I. - MOUVEMENT IRROTATIONNEL D'UN LIQUIDE

783. Équations générales; fonctions conjuguées. — Si le mouvement d'un liquide est irrotationnel et parallèle à un plan fixe xOy, les composantes u, v de la vitesse à l'instant t dérivent d'un potentiel 'j>(x,y, t)

do do

(3) U=tœ' V = ty-

L'équation de continuité devient actuellement

cette équation montre que <p est un potentiel logarithmique (n° 605). Les surfaces équipotentielles <p = const. sont des cylindres perpendiculaires au plan des xy ; leurs traces sur ce plan sont les lignes équipotentielles.

Si les forces appliquées dérivent d'une fonction de forces U(x,y, z), la pression/) est donnée par la première des équations (48) du n° 738, dans laquelle cp est indépendant de z,

^V+/4Vl-+^u + £=0.

1 l\dx / \ày / àt p

Fonction de courant. — Dans le cas actuel, la fonction de courant ty définie au n° 781 est liée au potentiel des vitesses cp par les deux relations

<9cp dty à cp <ty

^a? c[/ ày dx

qui donnent, par l'élimination de cp, la relation

(7) d£ï + dj*-0.

Comme la vitesse en 'chaque point est tangente à une ligne de courant et normale à une ligne équipotentielle, ces deux sortes de lignes <!/ = const. et cp = const. se coupent à angle droit.

Introduction des fonctions d'une variable complexe. — Les deux relations (6) entre cp et ^ montrent que, en désignant par i

l'unité complexe y7— 1 , la quantité

cp -+- ity

est une fonction de la variable complexe x-\-yi\ et, réciproquement, si l'on prend une fonction d'une variable complexe f (x -\-yi) pouvant contenir le temps t, et si on la met sous la forme cp + /<];, cp et c|i étant réels, on a deux fonctions de x et y vérifiant les relations (6). Ces propositions élémentaires sont bien connues; elles servent de base à la théorie des fonctions d'une variable complexe (Puemann, Œuvres complètes, traduction française de Laugel : Théorie des fonctions abéliennes, p. 89; B1110T et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques; Picard, Traité d'Analyse, etc.).

A chaque mouvement plan irrotationnel d'un liquide correspond ainsi une certaine fonction de la variable complexe x -\-yi et du temps t; et, réciproquement, si l'on prend une fonction de x-\-yi et de t, on en déduit les deux fonctions conjuguées cp et ^ pouvant

être prises, avec un choix convenable de conditions aux limites et

de conditions initiales, pour le potentiel des vitesses et la fonction

de courant d'un certain mouvement irrotationnel d'un liquide. Si

le mouvement est permanent, la fonction de x -+■ yi ne contient

pas t.

L'identité

<p + ity = f(x-+-yi)

devient, après multiplication par i,

— tl-t-tcp = if(x+-yi)\

à la fonction if(x -\- y ï) correspondrait donc un deuxième mouvement ayant pour potentiel des vitesses — t]> et pour fonction de courant <p. C'est ce qui résulte aussi des relations (6), qui conservent la même forme quand on fait — <|i = coi et cp = <j>, .

784. Mouvements ondulatoires d'un liquide pesant. — Imaginons un liquide pesant en équilibre : supposons qu'à un certain instant on écarte le liquide très peu de sa position d'équilibre en produisant des dénivellations de la surface, puis qu'on imprime aux divers éléments des vitesses très petites. Il se produit alors un mouvement ondulatoire que nous nous proposons d'étudier dans les cas les plus simples. Lorsque le liquide a une profondeur indéfinie, le problème a été résolu par Cauchj dans le Mémoire déjà cité, Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie (Prix de l'Académie royale des Sciences de 1 8 1 5 et de 1816).

Nous supposerons ici que le mouvement se fait parallèlement à un plan fixe et qu'il est irrotationnel; nous donnerons d'abord quelques indications sur la Cinématique du phénomène, en portant notre attention sur la surface libre.

785. Cinématique du mouvement, par ondes parallèles, de la surface d'un liquide pesant. — Imaginons un liquide pesant dont les éléments se meuvent parallèlement à un plan vertical fixe : nous prendrons, dans ce plan, l'origine O au niveau que présenterait le liquide s'il était immobile, l'axe Ox horizontal et l'axe Oy vertical ascendant.

Onde progressive simple. — On dit qu'une onde progressive

simple se propage à la surface quand l'équation de la surface libre, à un instant quelconque t, est de la forme

y = a cos(mx — st -+- a),

«, m, s, a désignant des constantes. Le liquide lui-même est alors animé d'un mouvement ondulatoire simple.

A l'instant t, la surface libre est un cylindre ondulé {ftg- 34 1)

Fig. 34x.

>v JC

dont la base sur le plan xOy est la courbe sinusoïdale (8); les maxima de l'ordonnée de cette courbe, tous égaux à #, ont lieu aux abscisses

st — a

cc0= — 1

xk=-~

st — a

ik

k étant un entier qui prend toutes les valeurs de — oo à -h oo : un minimum — a de l'ordonnée a lieu à égale distance de deux maxima consécutifs; la longueur a est Y amplitude de l'onde.

La distance constante AB de deux maxima consécutifs, c'està-dire des crêtes de deux vagues consécutives, est la longueur l de l'ondulation

Si maintenant nous portons notre attention sur les maxima A, B, . . ., c'est-à-dire sur les crêtes des vagues, ces points géométriques, ayant des ordonnées constantes et égales à a, se déplacent, quand t varie, sur une parallèle à O^, avec une vitesse V qui est la même pour tous, car la distance de deux maxima consécutifs est constante; la valeur de cette vitesse est, en désignant par xQ l'abscisse du point A,

~dt

(ii)

/\6'i EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

d'après Ja valeur (9) de x0. Cette vitesse V est la vitesse de propagation de l'onde : il va de soi que cette vitesse est absolument différente des vitesses que possèdent aux divers instants les éléments matériels du fluide, vitesses que nous déterminerons approximativement plus loin.

D'après cela, la surface libre est, au point de vue géométrique, un cylindre ondulé de forme invariable qui glisse parallèlement à Ox avec une vitesse V : à l'instant t le cylindre occupe une certaine position (fi g. 34i), puis il se déplace avec la vitesse V et, au bout du temps

il a glissé d'une longueur / égale à la distance AB de deux vagues consécutives : il offre alors le même aspect qu'à V instant t, car chaque vague a remplacé la précédente. Le temps T ainsi défini est la période de l'ondulation.

Avec ces notations, on peut écrire l'équation de la surface libre sous l'une des formes

y = a cos —(2? — \ l) -\- a ,

-al,

où l'homogénéité est en évidence.

Ondes progressives simples superposées. — Quand la surface libre a une équation de la forme

y = ai cos ( m 1 x — 51^-ha1)-ha2 cos(m2^ — s2t -+- ag) -f-, . . -t- an cos(mnx — s„t -h a„),

on dit que n ondes progressives simples se propagent simultanément à la surface du liquide : chacune de ces ondes possède son amplitude, sa longueur, sa vitesse de propagation et sa période.

Ondes stationnaires . Clapotis. — Supposons, pour prendre un exemple particulier, que deux ondes progressives simples de même amplitude et de même longueur se propagent en même temps à la surface d'un liquide avec des vitesses égales et opposées, et cherchons la forme de la surface libre à l'instant t. Cette surface aura

pour équation