CA F CB~ F

on peut dire que le point d’application C de cette résultante est situé sur le prolougement de la droite AB, du côté du point d’application A de la plus grande composante, et qu’il est éloigné des points A et B de quantités inversement proportionnelles aux forces qui sont appliquées à ces points.

Il est aisé de voir que ce que nous venons de dire, relativement à la composition de deux forces parallèles et de sens contraires, suppose essentiellement’que ces deux forces sont inégales: Si l’on voulait passer de là au cas particulier où les deux forces sont égales, en supposant que la plus grande des deux décroît progressivement jusqu’à devenir égale à la plus petite,on trouverait que, dans ce cas particulier, la résultante est nulle et a son point d’application à une distance inGnie des points d’application des deux composantes : cela signif e évidemment que le système de deux forces égales, appliquées à un solide invariable, suivant des directions parallèles, et en sens contraire l’une de 'l’autre, ne peut pas être remplacé par une force unique, c’est-à-dire que ces deux forces n’ont pas de résultante. Un pareil système de forces constitue ce qu’on nomme un couple.

§ t57. Considérons maintenant un c

nombre quelconque de forces parallô- ' y/ t*

les, appliquées en différents points d’un a ® '

solide invariable, et cherchons à déter- r| jj.,

miner la résultante de toutes ces forces, \.n

s'il y en a une. si >

Si toutes les forces parallèles dont il »

s’agit sont dirigées dans un même sens, '

on trouvera leur résultante en opérant de la manière suivante. On composera |

d’abord deux des forces données, F et F', par exemple, (ig. 77, en une seule force R,, qui sera égale 4 F F, et dont le point d'application L, divisera la ligne

AB en deux parties inversement proportionnelles aux forces F et F'; puis on composera cette résultante partielle R, avec une troisième des forces données, avec F" par exemple, ce qui donnera une deuxième résultante partielle R, égale à R, -f- F" ou bien à F -|- F -1- F', et appliquée en un point L, tel que L,L, et CL, soient inversement proportionnels à R, et F" ; ensuite on composera la deuxième résultante partielle R, avec une quatrième force F"'; et ainsi de suite. Il est clair que, en continuant de cette manière, on arrivera tonjours à une force unique R qui pourra tenir lieu de toutes les forces données, et qui sera par conséquent la résultante de ce système de forces. Cette résultante R sera égale à la somme des composantes F, F, F",..., parallèle à chacune d’elles, et dirigée dans le même sens ; son point d’application se déduira de la série des opérations qui déterminent successivement les divers points d’application L,, L,,.... des résultantes partielles R,, R,...

Si les diverses forces parallèles qu’on se propose de composer entre elles ne sont pas dirigées toutes dans le môme sens, on les partagera en deux groupes formés, l’un de celles qui agissent dans un sens, l’autre de celles qui agissent dans le sens opposé. Toutes les forces du premier groupe pourront être remplacées d’après ce que nous venons de dire, par une force unique R' égale à leur somme, dirigée parallèlement à chacune d’elles, et dans le même sens ; il en sera de même des forces du second groupe, auxquelles on pourra substituer une force R" égale à leur somme, parallèle à leur direction commune, et de même sens qu’elles. Ces deux résultantes partielles R', R", qui peuvent remplacer l’ensemble des forces données, et qui sont parallèles et de sens contraires, peuvent en général se composer à leur tour en une seule force R égale à leur différence, agissant parallèlement à chacune d’elles, et dans le sens de la plus grande des deux (§ 156) : la force R ainsi obtenue est la résultante de toutes les forces données. Dans le cas particulier où les résultantes partielles R', R" seraient égales entre elles, sans agir suivant la même ligne droite, on ne pourrait pas les remplacer par une force unique, et alors le système des forces données

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se réduirait à un couple formé par les deux forces R', R". Si les deux forces R', R" étaient égales et agissaient suivant la même ligne droite, comme elles sont de sens contraires, elles se détruiraient mutuellement, ce qui revient à dire qu’elles auraient une résultante nulle : le système des forces données aurait donc une résultante nulle.

§ 1S8. Théorème des moments d'un système de forces parallèles par rapport A un plan. — Nous avons vu {§ 103) que le moment de la résultante de deux forces appliquées à un point, par rapport à une droite quelconque, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à la même droite. Cette proposition est d’ailleurs applicable au cas de deux forces appliquées en deux points différents d’un solide invariable, suivant des directions concourantes (§ 134); et par suite on peut l’appliquer au cas de deux forces parallèles et de même sens, qui est compris comme cas particulier dans le précédent (§ 153).

Supposons que nous choisissions la droite D, par rapport à laquelle nous prenons les moments de deux forces parallèles et de même sens F, F, etde leur résultante R, de telle manière que sa direction fasse un angle droit avec celle des forces ; imaginons en outre que nous menions par cette droite D un plan P parallèle aux directions des forces F, F, R. Il est aisé de voir que le moment de l’une quelconque de ces forces, de la force F par exemple, par rapport à la droite D, n’est autre chose que le produit de la force F par la distance de sa direction au plan P : ce produit est ce qu’on nomme le moment de la force F par rapport au plan P. On peut donc dire, d’après la proposition qui a été rappelée ci-dessus, que le moment de la résultante R par rapport au plan P est égal à la somme des moments des composantes F, F, par rapport à ce plan. C’est en cela que consiste le théorème des moments par rapport à un plan, pour le cas de deux forces parallèles et de même sens. Ce théorème est vrai, quelle que soit la position du plan P relativement aux droites suivant lesquelles agissent les forces F, F, R, et auxquelles il est parallèle, pourvu qu’on attribue un signe convenable au mo-

*50 UYRE III. — DÏNAMIODE. DEUXltllE PARTIE.

ment de chacune des forces par rapport à ce plan. La manière dont ce signe doit être déterminé, résulte de ce qui a été dit (§ 103) relativement au signe qu’on doit attribuer au moment d’une force par rapport à une droite : il est aisé de voir que le moment d’une force par rapport à un plan parallèle à sa direction doit être affecté du signe -|- ou du signe, — suivant que la force est placée d’un côté ou de l’autre du plan.

Après avoir établi le théorème qui précède, dans le cas de deux forces parallèles et de même sens, nous allons l’étendre an cas d’un système quelconque de forces parallèles. Pour cela nous considérerons d'abord le cas de deux forces parallèles et de sens contraires F, F, fig. 76 (page 246). Nous savons que la résultante R de ces deux forces s’obtient en décomposant la force F, que nous supposons plus grande que F, en deux composantes parallèles et de méqae sens, dont l’une, égale à F, soit appliquée au point B, et l’autre soit appliquée en un point G convenablement choisi sur le prolongement de la ligne BA : cette seconde composante de la force F est précisément la résultante cherchée R. Nous pouvons donc dire que le moment de la force donnée F, par rapport à un plan quelconque Pparallèle à sa direction, est égal au moment de la résultante R par rapport à ce plan P augmenté du moment d’une force égale et directement opposée à la seconde force donnée F par rapport au même plan; ou en d’autres termes, le moment de la résultante R, par rapport au plan P, est égal au moment de la force F par rapport à ce plan, diminué du moment d’une force égale et contraire à la force F, par rapport à ce plau P. Mais si nous convenons de regarderies moments de deux forces de même direction et de sens opposés, par rapport à un même plan parallèle à leur direction commune, comme étant de signes contraires, nous pourrons modifier ce dernier énoncé, et dire que le moment de la résultante R par rapport au plan P, est égal à la somme des moments de ses deux composantes F, F par rapport à ce plan. Le théorème établi pour le cas de deux forces parallèles et de même sens se trouve donc vrai aussi dans le cas de deux forces parallèles et de sens contraires, au moyen de la convention que nous venons de faire

relativement aux signes des moments des forces qui agissent dans des sens opposés.

Le moment de la résultante de deux forces parallèles, par rapport à un plan parallèle à leur direction, étant toujours égal à. la somme des moments des composantes par rapport à ce plan, soit que les composantes agissent dans un même sens, soit qu’elles agissent dans des sens contraires, on en conclut nécessairement que le moment de la résultante d’un système quelconque de forces parallèles, par rapport à un plan quelconque parallèle à leur direction, est égal à la somme des moments des diverses composantes, par rapport à ce plan. Il suffit pour cela d’observer que l’on trouve la résultante d’un pareil système de forces en effectuant successivement, et un nombre convenable de fois, la composition de deux forces parallèles de même sens ou de sens contraires (§ 157), et d’appliquer le théorème des moments, établi précédemment à chacune de ces compositions successives.

Pour donner aux moments de diverses forces parallèles de même sens ou de sens contraires, par rapport à un plan P parallèle à leur direction, les signes qu’on doit leur attribuer d’après les conventions établies, on peut opérer de la manière suivante. On considérera la distance de la direction d’une force au plan P, auquel cette force est parallèle, comme étant positive ou négative, suivant que cette direction est d’un côté ou de l’autre du plan ; on considérera en outre la force ellQ-môme comme étant positive ou négative, suivant qu’elle agit dans un sens ou dans le sens opposé; le produit de la force par la distance de sa direction au plan P se trouvera par là affecté du signe -f- ou du signe — , suivant les cas, et il est aisé de s’assurer que son signe sera toujours celui qu’il doit avoir d’après les conventions établies précédemment.

§ 159. Rédaction d’un «j^otéme qnelconiiuo de force» ft deux force». — Un système quelconque de forces, appliquées à un solide invariable, peut toujours être rqmplacé par deux forces seulement, dont une agit sur un point choisi à volonté.

Fig. rs.

Pour démontrer ce théorème, prenons à volonté, dans le solide, trois points A, B, G, non situés en ligne droite, fig. 78. Une force quelconque F, appliquée au solide, et non dirigée dans le plan ABC, peut toujours être décomposée en trois autres dirigées suivant les lignes MA, MB, MC, qui joignent les points A, B, G, à un point pris sur la direction de la force F, en dehors du plan ABC (§§ 99 et 43) ; et l’on peut supposer que ces trois composantes soient appliquées aux points A,B,C, euxmémes. Si la force F était dirigée dans le plan ABC, on ne pourrait pas trouver sur sa direction un point M situé en dehors de ce plan; mais il est aisé de voir que, dans ce cas particulier, on pourrait toujours regarder la force F comme la résultante de trois forces appliquées aux points A, B, G : on pourrait, par exemple, joindre un point M de sa direction aux deux points A et B, la décomposer en deux forces agissant suivant MA et MB, et considérer ces deux composantes appliquées aux points A, B, et une force nulle appliquée au point G, comme étant les trois composantes de cette force F appliquées aux points A, B, G. Si l’on fait pour toutes les forces données ce qui vient d’être indiqué pour la force F, chacune d’elles fournira trois composantes appliquées aux points A, B, G; le système des forces données sera donc remplacé ‘par un autre système de forces dont cjiacune agira sur un des points A, B, G. Toutes les forces appliquées au point A peuvent être composées en une seule ; et il en est de môme de celles qui sont appliquées au point B, et aussi de celles qui agissent sur le point G : on n^aura donc plus que trois forces appliquées respectivement aux points A, B, G, au lieu du système quelconque de forces qu’on avait primitivement. Reste maintenant à faire voir que ces trois forces pourront toujours se réduire à deux.

Soient 0>0',0"> fig- 79, les trois forces auxquelles on vient de parvenir. Faisons passer un plan par le point A et par la direction de la force Ç( ; puis un autre plan par le môme point A et parla direction de la force Q" : ces deux plans se couperont

suivant une ligne GH passant par le point A. Supposons que la ligne GH rencontre une au moins des directions des deux forces (/O", celle de Q' par exemple, et soit B' le point de rencontre ; l’autre force 0" pourra toujours se décomposer en deux forces agissant suivant les lignes CA, OB' menées du point C aux deux points A, B', et ces deux forces pourront être appliquées aux points A, B' -euxmémes; la force Q se composera alors avec celle de ces deux forces qui agira sur le point A, et la force O* avec celle qui agira sur le point F :

on n’aura donc plus en tout que deux forces, appliquées, l’une au point A, l’autre au point B'. Si aucune des directions des deux forces Çf, 0" ne rencontrait la ligne GH, il suffirait de décomposer préalablement la force Q' en deux autres Q'i i O'n dont l’une O'i agit sur le point A, et l’autre Q', agit sur un autre point quelconque de la ligne GH, pour que toute difficulté disparût: car alors on pourrait raisonner sur la résultante des forces Q, (y,, appliquées au point A, et sur les deux forces 0'„ Q", comme on vient de le faire sur les trois forces

0, Qf, 0".

Il est donc établi par là qu’un système quelconque de forces appliquées à un solide invariable peut toujours être remplacé par deux forces ; et l’on peut observer que l’une de ces deux forces agit sur un point A pris à volonté, puisque ce point est un des trois points A, B, C, que nous avions choisis arbitrairement tout d’abord en les assujettissant à la seule condition de ne pas être tous trois surune même ligne droite. Il est bien entendu que le point A, que nous pouvons prendre à volonté comme point d’application d’une des deux forces auxquelles nous réduisons le système des forces données, doit faire partie du solide au-

quel ces forces sont appliquées ; ou bien que, s’il ne fait pas partie de ce solide, on doit supposer qu’il lui est lié d’une manière invariable. '

Si les deux forces, auxquelles on a réduit le système des forces données, se trouvaient dirigées dans un même plan, c’est-àdire si elles étaient concourantes ou parallèles, on pourrait les composer en une seule, à moins cependant qu’elles ne fussent parallèles, égales et de sens opposés : dans ce cas, et sauf l’exception qui vient d’étre indiquée, le système des forces données aurait une résultante unique.

§ 160. Tbéorledea moments, pour an système qnel-

Fig. 80.

conquede forcesappllquéesd un solide Invariable.

— Nous avons dit (§ 101) que le moment d’une force F, fig. 80, par rapport à un point O, c’est le produit de la force par la distance OP du point O à sa direction. Imaginons que nous menions 'î* par le point 0 une ligne ON perpendiculaire au plan qui passe par ce point et par la force F ; que nous donnions à cette ligne une longueur telle que sa valeur numérique, rapportée à une certaine unité prise arbitrairement, soit la même que celle du moment de la force F par rapport au point 0 { enün, que nous portions cette ligne dans un sens tel que, si l’on se place en 0 et qu’on regarde dans la direction ON, on voie le mouvement de rotation que la force F tend à donner à la ligne OP autour du point 0 se diriger dans un sens déterminé, par exemple dans le sens dans lequel on voit tourner les aiguilles d’une horloge : cette ligne ON, qui représente à la fois la direction du plan mené parle point 0 et la force F, le moment de cette force F par rapport au point O et le sens de la rotation que la force tend à produire autour de ce point, se nomme l’axe du moment de la force F par rapport au point 0.

Le moment d’une force par rapport à une droite (§103) n’est autre chose que le moment de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à la droite, par rapport au point où ce

FORCES APPLIQUÉES A UN SOLIDE INVARIABLE. SS6 plan perpendiculaire est percé par la droite : ce moment peut donc être représenté par un axe, tout aussi bien que celui d’une Force par rapport à un point. Dans ce cas, l’axe du moment est dirigé suivant la droite même à laquelle le moment se rapporte.

Soient F, fig. 81, une force appliquée à un point A, et MN une droite dirigée d’une manière quelconque relativement à

cette force. Prenons le moment

de la force F par rapport à un point quelconque Ode la droite MN ; ce moment sera numériquement égal au double de la surface du triangle OAB, obtenu enjoignant le point O aux extrémités de la ligne AB qui représente la force F. Si nous considérons la projection F' de la force F sur un plan perpendiculaire à MN mené par le point 0', le moment de cette force F par rapport au point 0', c’est-à-dire le moment de la force F par rapport à la droite MN, sera aussi numériquement égal au double de la surface du triangle O'A'F. Mais ce dernier triangle est la projection du triangle OAB sur le plan perpendiculaire à MN mené par 0' : donc , le moment de la force F par rapport à la droite MN s’obtient en multipliant le moment de cette force par rapport au point 0 par le cosinus de l’angle que la perpendiculaire au plan AOB fait avec la ligne MN perpendiculaire au plan A'O'B'. On en conclut évidemment que l’axe du moment de la forcer F par rapport à la droite MN, a la même grandeur et le même sens que la projection de l’axe du moment de F relatif au point 0 sur la droite MN.

Si par un point 0 on mène plusieurs droites, et qu’on veuille trouver les moments d’une même force F par rapport à ces droites, il suffira de prendre l’axe du moment de la force F par rapport au point 0, et de le projeter sur les diverses droites dont il s’agit : les projections ainsi obtenues seront les axes des moments cherchés. On voit par là que, de tous les moments

de la force F par rapport aux différentes droites qu’on peut mener par un même point 0, c’est celui qui se rapporte à la perpendiculaire au plan conduit par ce point et par la direction de la force F qui est le plus grand.

§161. Un système quelconque de forces F, F, F' ap-

pliquées à un solide invariable étant donné, on peut toujours le remplacer par deux forces R,, R„ dont l’une R, agisse sur un point A pris à volonté (§ 159). Si, après avoir déterminé ces deux dernières forces, on prend le moment de la force R, par rapport au point A, on a ce qu’on nomme le moment résultant du système de forces donné par rapport à ce point A.

Concevons que nous menions une droite quelconque Dpar le point A; et que, après chacune des modiGcations que nous faisons subir successivement au système des forces F, F, F'...., pour le réduire en déQnitive aux deux forces R,, R,, nous fassions la somme des moments des forces auxquelles il a été ramené par rapport à cette droite D. Cette somme de moments devra toujours avoir la valeur qu’elle avait primitivement, c’est-à-dire avant qu’on ait commencé à modifier le système des forces données. En effet, quand on transporte une force d’un point à un autre de sa direction, on ne change évidemment pas le moment de cette force par rapport à la droite D ; quand on compose en une seule plusieurs forces appliquées à un même point suivant des directions quelconques, on obtient ainsi une force unique dont le moment par rapport à la droite D est égal à la somme des moments de ses composantes par rapport à la même droite (§ 103) ; et de même, quand on décompose une force en plusieurs autres, suivant des directions quelconques passant par son point d’application, on trouve un système de forces dont les divers moments, par rapport à la droite D, ont une somme égale au moment de la force unique à laquelle on les substitue : or ces opérations sont les seules qu’on ait à faire successivement, pour réduire le système des forces données F, F', F',... aux deux forces R„ R, (§ 159). On conclut de là que la somme des moments des forces F, F, F',..-, par rapport à la droite D, est

égale à la somme des moments des deux forces R,, R„ par rapport à celte droite, c’est-à-dire égale au moment de la force R* seule, puisque la force R, agit sur un point  appartenant à la droite D.

En nous reportant au théorème démontré dans le paragraphe précédent (§ 160), et à la définition que nous avons donnée du moment résultant d’un système quelconque de forces par rapport à un point, nous verrons que le résultat auquel nous venons de parvenir peut être énoncé de la manière suivante. Si l’on prend les moments des diverses forces données F, F, F",... par rapport au point Â, ainsi que le moment résultant du système de ces forces par rapport au même point A, la somme des projéctions des axes des moments des forces F, F',

F", sur une droite quelconque D menée par le point A,

est égale à la projection de l’axe du moment résultant sur cette même droite.

Cette proposition nous conduit immédiatement à une autre dont voici l’énoncé : Si nous prenons les axes des moments des forces données F, F, F",.... par rapport au point A, et que nous composions ces axes entre eux comme s’ils représentaient des forces agissant sur un même point matériel (§99), l’axe résultant fourni par celte composition sera précisément l’axe du moment résultant du système des forces F, F, F',... par rapport au point A. En effet, cet axe résultant est la seule ligne partant du point A, dont la projection sur une droite D, menée par ce point, soit égale à la somme des projections des axes des moments des forces F, F, F',.... sur la môme droite, quelle que soit la direction que l’on donne à cette ligne D sur laquelle on projette ces axes. On voit par là que les moments de diverses forces, par rapport à un point, se composent entre eux en appliquant tout simplement les règles du parallélogramme, du parallélipipède, ou du polygone des forces, aux axes qui représentent ces moments, quant à leur grandeur, leur direction et leur sens.

Dans tout ce quenous venons de dire, on nedoit, bien entendu, attribuer des signes aux’ momenis des forces, qu’autant que

ces moments se comptent dans le môme plan ou dans des plans parallèles ; on ne doit considérer que la valeur absolue des moments dont les plans ont des directions différentes. Les axes des moments devront donc être traités comme on le fait toujours pour les longueurs rectilignes, auxquelles on n’attribue de signes que quand elles se comptent suivant des directions déterminées.