II. — ÉQUILIBRE ÉLASTIQUE

802. Équations de l'équilibre élastique. — Imaginons un milieu élastique dans l'état naturel, puis, déformons le système en faisant a^ir des forces extérieures : i^ sur les éléments de sa surface extérieure; 2° sur les divers éléments de volume. Supposons que, dans ces conditions, le système prenne un état d'équilibre contraint, la déformation étant infiniment petite. En appelant u, V, W les déplacements subis par un point quelconque P(^, j-, :;), on voit que ces quantités ne dépendent pas du temps, puisque, après la déformation, les particules restent immobiles. Les dérivées

- — , • • sont donc nulles. Ot-

Les équations générales (20) donnent alors les équations indéfinies de l'équilibre élastique sous la forme

i ( A -H u ) — -T- u Au -+- 0 X = o.

( A -+- a ) — -H a Av -H p 1 — o,

(A -h !JL ) — -i-uA-w-i-îZ = O.

d\x ùv (Jw

or Oy Oz

Pour obtenir la déformation subie par le corps, il faudra trouver des fonctions u, V, W de x, j', z vérifiant ces équations et satisfaisant aux conditions aux limites.

5l4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Conditions aux limites. — Les fonctions u. v, w doivent, sur la surface extérieure S du corps, vérifier des conditions qui peuvent être de formes diverses :

1° Dans certains problèmes, les déplacements des points de la surface sont donnés à l'avance; alors u, V, W doivent prendre, sur la surface S du milieu, des valeurs données à l'avance.

2" Dans d'autres problèmes^ on donne la force extérieure élémentaire YedT que Ion fait agir sur la face extérieure de chaque élément d^ de la surface S limitant le corps. Soient a, |i, v les cosinus directeurs de la normale à l'élément c/t vers l'extérieur de la surface S, et Xe<^3-, Yg c/t, Tjc di les projections de la force extérieure Ygd'j appliquée à la face positive de d'j. L'élément d<s est attaché au milieu par sa face intérieure ou face négative : sur cette face s'exerce un effort provenant de l'action du milieu sur cet élément et ayant pour projections :

T.,. ch, T,. (/-. T- c/7, Tx-, Tj, Ts étant donnés par les relations (i)

Comme l'élément considéré c/t est en équilibre, les forces appliquées sur ses deux faces se font équilibre et l'on a

D'où les trois conditions

/ Xe-I- Nia- T3 3-1,7 = o,

( Ze-^T,a^T,3--\3Y = o,

qui doivent être remplies en tous les points de la surface. Si, dans ces conditions, on remplace les N et les T par leurs expressions (18) en fonction des dérivées partielles des u, V, w, on obtient trois relations difïerentielles que doivent vérifier les u, V. W sur la surface.

Quand les conditions aux limites sont définies de cette façon, les forces extérieures données ILod-z, Yp d-Zj 7j p d-z et X^û^o-, Y<, f/7, Tjrdy^ appliquées aux éléments de volume d- et aux élé-