que son poids spécifique est 2.20; Donc c;°7 e 00 ^ pour sa densité ou le poids du mètre cube, 22G0kii.

P°ur ca 1 c id e r s a v al e u° n S X ^ ^ au * eur ehe rc bée, en mètres, nous aurons

286 mécanique industrielle.

d’où l’on tire *=8l8 m , 18, pour la hauteur qui produirait la ruofn»« instantanée du pilier. Mais, à cause des motifs énumérés au N» 264 d» devra , dans une construction permanente, et attendu qu’il s'agit ici dYn assemblage de blocs de pierres, réduire cette hauteur au sixième au moins ou, pour plus de sécurité, au — , c’est-à-dire à 82 m environ, afin d’être assuré que les premières assises du pilier pourront supporter la charge des assises supérieures , d’une manière indéfinie , ou telle que l’indique l’ex périenee des anciennes constructions.

Si ce même pilier devait porter, en outre de son propre poids, une charge additionnelle de 70000 kiI , par exemple, sur chaque mètre carré on pose rait l’équation : 1 **

2200k X x + 70000k == J- 1800000k — 180000 d’où î’on tirerait

= 30 mètres

hauteur un peu moindre que celle des piliers qui supportent le clocher de Mutte de la cathédrale de Metz.

o0o. Observations relatives a l élasticité des 'pierres . 11 nous serait impossible, dans ,*e cas actuel, de calculer >e tassement (261) ou l’affaissement d un semblable pdier sous la charge cfii il supporte : mais nous ne devons point passer sous silence un fait qui s’observe sur le clocher dont il vient d être parlé, fait qu on peut également remarquer dans beaucoup d’autres, et qui prouve jusqu à quel point les pierres, en général, sont douées d élasticité ; lorsqu on met en branle la grosse cloche placée à la moitié environ de sa hauteur , et qui pèse près de liOOOkïi, les oscillations des parties les plus élevées, situées à 85°= environ au-dessus du sol, sont tellement grandes, que c est à peine si l’on peut s’y tenir debout. Des expériences, dans lesquelles on tiendrait note du nombre, de la durée des oscillations, et qui seraient faites à laide dun pendule ou d’un instrument à niveau, convenablement disposé, seraient très-propres à faire connaître l’étendue ue ces excursions du clocher, de part et d’autre de la verticale: et elles mettraient ensuite à même de déterminer, approximativement, la compressibilité et le coefficient d’élasticité des matériaux qui constituent ce remarquable édifice.

On arriverait encore plus directement au but, si. lors d’une construction nouvelle, on se servait du moyen déjà indiqué au N° 262, pour obtenir directement les accourcissements ou tassements éprouvés successivement parles premières assises d’une pile, en pierres de taille fichées, avec beaucoup de soin, en mortier ou ciment, dont on pourrait, dans tous les cas, négliger la faible influence, d’après les observations de M. Yicat.

Au surplus, les calculs ci-dessus supposent que les piliers, dont on avait à déterminer la limite de hauteur, étaient composés uniquement d’assises en pierres de taille bien dressées; mais s’ils devaient être simplement parementés en pareilles pierres, et que leur intérieur dût être garni en moellonnage, alors il conviendrait d’avoir égard à cette circonstance, dans les calculs, et de réduire, suivant la proportion indiquée auN° 264. 'la charge permanente à faire porter aux piliers dont il s’agit.

•">04 - Oe la f O) me la plus avantageuse a donner aux piliers ou supports isolés des édifices. Le problème qui vient de nous occuper dans l’article précédent, donne lieu à une question fort intéressante concernant la loi suivant laquelle on doit agrandir l’aire des sections ou assises horizontales des piliers, pour que la charge qu’elles supportent soit la même en tous les points.

Soit (Fig. 49) abdc une assise ou tranche très-mince d’un pilier en pierre.

DES RÉSISTANCES

dont ABDC représente le profil. La surface de la base supérieure ab dcette tranche, aura a supporter tout le poids delà partie abi, A du ni lier" et de la surcharge en AB , s’il en existe. Celle de la base inférieure cd aura a supporter les mêmes poids , plus celui de la tranche abcd «ueFon considéré; donc faire de «Ç devra surpasser celle de «A, de toute la quan i,te relative a ce dernier poids. Or, si, pour fixer les idées, nous supposons les differentes sections du pilier, circulaires, et ayant leurs centres situés sur t axe vertical IL , la tranche abdc pourra être considérée comme un petit tronc de cône, ayant pour volume le produit de sa section moyenne m^par son épaisseur ai mesurée sur la verticale du pointa, c’est-à-dire K.mo-.ai; étant égal à 5 , 1416 , et o étant le centre du cercle moyen dont

J) un autre côté, si nous supposons qu’on projette verticalement le cerne ab, sur le plan de la section cd, on verra que l’excès de cette der- " ie i î e A llr . a ^ ser f mesure par une couronne circulaire ayant pour surface le prouuu de sa largeur constante ci, par la circonférence movenne qui reposa au diamètre »», c’est-à-dire Donc, si nous nommons »

.e poids au métré cube de la matière du pilier, et k—-\ R (244 et 264 )

r»” 18 "?” 16 < ï u ’ on ve f l fail ’e supporter, par mètre carré de"surface. aux differentes sections horizontales de ce pilier, on devra avoir (i apres la condition indiquée ci-dessus, ?

p • 7*- , tno . ai = k . eî . 2 7 , r . mo .

quelle que soit l’assise ou la tranche horizontale que l’on veuille considérer.

„„f " r d IIl S l nt f esdeux rnembres de celte égalité, par le produit x . mo . -lai en est facteur commun , elle deviendra

p . mo . ai = . ci , ou mo — ' ~ ,

p ai

eUile pourra, dans chaque cas , servir à calculer mo, quand le rapport

ÏWlinai«nn°!J 1 ! nc ! !naiS0Q de la S enéra trice ac, sûr l’axe IL, c’est-à-dire ■ ■ 7 tangente en »*, a la courbe de profil du pilier, sera

S 3 “f non ’ et/eciproquement. Or nous allons voir que cela suffit pour

rnfnnw, 6 8 , de tracer cette courbe -> de P rocb e en proche , avec un p r i appioïwnatron très-suffisant pour la pratique.

p.* 1 ?r°a Se0 -r ’ en , e ^ et ’ direction deçà jusqu’à sa rencontre en t, avec au pilier; la triangle cai , semblable au triangle mto , donnera,

par les principes de Géométrie connus, ’

p> , ai : °i ” °t ! mo , ou mo X a * ==' ci X ot.

Cf nhe i a £ a , 0nc 'Ç P r() duit mo . ai , par sa valeur dans l’équation ci-dessus, va ? t ? ue 01 devient facteur commun aux deux membres , et peut

eue supprime, on aura ' ’ F

p.ot = lk‘ d’où l’on tire ot =

la d^tance ot, qu’on nomme la soutangente de la courbe AmC du par rapport à l'axe IL , doit être une quantité constante et facile à calculer dans chaque cas.

1 dans celui de la pierre de Jaumont dont il a déjà été i ne {-MJ.) , on aura, en prenant le mètre pour unité ,

? = 2200k, k = ~ ISOOOOOt = I800ü0tîi et par conséquent

ce

fitti annonce que les

9 k lüuvu ot=~ = — =I6ô rn , 64 ;

inclinaisons des éléments

de la courbe . sur

l’axe IL, ou la verticale , seront extrêmement faibles, et d autant moindres que les rayons mo des sections correspondantes , seront eux-mêmes plus petits. D’après cette donnée, rien ne serait plus facile que de construire, de proche en proche, la courbe du profil A»*C du pilier , soit en partant du sommet AB . s’il va surcharge, soit en partant de la base CD , s’il ne doit point y en avoir. Sans nous arrêter à ces détails . auxquels le lecteur suppléera facilement, nous ferons remarquer que la courbe dont il s’agit est précisément celle que les géomètres nomment logarithmique , parce qu’elle est telle que ses abscisses ol, prises par rapport au sommet I du pilier, ont un rapport déterminé avec les logarithmes hyperboliques des ordonnées correspondantes (198). C’est ce qu’il est facile de démontrer (1) à l'aide de l’équation p . mo . ai = %k . ci, trouvée ci-dessus , et de considérations géométriques semblables à celles que nous avons mises en usage dans les N os 181 et 19S ; mais nous nous contenterons d'indiquer ici les résultats, pour ceux des lecteurs qui désireraient les appliquer en se servant de la table (N° II) , placée à la fin de ce volume.

Dans le cas d’une surcharge , de Q kilogrammes, placée sur le sommet delà colonne, on aura, en nommant 6, le rayon AI, de ce sommet, qui sera déterminé parla relation

k.7r.P = Q, d'où h =

(i) Pour s’en convaincre, il n’y a qu’à tirer de l’équation p.mo.aiz=z‘i'k.ci dont il s’agit, Sa videur de ai , égale à l’accroissement rs de l’abscisse Jr de a, et à laquelle correspond l’accroissement ci qu’a subi 9 de a en c, l’ordonnée ar , de la courbe, qui peut être substituée à l’ordonnée moyenne mo , dans l’équation ci-dessus, si l’on suppose l’intervalle fri ou rs infiniment petit. On aura ainsi

ik ci

ai ou rs= — -X — ;

p ar

ce qui montre que, pour obtenir l’abscisse entière Is, il faudra faire la somme correspondante des valeurs du quotient — ou du produit — . ci y relatives aux différents accrois-

semenfs infiniment petits, ci reçus, par l’ordonnée ar, depuis A, jusqu’au point déter-

ik

miné c, puis multiplier le résultat par le facteur commun et constant 5 opération q ul i

ici encore, s’effectue approximativement, par la méthode du J\° 1805 c’est-à-dire en cal

cuiant l’aire de la courbe qui a pour ordonnées les différentes valeurs de — , et, pour

accroissements d’abscisses , les valeurs correspondantes de ci , qui sout les accroissements mêmes des perpendiculaires ou rayons ar de la colonne. Or la courbe dont il s agit ne sera évidemment autre chose (181) que l’hyperbole équilatère construite sur ces même’ ordonnées et abscisses : d’où il est aisé de conclure, d’après les observations du N° i£) 8 > qu’en effet , la longueur Ir ou I.s , des abscisses propres du profil de la colonne , ont les rapports indiqués avec les ordonnées correspondantes, ar ou es , etc.

En général , on voit que , si la différentielle ou l’accroissement infiniment petit dy d une quantité y, variable avec une autre x, dont elle dépend, doit demeurer proportionne

au produit —-dx, de sa valeur inverse par l’accroissement correspondant dx de cette autre, X r

la première peut toujours être déterminée par l’aire d’une certaine portion d’hyperbole «q u! ‘ latère, ou par le logarithme népérien qui représente celte aire»

DES RÉSISTANCES

ol= — X lo 9-

mo ~b ’

et, dans celui où il n’existe pas de surcharge et où l’on se donne, à priori le rayon CL = B, de la base du pilier, on aura, à l’inverse,

oL = — X l°g- — ;

p mo

relations qui serviront à calculer les distances ol et oL, répondant à un rayon quelconque mo , au moyen de la table déjà citée.

Il est parfaitement évident, d’ailleurs, que tous les résultats qui précèdent sont indépendants de la forme, pleine ou évidée, des sections du pilier, pourvu que ces sections soient, pour les diverses assises, semblables et semblablement disposées autour de l’axe IL.

503. Application particulière ; limite de l'élévation des édifices. Prenons

toujours pour exemple, la pierre de Jaumont qui donne

et supposons que le pilier doive porter une surcharge de 250000- sur le sommet. On calculera le rayon b, par la relation

= 230000k, ou 180000k, 5,1416.5- = 230000 tii ; ce qui donnera

a très-peu près. Mettant cette valeur et celle de— dans l’avant-dernière des

formules du N° 504, elle deviendra

ol = 165 m ,64 X %•

Cela posé, demandons-nous à quelle hauteur, au-dessous de AB, se trouve placée la section mn dont le rayon mo = 2 m ,28. On aura à chercher, dans la table (N° II), le logarithme du quotient de 2,28 et de 0,67, quotient qui est 3,404 environ; on trouvera, pour celui du nombre 5,40 qui en approche le plus, en dessous, 4,22578; mais, comme le nombre proposé lui est supérieur de 0,004, et qu’une différence de 0,01, pour ceux de la table, «n donne une de 0,00295 dans les logarithmes correspondants, nous devons augmenter notre premier résultat des 0,4 de 0,00295, on de 0,00147 environ ; ce qui donne finalement, pour la valeur approchée du logarithme de 3,404, le nombre 1,22493, ou 1,223, avec une exactitude très-suffisante. Ainsi on aura

ol = 463-, 64.1, 223 = 200”, 46.

On trouverait de même, les autres coordonnées de la courbe, soit dans le cas dont il s’agit ici, soit dans celui qui répond à la dernière des formules du N» 504.

La hauteur qui vient d’être trouvée paraîtra énorme, et néanmoins elle croîtrait indéfiniment, quoique lentement, avec mo .- par exemple, pour mo = dix fois 0 m , 67 = 6 m ,7, on trouverait :

ol = 163”, 64.2, 5026 = 576”, 8,

toujours en se servant de la table ; ce qui semblerait prouver qu’avec de l’art, il serait possible de donner à nos édifices publics, beaucoup plus de

légèreté et de hardiesse qu’ils n’eu possèdent actuellement. Mais il ne faut pas trop se hâter de tirer de pareilles conséquences, du résultat de calculs fondés sur des suppositions plus ou moins abstraites, et dans lesquels on ne tient pas compte de toutes les circonstances influentes, de toutes les chances de rupture et d’instabilité. Toutefois, ce ne saurait être un motif de négliger les indications de la théorie : lorsqu’elles peuvent s’accorder avec les prescriptions du goût et des convenances locales, elles conduisent toujours à des économies de construction qu’on n’oserait se permettre à priori , sans le secours du calcul.

S06. Observation s relatives à la forme de quelques parties des édifices des objets naturels. On peut croire, sans trop s’aventurer, que des considérations du genre de celles qui viennent d’être mises en avant , n’ont point été totalement étrangères à l’établissement de quelques-unes des parties essentielles des édifices modernes, qui sont généralement constituées de blocs disjoints d’assez faibles échantillons , ou d’assises de pierres simplement unies par du mortier. La forme conique ou conoïdale , adoptée pour les colonnes isolées, notamment celle que le célèbre ingénieur anglais, Smeaton, a donnée à la tour et aux contreforts extérieurs du phare d’Eddvstone,nous semblent tirer leur origine d’idées plus(ou moins analogues a celtesqui viennent d’être exposées. A la vérité, les édifices isolés, du genre des phares, et surtout celui d’Eddystone , dont le pied est violemment battu par les vagues de la mer, sont soumis à 1 action de causes destructrices en apparence beaucoup plus puissantes que celles qui dérivent delà simple compressibilité des matériaux, et parmi lesquelles on doit particulièrement citer le choc de l’air en mouvement ou du vent, dont nous apprendrons plus tard à apprécier l’influence , mais il y a cela d’heureux, que l’élargissement successif et rapide delà base des édifices, en raison de l’accroissement de leur hauteur , favorise la stabilité contre l’action de l’air et les causes d’ébranlement quelconques , avec d autant plus d’efficacité que cette hauteur est elle-même plus considérable: de sorte qu’en adoptant la forme logarithmique dont il s’agit, et qui, d’après l’observation déjà faite, s’applique tout aussi bien aux massifs pleins qua ceux qui sont évidés, il est toujours possible de satisfaire, a la rois, a toutes les conditions de stabilité.

Au surplus, cette même forme s observe egalement dans la structure des tiges verticales des grands végétaux, notamment dans celle des arbres, donc le tronc, surmonté d’une tête épaisse, offre presque toujours , une p-rande prise à l’action du vent, réunie à un grand poids. Le principe qui consiste dans l’agrandissement progressif de la base des corps, semblerait donc être l’une des conditions d’économie que la nature s impose dans ses œuvres, et dont elle offre d’ailleurs beaucoup d’autres exemples non moins remarquables,- dans l’évidement des tiges des roseaux et des graminées

^OnTièntde voir comment, dans un support isolé, composé de diverses assises indépendantes , la prèssion croissant du sommet a la base , w ‘ nécessaire d’adopter pour leur profil, une forme conoïdale ou logarilhniiqu • Mais il n’en est pas tout-à-fait ainsi des colonnes monolithes ou compose d’un seul bloc de pierre, supposées ou non surchargées au sommet. » dans un solide homogène de cette espèce , dont la forme sera it , P exemple, cylindrique, la section de moindre résistance, celle pour îaq ” le renflement transversal serait le plus grand avant l’instant de da ruptu ^ se trouve, d’après le raisonnement et l’expérience (240, et -oi) , , e tantôt vers le milieu de sa hauteur, lorsqu’on peut négliger son j * ^ propre vis-à-vis de celui de la surcharge, tantôt un peu au-dessous milieu,’ lorsqu’il devient nécessaire de tenir compte de l’influence tw

DES RÉSISTANCES. 241

poids dans ie cas de colonnes très-élevées. Il en résulte que ce ne sont pas précisément les parties voisines de cette base qu’il faut le plus fortifier, mais bien celles qui se trouvent situées un peu au-dessus, vers la section de moindre résistance dont il s’agit. Or cette observation, fort simple, donne une explication plausible des motifs qui ont pu conduire les Grecs, ce peuple si plein de goût et de véritable génie, à renfler le fût de leurs colonnes suivant la forme de la conchoïde , dont le tracé est bien connu des architectes , et qui se rapproche beaucoup de celle de la logarithmique, vers la partie élevée de la colonne, où elle a pour asymptote i’axe même de cette colonne. En général, on aperçoit que les formes, les proportions et les principales dispositions adoptées dans les monuments de l’antiquité, ne sont point le résultatd’un pur caprice ou d'un simple esprit d'imitation, comme on pourrait l’admettre d’après un premier examen; mais qu’elles dérivent pour la plupart, de règles qui ont leur source dans les faits de l’expérience et la puissance du raisonnement. L’architecture gothique ellemême, si bizarre qu’elle paraisse, est fondée, comme on l’a aussi reconnu , sur les principes d’économie et de stabilité des diverses parties des édifices , combinés avec ceux qui dérivent des idées religieuses et mystiques de l’époque.

507. Calcul de F équarrissage à donner aux supports en bois. Considérons un poteau carré, en chêne, posé de bout, et qui doit supporter une portion connue du poids dont est chargé un plancher ou une construction supérieure quelconque. Supposons notamment que ce poteau, vertical, doive avoir 42r ds ou o m ,90 de hauteur, et porter une charge de 280ü0 kil °s à son sommet; cela po^é, demandons-nous quelles sont les dimensions horizontales qu’il conviendra de lui donner, non-seulement afin de l’empêcher de rompre ou de fléchir transversalement, mais encore pour être certain que son élasticité ne sera aucunement altérée ; enfin demandons-nous aussi quel sera le tassement ou l’accourcissement que sa hauteur pourra subir, et assignons-lui des limites convenables.

Comme nous ne connaissons pas, à priori, le côté des sections horizontales de cette pièce, dont le rapport à la hauteur exerce ici (269), une influence très-appréciable, faisons une hypothèse : supposons-lede0 m ,50, ou égal à § environ de sa hauteur totale ; on trouvera d’après les observations decenuméro. que chacun des millimètres carrés de la section dont il s’agit, pourra supporter, d’une manière permanente, un poids d’au moins 0t,50. Nommant'donc x, le nombre, inconnu, des millimètres contenus dans le côté de la pièce, x 2 sera celui des millimètres carrés contenus dans l’aire de sa section, et l’on aura, pour calculer x. la relation

0,5 x 2 = 28000k ; d’où x — f/95555 = 505,3 mifiim.

Mais ces 505.5 millimètres ne sont guère que le treizième de la hauteur de la pièce ; donc on devra augmenter de quelque chose l’équarrissage trouvé. Afin de le découvrir, on remarquera, toujours d’après le numéro 269, que, pour une telle proportion entre la hauteur et le côté de la section, la résistance doit-être supposée réduite aux f environ de 0k,50 gu à 0t,9g p ar millimètre carré ; refaisant, en conséquence, les calculs dans

cette hypothèse, on trouvera

x = 2 [/ 28000 = 534.6 miliim. ; c’est-à-dire un équarrissage de près de ioP° de côté.

Pour calculer la quantité dont la pièce s’accourcira, on remarquera que, sous la faible charge de 0k.9g p ar millimètre carré, sa force d’élasticité ne saurait être aucunement altérée, et qu’elle peut-être supposée (256 et 269) la même, à peu près, que si les fibres se trouvaient allongées au beu d’êtie accourcies. On aura donc, d’après iesN M 274 et 275. la formule P = 4200 Al kilos- ,

l rs PARTIE.

Si

de laquelle, en faisant P= 28000k, et A — (535) 2 = 112200 millimètres carrés environ, on tire : i = 0,00021 pour raccourcissement proportionnel de la pièce; ce qui donne finalement, pour son tassement total, 5 m , 9. 0,00021 = 0 m ,0008 environ. Ce tassement est trop faible évidemment pour qu’il soit nécessaire de s’en inquiéter dans les constructions, quand bien même on y comprendrait celui qui provient du refoulement inévitable des fibres aux deux bouts de la pièce, et qui ne peut guère être inférieur au premier, lorsque les faces n’ont pas été exactement dressées et dégauchies. Au surplus, s’il ne s’agissait que d’une construction provisoire, et qui n e dût, par exemple, subsister que pendant le cours d’une seule année, on pourrait évidemment (270 et suiv.) diminuer, de beaucoup, l’équarrissage obtenu par ces calculs, et courir la chance d’un plus grand tassement des fibres sans compromettre la solidité de 1 édifice.

Dans cette hypothèse . il n’y aurait certainement aucun danger (268 et 272) à porter jusqu’à 1M0 == \ 4k, 00, par millimètre carré de section, la charge absolue de la pièce que précédemment, on avait prise égale à0t,30 seulement, et, en répétant les calculs de tâtonnement ci-dessus, on trouvera finalement, x = 220 millimètres environ, attendu encore qu’ici l’épaisseur de la pièce n’excédant pas le yj de sa hauteur , on doit réduire la charge (269) à 0,6.ik,00 = 0k,60 à très-peu près.

508. Question relative aux effets mécaniques de la chaleur. Proposonsnous de rechercher quel est l’effort de traction qui serait exercé , par une barre de fer de o m ,5 de longueur, 60 millimètres de largeur et 30 millimètres d’épaisseur, contre deux supports invariables, dans lesquels ses extrémités auraient été solidement encastrées, à la température atmosphérique de 28° centigrades, lorsque cette même température vient ensuite à s’abaisser à 10° au-dessous dezéro, c’est-à-dire diminue, en totalité, de 38» centigrades. On trouve, en premier lieu, d’après la table du N° 26, que l’allongement ou la dilatation, par mètre , étant de 0 01 , 00122 pour lüO» d’élévation de température , il sera de 58.0 ra ,0000122 = 0 m , 000464, également par mètre, pour 58°, et, comme les contractions et dilatations correspondantes aux mêmes abaissements ou élévations de température, sont égales, on voit que 0 m , 000464 sera aussi l’accourcissement que tendrait à prendre la barre, si elle était parfaitement libre. Mais, par hypothèse, elle reste allongée de toute cette quantité, par mètre courant de longueur, en raison de la résistance des supports ; elle les sollicitera donc en vertu d’un certain effort qu’on trouvera (236) par la formule P = EAi kilog. ,

attendu que l'allongement dont il s’agit ne dépasse pas la limite d’élasticité naturelle du fer (298).

Dans cette formule d’ailleurs , on devra prendre A = 60 . 50 == 1800, E == 20000 (ibid.), si l’on adopte le millimètre carré pour l’unité d’aire de la section ; ce qui donnera pour l’effort P, attendu qu’ici i — 0,000464 ,

P = 20000 X 1800 X 0,000464 = 16700kU.

Par conséquent, si, au lieu d’être inébranlable, chacun des supports n’est susceptible que d’une résistance limitée, il cédera jusqu’à l’instant où cette résistance sera précisément égale à la force de traction correspondante de la barre , force que , pour un déplacement donné des poinu d’attache , on pourra calculer au moyen de la formule ci-dessus ou u celle-ci

P X 20000 X 1800 i = 56000000 i kilog., en ayant soin de diviser ce déplacement total , mesuré dans le sens de la

DES RÉSISTANCES. 4g

barre , par la longueur entière de cette barre . afin d’en conclure l’allongement i , par mètre , qui entre dans la formule.

Quant au cas où , au lieu d’une contraction , la barre , déjà encastrée à ses extrémités , subirait une dilatation par suite d’une élévation ultérieure de température, le petit nombre des données que l’on possède sur la résistance des métaux à la compression (281 et suivants) , même aux températures ordinaires , ne permettrait pas de calculer, avec une suffisante exactitude, les efforts qui seraient dus à celte dilatation, et qui pourraient être accompagnés, dans quelques cas, d’une flexion transversale, d’une altération moléculaire dont il deviendrait bien difficile de tenir compte dans l’état actuel de nos connaissances.

509. Remarques diverses sur l'application du calcul à ces effets. Les calculs que nous venons d’exposer, donnent une idée de la manière dont on peut avoir égard aux effets mécaniques dus à l’application de la chaleur aux pièces métalliques qui entrent dans la constitution des édifices, et dont nous avons cité plusieurs exemples dans les préliminaires de cet ouvrage (25). Les changements de température que nous avons eu à considérer dans ces calculs, étaient assez faibles . en effet, pour qu’il nous fût permis de supposer la résistance élastique de la barre à peu près constante dans les deux états. Mais , si la variation de température à laquelle se trouve soumise une pièce de fer, était capable d’amener un changement notable dans sa constitution moléculaire , si , par exemple , on prétendait appliquer ces calculs au cas des bandes ou frettes de roues , aux ceintures des dômes des grands édifices , etc. , pour la pose desquelles on fait usage d’une assez haute température, alors il deviendrait nécessaire d’avoir égard à ce changement d’état moléculaire , lors du refroidissement du fer , soit sous le rapport de l’affaiblissement de la ténacité provenant du recuit , soit sous celui de l’altération de l'élasticité qui résulte de l’étendue même des allongements ou des contractions subis par chaque pièce:, et c’est à quoi on parviendrait, d’une manière approximative, à l’aide des données de la table du N° 289 , ou d’une table analogue , si la loi des dilatations relatives à de hautes températures, était suffisamment bien connue. Or il s’en faut de beaucoup qu’il en soit ainsi ; et l’on sait , par les savants travaux de MM. Duiong et Petit , dans lesquels le platine , le fer et le cuivre notamment, ont été soumis à des températures de 500° centigrades, que les dilatations suivent une marche progressivement croissante , variable avec la nature et l’état moléculaire de chaque corps. Toujours est-il que les effets dus à la contraction et à la dilatation des métaux par suite des changements de la température , doivent être d’autant plus considérables, que ces changements le sont eux-mêmes davantage.

Quant aux allongements qui répondent à la limite de l’élasticité naturelle de chaque métal, on peut s’assurer, par la comparaison des nombres de la table du N° 298 , avec ceux qui sont rapportés en détail dans les traités de physique, et dont nous avons donné un simple extrait au N° 26 , que , pour le plomb , le laiton et le fer ductile , ou recuit en particulier, ces allongements correspondent toujours à des températures inférieuresàlOO 0 , et auxquelles par conséquent les calculs ci-dessus demeurent applicables.

En effet , pour les métaux dont il s’agit , les allongements relatifs à la limite a élasticité , étant respectivement de 0,00067, 0,00155 et 0,00054, on trouvera, pour les limites correspondantes de la température, les nombres 4 ô°,d, 69°, 8 et 46°, 6 environ.

Remarquons, au surplus, que. si les résultats des expériences citées au 28o , n'ont pas jusqu’ici permis de constater avec exactitude, les différences de ténacité dues aux variations de température, cela tient ussentiellement aux nombreuses causes d’incertitude qui accompagnent le

phénomène de la rupture , et , surtout à l’impossibilité d’opérer constamment sur un même corps ou sur des corps identiques. Or ces difficultés ne se présenteraient pas , si i’on se bornait à observer la loi des premiers allongements en deçà de la limite où l’élasticité s’aitère , et l’on ne saurait trop encourager les physiciens et les ingénieurs à entreprendre de semblables expériences. Il serait possible , en effet , d’y tenir un compte exact des variations de la température , qui , pour les fils métalliques en particulier, doivent, comme on l’a vu, exercer sur ces premiers allongements, une influence très-comparable à celle des poids mêmes que ces fils supportent , et desquels on conclut spécialement les valeurs du coefficient d’élasticité.

A l’égard des bois , des pierres , et autres corps spongieux , on sait que l’influence des changements de la température peut, être , en partie, masquée (il) par ceile de l’état hygrométrique de l’air, de sorte qu’il deviendrait nécessaire d’en étudier séparément les effets , si l’on tenait à une rigoureuse exactitude. Mais , comme la quantité d’humidité ou de vapeur d’eau, contenue dans l’air atmosphérique à l’état naturel, est assez étroitement liée à l’élévation de sa température, il suffirait, quant à l’objet des applications ordinaires , de tenir note de cette dernière , dont les effets mécaniques, sur les pierres dupont de Souillac , ont été spécialement signalés et étudiés par M. Vicat , dans un intéressant article inséré aux

Annales des ponts et chaussées.

510. Formules et calculs relatifs à T influence exercée parle poids des prismes sur leur résistance à l’allongement. Soit AB (fig. 50) , un prisme homogène , de longueur L et de section A , suspendu verticalement à un point fixe, A, et chargé à son extrémité inférieure , B , d’un poids Q : nommons D la densité , et p = A . D le poids de l’unité de longueur ou du mètre courant de ce prisme. Considérons, en particulier, l’un de ces éléments , abcd, de longueur infiniment petite , ab ou cd , de poids p . ah , et situé à la distance 6B , de l’extrémité inférieure B dont il s’agit ; ab et SB se rapportant, de même que L ou AB , A et p , à l’état primitif ou naturel de ce prisme , c’est-à-dire à celui qui correspond , par exemple , au cas où il se trouverait posé , dans toute sa longueur, sur une table de niveau, sans être sollicité par aucune force. Il est évident que , pour la position verticale, l’élément ab , se trouvant chargé , dans l’état d’équilibre, du poids O , augmente de celui p . AB , qui correspond à toute la longueur *B, il s’allongera d’ime fraction i , de ab , qu’on trouvera au moyen de la formule duN°2ob, laquelle , en remplaçant ici P par Q + p . &B , donnera

Q+p.bB A.E ’

et , par conséquent, pour l’allongement absolu de ab ,

Q+P-tâ ah I Q , f-M \ \A.E ' A.E)

i.ab-

ai;

formule qui aura lieu pour un élément quelconque du prisme, et qui suppose seulement que la charge , Q + P ■ MB , n’exeède jamais la limite pour laquelle l’élasticité cesse d’être parfaite , ou les allongements, d’être proportionnels aux charges correspondantes.

Allongement delà partie inférieure du prisme. Si l’on veut maintenant O

tenir la quantité dont se sera allongée toute la partie b B du prisme, il faudra évidemment faire la somme de toutes les valeurs du produit in fm un en petit, i. ab , relatives aux différents éléments semblables, qui sont cornu depuis le premier , abcd, jusqu’au point d’attache, B, du poids O. Or c = à quoi l’on parviendra, par les méthodes dont on a fait usage notamm

DES RÉSISTANCES

aux N os 108 , 110 et 155 , c'est-à dire en élevant aux’extrémités b de ees éléments , des ordonnées ou perpendiculaires. bh r , à Taxe du prisme nui soient proportionnelles ou égales aux valeurs correspondantes de i Car ces ordonnées se composant, d’après la formule ci-dessus qui donne f, d’une

première quantité ou longueur constante bn = (OB' =— S— , et d’une , A . E p.JB

autre, nb qui croît proportionnellement à la distance &B, de

chaque élément à l’extrémité inférieure du prisme, ces ordonnées disonsnous , auront toutes leurs extrémités, B' , b’ , A', situées sur une même droite , AB inclinée par rapport à l’axe AB. et qui formera, avec la de fi axe : et ses ordonnées extrêmes. BB' et JJ' . un trapèze

Kb'/i h flnnr rtnro / 7 * 5

p ■ JB

BB 'b'b , dont l’aire

j AB (BB' -j- JJ') = JB (BB' -f- } nb’) ou iB

représentera l’allongement total subi par la partie bB.

Allongement de la partie supérieure Ab. Cet allongement sera évidemment donné par Faire du trapèze correspondant , bb' A' A , qui a pour mesure

1 h A (AA' -f bb') = x b A attendu qu’on a ici