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tout . entier^ et qui s étendent dans toute sa longueur, parallèle*ment à ses arêtes. Parmi ces portions de fibres comprises entre^ les sections mn, m'n\ il y en a nécessairement qui se sont allongées et d’autres qui se sont raccourcies par suite de la déformation du solide \ car, si elles s étaient toutes allongées ou toutesraccourcies, la somme des composantes normales à mn des actions moléculaires exercées par A sur B ne pourrait pas être nulle, comme l’indiquent la première des trois propositions précédentes. On comprend donc que, entre les fibres qui se sont allongées et celles qui se sont raccourcies, il doit y en avoir quin’ont subi ni allongement ni raccourcissement : ces fibres intermédiaires, dont les éléments n’ont pas changé de longueur, malgré la déformation du solide, se nomment fibres neutres. Nous admettrons que les points où les fibres neutres rencontrent leplan de la section mn sont tous situés sur une même ligne droite^ ÜU', fig. 08, perpendiculaire au plan de symétrie; nous prendrons cette droite et une droite VV', dirigée suivant l’intersection de mn avec le plan de symétrie, pour axes coordonnés dans le plan de la section mn^ et nous désignerons par wet ï) les coordonnées d’un point quelconque par rapport à ces axes.

Soit pp', fig. 97, la fibre neutre située dans le plan de symétrie, désignons par p le rayon de courbure pC de cette fibre en p, après que le solide a subi sa déformation. Considérons un élément qq' d’une fibre quelconque, dont le point de rencontre avec le plan-T^î^i a pour coordonnées k, u, dans ce plan, et dont la section transversale a pour aire w. La longueur de cet élément était primitivement pp\ puisque les plans mn^mn étaient parallèles. Après la déformation du so—

’ — -- : cet élément s’est donc P

lide, elle est devenue égale à pp'

«allongé de pp' — , et par conséquent — est le rapport de s^n

allongement à sa longueur primitive. D’après cela, si nous nom-

inons y la force normale à mn, qui produit rallongement de l’élément nous aurons (§ 19G)

Nous pouvons regarder la force <f comme étant une des composantes normales à mn des actions moléculaires exercées par la partie A du solide sur la partie B ; la somme de ces composantes ayant pour valeur

. — 'ï.tùVy

•et devant être nulle d’après ce qui précède, il s’ensuit qu’on a

loyX = 0,

Ce résultat nous montre que le centre de gravité de la section wn est situé sur l’axe Uü' (§ 106); et comme d’ailleurs, en raison de la symétrie, ce centre de gravité se trouve nécessairement sur VV', il en résulte qu’il est au point d’intersection O de CCS deux axes ; donc, déjà la fibre neutre située dans le plan de symétrie passe par le centre de gravité d’une section normale quelconque mn.

D’après la troisième des propositions énoncées ci-dessus relalivement à l’équilibre de la partie B du solide, la somme des moments des forces telles que ^ par rapport à l’axe UU' est égale au moment de la force F, par rapport à cet axe, ou bien au moment du couple C ; cette somme de moments a pour valeur

on lui donne le nom de moment d'élasticité. En égalant, le mo- - ment d’élasticité au moment du couple C, ou bien au moment . de la force F par rapport à UU', on aura une équation qui fera eonnailre le rayon de courbure p de la fibre neutre pp' au point Py et qui déterminera par conséquent la forme de celte fibre dans toute sa longueur, ce qui est précisément le but que nous nous proposons d’atteindre. Nous savons que, si la fibre neutre

fcQi:iUBRE DES SOLIDES NATURELS.

est rapportée à des axes coordonnés rectangulaires tracés dans son plan, on a pour p la valeur

Mais nous avons admis que la déformation du solide est trèspetite; de sorte que, si nous prenons pour axe des a? la ligne droite suivant laquelle la fibre neutre était primitivement dirigée , ^ est une petite quantité dont nous pouvons négliger le

carré à côté de l’unité. Nous pouvons donc prendre pour p la valeur simple

et si nous désignons par p. le facteur l’expression du moment d’élasticité deviendra

La quantité y., ou dépend uniquement de la forme de

la section transversale mn du solide; on peut la déterminer en prenant poui’ élément w de cette section, le rectrangle infiniment petit dont les côtés, parallèles aux axes OU, OV, fy/ 98, sont égaux à (/n et dr, en sorte que l’on aura

p. = IJ* vhlndv,

les limites de rintégrale double étant fournies par la forme du • contour de la section wm. Cette quantité y. est ce qu’on nomme le moment d’inertie de la section mn par rapport à l’axe OU, N’ous verrons plus tard d’où vient ce nom, et nous établirons des théorèmes importants sur les moments d’inertie. Pour le moment, nous nous contenterons de faire connaître la valeur y. j)Our diverses formes simples attribuées »à la section mn. Si mn

est un rectangle de base b et de hauteur 2u-, la base b étant parallèle à UU-, on a

= 1 = i na%

en désignant par a la surface du rectangle. Si mn est un triangle isocèle de base b et de hauteur la base étant parallèle à UU', on a

{* = 3^ bh'-^ — lî

a étant encore la surface du triangle. Si mn est un cercle plein

de rayon r, on a

{1 i 77r'* = \ nr-.

Enfin, si' mn est l’espace compris entre deux circonférences de cercle concentriques de rayons r et r', on a

a = i Tz{r'^ — r"‘) = I a (r^ + r'-).

§ 198. Nous allons donner plusieurs exemples de l’application de la théorie qui vient d’ètre exposée, à la détermination de la forme d’équilibre d’un solide prismatique soumis à l’action de orces qui le font fléchir transversalement.

Supposons d’abord que le solide soit encastré à l’une de ses extrémités, fig. 09, de telle sorte que, non-seulement l’extrémité O de la fibre neutre soit fixe, mais encore que ^ la tangente à cette fibre en O ne puisse pas changer de direction. Si k* prisme est soumis à l’action d’une seule force F, agissant à l’autre extrémité et perpendiculairement h la direction primitive OX de la fibre neutre, on devra exprimer que le moment de la force F par rapport au point;), où la fibre neutre perce le plan mn d’une section trans^

Fig. 99.

versale quelconque, est égal au moment d’élasticité du prisme correspondant à cette section.

D’après cela, si j; et y sont les coordonnées du point p par rapport aux axes OX, OY, et si l est la longueur primitive du prisme, longueur qu’on peut prendre sans erreur appréciable pour l’abscisse du point d’application de la force F, on aura

dy

d’où, en intégrant et obsen-ant que |/et ^ sont nuis pourx=0

QfX

telle est l’équation dd la courbe formée par la fibre neutre, par suite de l’action de la force F. La flèche produite par l’action , de la force F, c’est-à-dire la quantité dont l’extrémité de la fibre neutre s’est écartée de l’axe OX, s’obtient en faisant x = l dans la valeur de y, ce qui donne

Supposons maintenant que, le prisme étant dans les mêmes conditions que précédemment , il soit soumis uniquement à Faction de la pesanteur dirigée parallèlement à l’axe OY. La résultante des actions de la pesanteur sur les diverses molécules •de la portion du prisme qui se trouve à droite de la section mn a pour valeur p (/ — x), en désignant par p le poids de l’unité •de longueur du prisme, et son point d’application est situé au milieu de celte portion du prisme; le moment de cette force par rapport au point p est donc égal à

il s’ensuit qu’on a * '

dx^

= \pU-^xy:.

(Toù, en intégrant et observant que V ^ doivent être nuis pour X = Oy

On en déduit pour la flèche /*, produite par Faction de la pesanteur,

8ËjI'

Si le prisme, toujours dans les mêntes conditions que précédemment, est soumis à la fois à la pesanteur, et à une force F appliquée à son extrémité et agissant dans le même sens que là pesanteur,, il est aisé de voir que Ton .obtiendra Féquation dé la courbe suivant laquelle se dirige la fibre neutre, en égalant y à la somme des deux valeurs que nous venons de trouver pour cette variable dans les deux cas précédents ; la valeur de la flèche f sera également la somme des flèches correspondant à ces deux cas.

Considérons encore un prisme reposant simplement sur deux

appuis, A, B, fig, 100; et soumis à l’action d’une force F dirigée perpendiculairement à sa longueur. Les résistances parallèles Q et.

Q', que les deux appuis A, B, exercent sur le solide, composées entre elles comme si le

Fig. 100.

solide était invariable de forme, doivent évidemment avoir pour résultante une force égale et directement opposée à la force F ; elles ont donc pour valeurs

vr

, ÉQUILIBRE DES SOLIDES NATURELS. :U.‘t

en désignant par l et T les distances des points Â,' B à la verti* cale OY, ou bien, ce qui est à très-peu près la même chose, les longueurs des deux portions du solide situées de part et d’autre. du point d’application O de la force F. Si nous nous occupons d’abord de la portion du solide qui se trouve à droite du point O, et qui est soumise à l’action de la force Q à son extrémité, nous aurons pour un point quelconque de la fibre neutre de cette portion rapportée aux axes OX, OY,

d’où en intégrant, et obsenant que y est nul pour x —0,

La constante C est la valeur de'-^îi.^n^sporidant'^à

aura de même pour l’autre partie du solide rapportée aux axes. OX , OY,

HiU.

On doit observer que G' est égal à — C ; et que, en outre, y et

y' doivent être égaux pour x = l, et x' = l' : on- en conclut, en tenant compte des valeurs de Q et de Q',

"'-3Ea(/ + 0

Les deux équations précédentes, qui définissent la. forme de chacune des deux portions de la fibre neutre, sont donc complètement déterminées.

Si, au lieu d’une seule force F agissant en un point quelconque de la longueur du prisme soutenu par deux appuis à ses extrémités, on a deux forces F, F', égales, parallèles et appliquées en deux points également éloignés du milieu du prisme, ces deux forces étant d’ailleurs dirigées perpendiculairement à sa longueur, il est clair que les résistances Q et Q' des deux appuis seront égales chacune à l’une des deux forces F, F' dont

il s’agit. Entre les points d’application de ces deux force*. F, F', le moment d’élasticité du prisme doit être partout égal au moment du couple formé par la force F et la résistance Q situées d’un même côté de la section transversale pour laquelle on con-

Eu

sidère ce moment d’élasticité ; d’après la valeur — du moment

d’élasticité, le rayon de courbure p de la fibre neutre est donc constant dans toute la partie comprise entre ces deux points d’application des forces F, F', c’est-à-dire que cette partie de la fibre neutre affecte la forme d’un arc de cercle. Quant aux deux autres portions du prisme, situées en dehors des points d’application des forces F, F', on en déterminera facilement la" forme, en opérant comme précédemment et exprimant qu’elles se raccordent avec la partie moyenne aux points où ces forces F, F' sont appliquées.

Si le prisme, reposant sur deux appuis de même hauteur, est uniquement soumis à l’action de la pesanteur, les résistances

pi

•lies deux appuis sont égales l’une et l’autre à en désignant

par P le poids de l’unité de longueur du prisme, et par l sa 4ongueur totale. En plaçant l’origine des coordonnées au point milieu de la fibre neutre, et n’exprimant que la partie du prisme située à droite d’une section transversale quelconque est en équilibre, sous les actions simultanées de la pesanteur et de la force

^appliquée à son extrémité verticalement et de bas en haut,

-on trouve facilement

d’où l’on déduit

dy

en observant que y est nul pour a; = 0, et que ~ est également nul pour cette valeur de ar, en raison de la symétrie.

Les divers cas que nous venons de considérer suffisent pour montrer la marche que Ton doit suivre pour résoudre toutes les questions de ce genre qui peuvent se présenter.

§ 199. Désignons par R la force-qui serait capable de rompre un prisme ayant une section égale à Tunité de surface, en agissant à Tune des extrémités de ce prisme, et dans le sens de sa longueur, de manière à l’allonger. La force capable de rompre une fibre de section u, en agissait de la même manière, sera égale à Rw. Pour qu’un prisme, soumis à l’action de forces

qui le font fléchir transversalement, ne se rompe ^dans aucune de ses parties, il faut que, pour une fibre quelconque, la force ff (§ 197) soit plus petite que Rw. Si nous nous reportons à la valeur de cette force <p, nous verrons que celte condition revient à celle-ci :

E-<fl;

et il est clair qu’il suffit qu’elle soit satisfaite, dans chaque section transversale, pour la fibre' correspondant à la plus grande valeur de ü, valeur que nous désignerons par V : ainsi on' devra avoir, pour une section quelconque du prisme,

Si nous représentons par M>le moment d’élasticité correspon- ^nt à cette section, nous savons qu’on a

la condition précédente peut donc être remplacée par cette autre

Pour que le prisme que nous considérons ne se rompe dans aucune de ses parties, sous l’action des forces qui lui sont appliquées, il suffit évidemment que la condition que nous venons

d’obtenir soit satisfaite pour la section à laquelle correspond leplus grand moment d’élasticité M ; c’est dans cette section que le prisme commencerait à se rompre si les forces qui le font fléchir étaient suffisamment grandes, et c’est pour cela qu’on lui donnole nom de section de rupture.

Il est aisé, dans chacun des cas que nous avons considérés,, de trouver la section pour' laquelle le moment d’élasticité est lo plus grand ; en effet, on sait que, pour une section quelconque, , ce moment d’élasticité est égal au moment de la résultante F des forces appliquées à la partie du solide qui se trouve d’un côté de la section, pris par rapport au centre de gravité de la section même, ou bien au moment du couple C auquel ces forces^ se réduisent (§ 197). Dans le cas d’un prisme encastré à l’une de ses extrémités et soumis à son poids ou à l’action d’une force appliquée à son autre extrémité, la section de nipture est celle qui se trouve à l’extrémité encastrée. Dans le cas d’un prisme reposant sur deux appuis et soumis à une force qui agit en un point quelconque de sa longueur, la section de rupture est celle qui contient le point d’application de cette force.

§ '200. Ce qui précède peut évidemment s’appliquer sans erreur sensible à un solide allongé non prismatique dont les* sections transversales varient très-peu d’un point à un autre, pourvu que ce solide soit symétrique par rapport à un plan, que les forces qui lui sont appliquées tendent à le faire fléchir parallèlement à ce plan, et que la fibre neutre située dans le plan de symétrie soit rectiligne lorsque le solide n’a encore subi> aucune déformation. On devra, bien entendu, tenir compte de la variation des dimensions des sections transversales que^ nous avions regardées jusqu’à présent comme constantes dans toute la longueur du solide. Un solide de ce genre est dit solided^égale résistance, si, en choisissant convenablement les forces qui lui sont appliquées, on peut avoir

pour toutes les sections.