CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

en posant

T* = l + ki

D'aatre part, la force centrifuge qu'il faut appliquera un point de masse i pour étudier l'équilibre relatif a pour projections (n°632)

(20) o>2a?, w2jk, o.

La résultante des forces rapportées à l'unité de masse a donc pour projections

X = — (P — o)2)^, Y = — (P— a>2)7, Z=-Rs,

et l'équation d'équilibre' est

dp — — p[(P — o)2) (x dx -\- y dy) -+- Rz dz\

Gomme p est constant, on a, en intégrant,

p = — Jp [( P — w2)(ar2-i-<r2) + R52] + C.

Les surfaces de niveau p = const. ont donc pour équation

(21) (P -0)2)O24-jk2)-{- Rz* = 1,

où X est une constante arbitraire. Ce sont des ellipsoïdes de révolution homothétiques et concentriques.

Gomme, sur la surface libre, la pression est supposée constante, cette surface doit elle-même se trouver parmi les surfaces de niveau. Identifiant les équations (21) et (17), on a

remplaçons -=- par 1 -f- A"2, P et R par leurs valeurs et réduisons,

nous aurons finalement une équation de condition qu'on peut écrire

(3 -f- £2)arctang£— 3A-

Quand w et p sont donnés, cette équation transcendante détermine k et, par suite, le rapport -=■ des axes de l'ellipse méridienne

relative à la surface libre ; les axes eux-mêmes sont ensuite déterminés par cette condition que le volume de la masse liquide est

connu.

Discussion. — Pour discuter l'équation (22) où k est l'inconnue, faisons varier k de o à 00 et étudions la variation de la fonction

(3 -i- A2) arc tang£ — 3k ~k*

qui forme le deuxième membre; nous représenterons cette variation par une courbe obtenue en portant les valeurs de k en abscisse et celles de h en ordonnée {fig. 3o8).

Fig. 3o8.

Si l'on remplace arc tang£ par son développement en série

ou voit que, pour de petites valeurs de k, le développement de h commence par le terme -^jk2', donc, pour k = o, h est nul et la courbe est tangente à l'axe Ox au-dessus de cet axe. Si k augmente indéfiniment par

valeurs positives, arc tang£ tend vers - ■> h tend donc vers zéro par des

valeurs positives et la courbe est asymptote à Ox. La fonction A de A' a donc, au moins, un maximum dans l'intervalle; nous allons voir que ce maximum est unique et le déterminer. Pour cela, calculons la dérivée de h par rapport à k on trouve

dh dk

en posant

k'* jkz-±-$k

— arc tan£À\

dh pour avoir le signe de -jj-> il suffit d'étudier le signe de fc)(/c); or, cette

fonction, pour k= o, est nulle et, pour k —00, est égale à ; sa

dérivée

est d'abord positive, s'annule pour k = \/'d, puis devient et reste négative;