I. — GÉNÉRALITÉS

662. Formules de transformation. — Imaginons une portion continue de matière occupant à l'instant t une certaine région .iR. de l'espace, et supposons que les divers points de ce milieu matériel se mettent en mouvement de telle façon que le milieu reste continu; à l'instant f, > ^, le milieu occupera une certaine région <^\, de l'espace.

Prenons trois axes rectangulaires Oa', Oy, O^. Appelons it', y, z les coordonnées d'un point P {Jîg. 324) du milieu A à l'instant ^; ce point se met en mouvement, suit une certaine trajectoire et, à l'instant f,, il occupe une position P, de coordonnées :Ci,j^', , ^, dans le milieu <^|. Un point P' voisin de P suit une trajectoire voisine de celle de Pet, à l'instant ?(, occupe une position P', voisine de celle de P, ; et ainsi de suite, pour tous les points du milieu ^.

'^28 ÉQUILIBRE ET MOl'VEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Les quantités .r,, ji , ^i sont évidemment des fonctions de ^,

y, z et ts :

(i) x,=f(x,y, z,ti), yi=/,(x,y,z,ti,, zi=fojx, y, z, tij:

ces fonctions sont uniformes et continues dans l'intérieur du milieu primitif, et, inversement, a:, y, :■ sont des fonctions uni-

Fiff. 324.

formes et continues de X), yt, Zf dans le milieu transformé; à chaque point du milieu primitif correspond ainsi un point du milieu transformé, et inversement. Pour f^^^t^x,,y^,z^ prennent les valeurs respectives x, y, z.

Ce mode de transformation se présente dans la théorie du mouvement des fluides et dans la théorie de l'élasticité.

Les relations (i) définissent la transformation continue de l.'i région A. de l'espace dans la région Jl,. On peut aussi se représenter celte transformation par l'image géométrique suivante qui la rattache à la théorie des champs de vecteurs :

Portons notre attention seulement sur les positions initiales [^(x, y, z) el les positions finales î*^{x^,y^, z,) des divers points : les segments tels que PP, c'est-à-dire les déplacements des divers points du milieu <:R., forment un champ continu de vecteurs : les origines de ces vecteurs sont les divers points de la région initiale Si et leurs extrémités les points correspondants de la région iH,. Désignons par u, V, w les projections sur les axes du vecteur PP),

(PPl) U = ^i — 37, V=JKi-JK, MV = Zi~-Z:

les quantités u, V, W sont évidemment, comme x^, j'-, , z,, des fonctions uniformes et continues de œ, y, z dans toute l'étendue du milieu primitif Si. On pourra appliquer à ces vecteurs PP), définissant la transformation, toutes les propositions relatives aux champs continus de vecteurs (Ghap. XXVIII).