CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
yienl occuper la nouvelle position A, B, A', B', constituant un nouveau c}'lincli'e oblique d'arête A, A', = /,, de section droite dix et de densité o,. En écrivant que la masse de l'élément considéré n'a pas changé, on a la relation de continuité
D'autre part, l'intensité du tube étant constante dans le temps, on a, d'après (5),
Ùch = Qi chi,
où 0 désigne le tourbillon dans l'élément ABA'B'el 0, dans l'élément A,B|A', B', . En rapprochant ces deux relations, on voit que
p' Pi ''i ^^'^ TI ~ HT ~"'
£ étant une constante infiniment petite indépendante de t.
Rapprochement avec les équations de Helmholtz. — La propriété exprimée par la relation (6) est la traduction géométrique des équations de Helmholtz établies dans le n° 737.
Supposons, en eflet, que ti diiïére infiniment peu de t, /i=t^dt; appelons x.y, s et cr',y, z' les coordonnées des points A et A', ^i, ji, -i et ^1, jk'i, -^'i celles des points A, et A', (Jlg. 334).
Le segment A A' est égal à /, c'est-à-dire, d'après (6), à - iî en grandeur,
P direction et sens; les projections du segment AA' sur les axes de coor-
données sont donc i-, t-^ £ - et l'on a
Un calcul analogue donne
si a?! -+- £ — 5
D'oîi l'on conclut
Pi P
Dans cette équation, on a
Pi ? «^\P,
SgS ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
et, d'autre part, en désignant par a. v. (v et u', v' , w' les projections des vitesses des deux points A et A', on a évidemment
x\ — x' = u' dt, Xi — X = u dt ; l'équation s'écrit donc ( 8 ) u' = u ~
Enfin II' est facile à calculer d'après les expressions {-) des coordonnées du point A'. En effet, u{x, y. z, t ) étant la projection sur 0 a: de la vitesse du point X, y, z au temps t, la projection u' de la vitesse du point A'(^'; y : -^') ^" même instant est
on en développant par la formule de Taylor, i étant infiniment petit,
/ ; Ou r, du ^ du \
' '\z ôx z <)y ' p ûz /
Portant cette valeur dans (8) on a l'équation
dt\ 0 J 0 dx 0 dy o dz
qui est identique à la première des équations (0) et (43') établies dans le n" 737.
761 . Démonstration de Kirchhoff ; équations de Caucliy . — Dans ses Vorlesungen ilber malhematische Physik, p. i6-, KirclihofF démontre les théorèmes de Helmholtz en employant la niélhode analytique suivante dont le point de départ est dans les équations de Cauchy (n" 730j. Reprenons les relations de Gauchy entre le tourbillon f;, y,, ^) à l'instant t et le tourbillon (;(,,r,oi ^o) à l'instant initial :
, Fï ^ -^-^ ^ . '^-^ -. '''' y l Oa do de
' ' da ' oh '" de ''*'
où D désigne le déterminant fonctionnel de :r, y, :: par rapport à «, 6, c.
ClIAPlXnE XXXV. — THÉORIE DES TOLRBILLOXS. Sgg
Les lignes de tourbillon ont pour équations différentielles à
1 instant t
,rp dr fi y fJz
A l'instant initial t = o, elles ont pour équations différentielles
^rp s da db de
Ço Oo >ju
Il faut d'abord montrer que les molécules qui, à l'instant initial, sont sur une ligne de tourbillon Tq, sont à l'instant t sur une ligne de tourbillon T. La molécule qui, à l'instant £= o, a pour coordonnées «, 6, c, possède au temps t les coordonnées x,y^ z liées à a, b, c parles relations
Quand le point géométrique a, ô, c se déplace sur To de <r/«, db, de, le pointa:, j^, z subit un déplacement géométrique correspondant
i / '^■^ i ^-^^ Il '^^ I clx = -— da H — - db -i- — de,
\ (la Ob Oc
(y.) ] dy^'^y-da-^-Zdb-^^de,
\ -^ ôa db ôc
f . ùz àz ôz ,
dz = —- da -\ j db -\ de.
\ da ûb ôc
Le point rt, b, c se déplaçant sur Tq, da, db, de vérifient les relations (To) et l'on a, en appelant A un facteur de proportiounalité,
(il) da = À;,,, db = ÀT,„, de = À^o-
Alors, d'après (9) et (10),
i . ( àx ^ dx àx \
^ /àv >. ày ày \
relations qui montrent que dx, dy, dz sont proportionnels à ç, y,, !^,
c'esl-à-dire que le point géométrique x,j-, z- décrit une ligne de tourbillon T.
On peut montrer ensuite que l'intensité d'un tube tourbiilonnaire infiniment délié se conserve dans le temps. Soient, en reprenant la figure (33 i) du n" 760, deux positions d'un même tube tourbillonnaire ; on peut toujours supposer que la première corresponde à l'instant initial et la seconde à un autre instant quelconque. Appelons a, b, c les coordonnées du point A, Oq la densité en A, Qo(çoj Ao, ^o) le tourbillon en ce point; a-\-da, b-{-db, c -\- de les coordonnées du point A', l^ la longueur AA' et f/o-Q la section droite du tube entre A et A'. Soient ;r,j'^ z les coordonnées du point A,, p la densité en A,, Q(ç,r|,(:^) le tourbillon en ce point ; X 4- dx, y + dy, z -\- dz les coordonnées de A', , / la longueur A, A', et<^a-la section dioiie du second tube entre A, et A',. Les points A, et A, sont les positions des [)oints A et A' à l'instant t. Les équations (i i) signifient que les projections du segment ^\A' de longueur /(, sont égales à celles du segment Qq multipliées par A ; on a donc
De même les équations (12) donnent
