I.3.5.... (în — 1) 2. 4. G 2n
fer-
D’ailleurs on démontre dans le calcul intégral que l’on a
az — Z* H
(2n — lia 2n
en sorte que, si l’on intègre entre les limites 0 et a, on aura
En remplaçant successivement, dans cette formule, nparn — 1,
puis par n — 2, ensuite parn — 3, enfin par 1 , on obtiendra
n relations, qui, étant multipliées entre elles, donneront
an
az — 2”
OU bien encore, d’après la valeur connue de l’intégrale définie qui est dans le second membre.
a ji.
Cette dernière formule fait connaître les valeurs des intégrales qui entrent dans les divers termes de T, par suite du développement en série du facteur A — ^ *. On trouve ainsi
§ 133. Pendule cycloîdal. — On donne le nom de pendule
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBRE. 189
cycloïdal, à un pendule analogue à celui dont nous venons de nous occuper, mais qui en diffère en ce que le point matériel qui le termine, au lieu de se mouvoirsur un cercle, sc meut sur une cycloïde ABC, fig. 66, dont le plan est vertical et dont la base AC est horizontale.
Pour réaliser un pareil pendule, il suffit de tracer les deux arcs de cycloïde AD, DG dont l’ensemble constitue la développée de la cycloïde ABC, et de disposer deux pièces solides E, F, limitées inférieurement par des surfaces cylindriques droites ayant ces arcs AD, DC pour bases. Si l’on fixe en D l’une des extrémités d’un fil de longueur DB, et qu’on attache un corps pesant à son autre extrémité ; si ensuite on écarte ce corps de sa position d’équilibre B, sans le faire sortir du plan vertical ADG, et qu’on l’abandonne à lui-mème, il est clair qu’il se mouvra le long de la cycloïde ABC, sur laquelle il effectuera une série d’oscillations. Nous allons nous proposer de déterminer la durée de l’une de ces oscillations.
Soient G la position qu’occupe le point matériel au commencement de l’oscillation que nous considérons, et M une quelconque des positions par lesquelles il passe après être parti du point G. Désignons par a et z les distances des points G et M è la tangente à la cycloïde en B, tangente qui est horizontale. Nous aurons pour la vitesse v du mobile en M,
D’un autre côté, en appelant s l’arc GM, on a
d’où l’on tire
fis fis
Si l’on trace le cercle générateur de la cycloïde dans la position qui correspond au point M, la droite menée du point M au point H oii ce cercle touche la base AG est normale à la cycloïde en M; la droite qui joint le point M .'i l’autre extrémité K du diamètre HR est donc la tangente à la courbe. Prenons sur cette tangente une longueur MM' égale à </s, et menons les lignes MN, M'N, respectivement parallèles aux lignes CH, HK. Le triangle MNM' étant semblable au triangle HMK, nous aurons
