III. — MOUVEMENTS INTERIEURS

810. Mouvement par ondes planes. — Imaginons un milieu élastique homogène isotrope indéfini en mouvement, sans qu'aucune force extérieure n'agisse sur les éléments de volume. Les équations de ce mouvement sont alors données par les formules (20) du n" 801 , où l'on suppose X = Y = Z = o.

(A + ;.)- + [.Au=o— , (50) (X + a)-^;.Av = ?^,

Nous nous bornerons à étudier le cas le plus simple d'un mouvement vibratoire, à savoir le cas où les déplacements u, V, w de chaque point x, y, z du milieu, à l'instant ^, sont donnés par des expressions de la forme

/ u = p cos(ax — by -i- cz — st -\- -j.),

(5[) / V = q co%{ax -^ by -^ cz — st-^x),

[■W=r cos{ax -^ by -\- cz — st ^ ol),

p, ûr, r, «, 6, c, 5 et a étant des constantes. Le mouvement vibratoire ainsi défini s'appelle mouvement par ondes planes. Nous allons voir sous quelles conditions un mouvement de cette nature peut se propager dans le milieu. Ce problème est analogue à celui de l'étude du mouvement ondulatoire simple d'un liquide pesant (n° 784).

Nous pouvons d'abord, par un changement d'axes, simplifier les équations (5i) du mouvement. Pour cela, construisons {fig. 347) le plan n ayant pour équation

(H) aX — 6Y-^cZ = o,

et un segment OD dont les projections sur les axes sont égales à

)34 ÉQVILIBRE ET MOUVEMEXT DES MILIEUX CONTINUS.

D'après les formules (5i), à un instant quelconque t, le déplacement PP, d'un point P(x, j-, :;) du milieu est parallèle à OD,

Fi g. 3^

PP

et le rapport -~ est en grandeur et signe donné par l'équation

OD