CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

732. Propagation d'une discontinuité du deuxième ordre dans un gaz; vitesse du son; théorème de Hugoniot. — Supposons que, dans un fluide au repos, ayant en chaque point une densité p0 et une pression /?0, on produise un ébranlement initial donnant naissance à une discontinuité du second ordre limitée par une surface. Supposons de plus que cette discontinuité se propage en continuant à affecter la forme d'une surface S, comme nous l'avons expliqué dans le dernier paragraphe du précédent Chapitre. C'est ce qui a lieu pour la propagation d'une onde sonore dans un gaz : en effet, dans ce cas, l'onde affecte la forme d'une surface S et, d'un côté à l'autre de cette surface, les dérivées secondes des coordonnées «r, y, z d'un élément et particulièrement l'accélération d'un élément subissent des variations brusques.

Il est très remarquable, comme l'a montré Hugoniot [Comptes rendus, t. CI) que l'on puisse calculer la vitesse de propagation G de cette onde, en chaque point, à chaque instant, sans intégration, en employant simplement les conditions de compatibilité précédemment indiquées.

Les équations du mouvement sont de la forme

i dp du

p dx dt

Les forces X, Y, Z sont supposées quelconques, mais finies et continues en tous les points du fluide, comme, par exemple, la pesanteur. Nous supposons en outre qu'il y ait une relation entre la pression p et la densité p, relation que nous écrirons]

On a alors

dx dx

et les trois équations du mouvement peuvent s'écrire

où Lp est le logarithme népérien de p.

Ceci posé, désignons, comme plus haut, par 8<p la différence des