A-D 'AO

puisque les forces appliquées en A' et B' sont proportionnelles aux côtés BC,ÂC ; mais la ligne A'C', qui joint les milieux des côtés BC, BA, est égale à la moitié de AC, et, de même, la ligne B'C' est égale à la moitié de BC, de sorte qu’on a aussi

donc la ligne C'D, qui contient le centre de gravité du contour du triangle ABC, divise l’angle A'C'B' en deux parties égales.

On verrait de même que ce centre de gravité se trouve sur la liissectrice de l’angle B'A'G', et aussi sur celle de l’angle A'B'C' : on peut donc dire que le centre de gravité du contour d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans un autre triangle, que l’on obtient en joignant deux à deux les milieux des côtés du premier triangle.

Arc de cercle. — Un arc de cercle étant symétrique par rap- > port au rayon qui passe par son milieu, son centre de gravité se trouve sur ce rayon. Pour trouver en quel point de ce rayon il est placé, rapportons l’arc de cercle à des axes coordonnés rectangulaires tracés dans son plan et passant par le centre du cercle dont il fait partie, et prenons le rayon dont on vient de parler, pour axe des x.

Si nous désignons par l la longueur de l’arc dont il s’agit, par c sa corde, par a la distance du centre à cette corde, et par r le rayon du cercle, nous aurons pour l’abscisse x, du centre de gravité cherché

xdx

L’intégrale doit s’étendre aux projections de tous les éléments de l’arc, situés soit au-dessus, soit au-dessous de l’axe desx; nous pouvons ne l’étendre qu’aux projections de la moitié de

874 tlVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

cet arc qui est située au-dessus de l’axe des x, pourvu que nous doublions le résultat, nous aurons doue

2;. i'r Tdx

§ 169. Parallélogramme. — Un parallélogramme a un centre de figure, qui est le point de rencontre de ses diagonales : donc son centre de gravité est en ce point.

Triangle. — Le centre de gravité de la surface d’un triangle ABC, fig. 83, est situé sur la ligne AD qui joint le sommet A au

milieu D du côté BC. En effet, si l’on mène par cette ligne un plan perpendiculaire au plan du triangle, on a un plan diamétral corres- ^ pondant aux cordes paral- “3. lèles à BC ; ce plan contient

donc le centre de gravité, et, par conséquent, son intersection AD avec le plan du triangle le contient également. On verrait de môme que le centre de gravité du triangle se trouve sur la ligne BE qui joint le sommet B au milieu E du côté opposé AC; donc il est situé au point G, où se coupent les deux lignes AD, BE. La ligne DE, qui joint les milieux des côtés AC, BC, est parallèle à AB ; les deux triangles AGB, EGD sont donc semblables ; et, comme AB est double de DE, AG est également double de GD : donc le centre de gravité du triangle ABC est sur la ligne qui joint le sommet A au milieu de la base BC, et au tiers de cette ligne à partir de la base.

On peut remarquer que le centre de gravité d’un triangle est le même que celui de trois points matériels de même masse, placés aux sommets de ce triangle, et supposés liés invariablement entre eux. En effet, si nous considérous ces trois points matériels placés en A,B,C, fig. 83, comme soumis à l’action de la pesanteur, les points des deux poids B,C se composeront en une force double de chacun d’eux et appliquée au pointD, milieu

CENTRES DE GRAVITÉ

de la droite BC ; cette force se composera à son tour avec le poids du point A, et il en résultera une force unique appliquée en un point de la ligne AD tel que sa distance au point A soit double de sa distance au point D : c’est donc en G que sera appliquée cette résultante définitive, ce qui démontre la proposition énoncée. Au lieu de trois points matériels placés en A,B,C, on peut supposer qu’il s’agisse de trois corps de môme masse et de formes quelconques, liés entre eux d’une manière invariable, et ayant leurs centres de gravité respectifs en ces points ; le centre de gravité de l’ensemble de ces trois corps sera encore le même que celui du triangle ABC.

Polygone. — Un polygone peut être décomposé entriangles, au moyen de diagonales, partant par exemple d’un même sommet. Si l’on regarde les centres de gravité de ces triangles comme les points d’application d’autant de forces parallèles, dirigées dans le même sens, et proportionnelles aux surfaces de ces triangles, on n’aura plus qu’à chercher le centre de ces forces parallèles, pour avoir le centre de gravité du polygone.

Trapèze. — Le centre de gravité d’un trapèze ABCD, fig. 84, peut s’obtenir en appliquant ce qui vient d’être dit pour un po-

lygone quelconque. Si l’on mène la diagonale AD, on décompose j

le trapèze en deux triangles ADB, ACD ; le centre de gravité G, l

du premier triangle est situé sur la ligne DE, menée du sommet !

D au milieu E de la base AB, et au tiers de cette ligne à partir !

du point E ; le centre de gravité G, du second triangle se trouve j

placé de la môme manière, sur la ligne qui joint le point A au milieu F du côté CD : le point G, qui divise la ligne G, G, en

274 LIVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE, deux parties GG,, GG„ inversement proportionnelles aux surfaces des triangles ADB, AGD, ou bien à leurs bases AB, CD, est le centre de gravité du trapèze. La détermination de ce point peut être simplifiée, en remarquant que le plan mené par la ligne EF, perpendiculairement au plan du trapèze, est un plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à AB ou à CD : le centre de gravité G du trapèze se trouve donc sur la ligne EF, et par conséquent il sera fourni par l’intersection de cette ligne EF avec la ligne G, G,.

Nous pouvons encore chercher les distances x, x' du point G aux deux bases AB, CD du trapèze, en appliquant le théorème des moments (§ 138) au système des forces parallèles qui représentent les poids des deux triangles ADB, ACD, et qui agissent aux points G„Gj. Supposons que ces forces soient dirigées perpendiculairement an plan du trapèze, et prenons leurs moments successivement par rapport à chacun des deux plans qu’on peut mener parallèlement à leur direction par les côtés AB,CD. Si nous désignons la hauteur du trapèze par A; si, de plus, nous remplaçons les forces appliquées en G„G,, et leur résultante, par les lignes AB,CD, AB -f CD, qui leur sont proportionnelles, nous aurons les deux équations

(AB-fCD)®=AB. §-+-CD. VI

(AB -P 00)3/ = AB. v+CD-v

En les divisant membre à membre, on en déduit